Возмущение непрерывного спектра

Вопрос о применимости метода возмущений утрачивает остроту, если вместо дискретного конечного уровня рассматривать непрерывный спектр или достаточно размытый уровень. В этом случае физически реально рассмотрение вероятности уже не перехода п- -т (поскольку бессмысленно ставить вопрос о вероятности попадания в какое-то одно определенное энергетическое состояние из непрерывной совокупности состояний), а перехода n-v(m-i-m-j-Дт). Иным.ч словами, теперь рассматривается вероятность перехода в некоторый интервал Дт конечных состояний. В связи с этим для применимости метода возмущений требуется обеспечить малость не величины [c.249]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

В предыдущих параграфах рассматривалась конвективная устойчивость в каналах по отношению к осевым возмущениям, не зависящим от вертикальной координаты. В уравнения для возмущений координата г не входит, и потому возможны также возмущения ячеистой структуры, периодически меняющиеся вдоль вертикали. В бесконечно длинном канале возмущения образуют непрерывный спектр по продольному волновому числу к, а рассмотренные выше движения, при которых скорости вертикальны, соответствуют предельному случаю к- О (бесконечная длина волны). [c.99]

Многофотонный резонанс при наличии однофотонного перехода из резонансного состояния в непрерывный спектр. Один из важных случаев, часто встречающихся на практике, характеризуется многофотонным переходом между начальным и резонансным состояниями и однофотонным переходом из резонансного состояния в непрерывный спектр. В таких условиях анализ вероятностей различных процессов показывает, что в возмущении резонансного состояния п доминируют два процесса — динамический штарковский сдвиг 5Еп Е) ос Е и однофотонное ионизационное уширение Тп Е) ос Е . Численные коэффициенты при этих величинах, определяющие их относительную роль, могут быть определены экспериментально или путем детальных расчетов. Вероятность многофотонного перехода из начального состояния i в резонансное состояние п имеет вид Wni ос Е К 2. [c.143]

В работе [7.21] измерялось угловое распределение фотоэлектронов при надпороговой ионизации атома водорода. 4-фотонная и 5-фотонная ионизация наблюдалась для излучения с длиной волны 355 нм. В случае 4-фотонной пороговой ионизации конечное состояние непрерывного спектра — это с1-волна, в то время как в случае 5-фотонной надпороговой ионизации это /-волна. Это объясняется наличием 3-фотонного резонанса со связанным 2р-состоянием при данной длине волны излучения. Согласно правилу Бете конечный переход в континуум представляет собой р-й-переход. Расчеты [7.22], выполненные в рамках теории возмущений задолго до указанного эксперимента, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. [c.174]

Чтобы улучшить подход работы [7.53] для надпороговой ионизации, в работе [7.56] предложено использовать кулон-волковскую волновую функцию для конечного состояния непрерывного спектра, вместо волковской волновой функции. Кулон-волковская волновая функция представляет собой произведение координатной части, представляющей собой точное решение стационарного уравнения Шредингера для кулоновского потенциала, и временной части волковской волновой функции. Точное кулоновское стационарное решение соответствует заданной энергии в конечном состоянии непрерывного спектра. Единственное достоинство этой модели состоит в том, что в первом порядке теории возмущений оно дает правильный результат, согласующийся с выражением для вероятности фотоионизации атома согласно золотому правилу Ферми. [c.189]

В 17 и 19 мы подошли к зонной модели, рассматривая брэгговское отражение. Непрерывный спектр Е (Л) свободных электронов в периодическом поле ионов решетки расщепляется на зоны. В 19 наше рассмотрение было ограничено случаем слабых потенциалов. Только в этом случае можно считать V г) в уравнении Шредингера малым возмущением. В этом приближении зонная структура вытекает из решения секулярного определителя в первом приближении теории возмущений [c.124]

Изменение непрерывных спектров под действием возмущений рассматривается в следующих математических статьях [295, 467, 468, 731, 27, 981, 508, 509]. См. также [997, 998]. Строгому рассмотрению стационарной теории рассеяния посвящены также работы [492, 493, 418, 590, 444, 1015, 50, 602]. [c.204]

Нас интересует главным образом не столько вопрос о возможности существования связанных состояний, утопленных в непрерывном спектре, сколько следующий результат если они могут образоваться при наличии сильного взаимодействия, то тогда заведомо должны существовать и резко выраженные резонансы. Другими словами, мы хотим здесь подчеркнуть, что появление острого резонанса необязательно следует связывать со слабостью взаимодействия. Единственное, что требуется,— это чтобы возмущение гамильтониана, которое преобразует его в гамильтониан, имеющий связанное состояние, утопленное в непрерывном спектре, было малым. При слабой связи между каналами это возмущение может заключаться просто в выключении взаимодействия между каналами. Если каналы связаны сильно, то возмущение должно иметь более сложный характер. [c.440]

Разберём вкратце, как видоизменяется рассмотренный метод возмущения, когда. соответствующие значения энергии лежат в непрерывном спектре. Если заменить индекс п непрерывным параметром п, то получаем [c.133]

Матрица плотности 118 Метод возмущений для непрерывного спектра 128 [c.331]

Обсудим необходимые условия справедливости соотношения (B.2) . Если / является собственным вектором оператора Я, Я/ = Л/, то u t) = exp —iXt)f и зависимость решения уравнения (В.1) от времени тривиальна. Однако из-за того, что собственные числа сдвигаются при сколь угодно слабых возмущениях, невозмущенная задача, вообще говоря, не имеет решений с таким же поведением при t со. Аналогично нельзя ожидать выполнения соотношения (B.2) при / из сингулярного непрерывного подпространства оператора Я. Впрочем, типичным для обсуждаемых в теории рассеяния случаев является отсутствие сингулярного непрерывного спектра у обоих операторов. [c.13]

Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146]

В заключение отметим, что при доказательстве отсутствия сингулярного непрерывного спектра от условия ао > 1/2 в (1.2) отказаться нельзя. Именно, как показано в [71], даже для одномерного возмущения V = (, г )г при v G Со и любом а <112 [c.163]

Ввиду теоремы 2.6 с точки зрения абстрактной теории операторов теорема 2.1 в случае одного пространства и теорема 2.3 в случае пары пространств полностью решают вопрос о существовании ВО в терминах классов р. Тем не менее для приложений этих теорем явно недостаточно. В самом деле, оператор умножения на функцию, являющийся типичным возмущением в теории дифференциальных операторов, имеет непрерывный спектр и, следовательно, не может быть даже компактным. Поэтому теоремы 2.1 и 2.3 к таким возмущениям заведомо неприменимы. Недостаток этих теорем состоит в том, что их условия формулируются лишь в терминах самого возмущения V V Е 6i) безотносительно к свойствам операторов Яо и Я. Лля приложений, однако, решающую роль играет переход к различным классам относительно ядерных возмущений. [c.253]

Задача об одномерном возмущении оказывается в существенном явно решаемой. Это позволяет дать еще одно доказательство устойчивости абсолютно непрерывного спектра, а также довольно детально изучить структуру сингулярной непрерывной компоненты. [c.271]

Основные объекты теории рассеяния (волновые операторы, оператор и матрица рассеяния) относятся к теории возмущений на непрерывном спектре. Понятие функции спектрального сдвига (ФСС) выходит за рамки собственно теории рассеяния. [c.328]

Функция спектрального сдвига возникает в теории ядерных возмущений в связи с интегральным представлением для следа разности функций от операторов Яо и Я. На непрерывном спектре ФСС связана с матрицей рассеяния. Однако в отличие от нее понятие ФСС содержательно как на непрерывном, так и на дискретном спектрах. [c.328]

Ядерный подход к теории возмущений непрерывного спектра возник в рамках абстрактной теории операторов. Первоначально он развивался независимо от гладких методов и от потребностей приложений. Теорема о существовании (и полноте) ВО при ядерном возмущении была получена в работах Т.Като и М.Розенблюма [106, 107, 136]. Разработка ядерного метода до уровня, на котором оказались возможны применения к теории дифференциальных операторов, осуществлялась в работах С. Куроды, М.Ш.Бирмана, самого Като и многих других. Прежде всего отметим работы М.Ш.Бирмана, где был найден принцип инвариантности [38, 39] и развита локальная техника [40]. Первым ядерную теорию к дифференциальным операторам—к оператору Шредингера—применял, по-видимому, С.Курода [118, 119]. Очень широкий класс дифференциальных операторов рассмотрен М.Ш.Бирманом в [41 на основе аппарата, разработанного им в [39, 40]. [c.402]

Одиофотонные процессы рассматриваются в первом приближении метода возмущений. Поэтому для искомой вероятности надо использовать выражение (10.2.13), в котором матричный элемент определяется выражением (11.1.1). При этом надо сделать несколько замечаний относительно входящей в (10.2.13) функции G. Во-первых, в рассматриваемом случае непрерывному спектру принадлежит не конечное, а начальное состояние системы. Оно обладает энергией энергия фотона изменяется непрерывно. Соотношение (6.1.15) может быть здесь нсполь-зовано, но при условии, что G есть плотность не конечных, а начальных состояний системы. Во-вторых, задание век-—> [c.261]

Э. п. в слаботурбулентнон бесстолкновнтельной плазме может возбуждаться на модах непрерывного спектра в отклике слабой турбулентности на внеш. воздействие. Возбуждение Э. п. в турбулентной плазме происходит в осн. аналогично изложенному выше. Напр., в случае пространств. Э. п. 2-го порядка первый источник, расположенный в точке 2 = 0, возбуждает на частоте 1] ионно-звуковую волну и порождает возмущение спектральной плотности плазмонов вида [c.648]

Здесь I j,—групповая скорость плазмонов. Вследствие резонансного затухания ионно-звуковых волн в газе плазмонов с декрементом у, и фазового перемешивания мод непрерывного спектра (5) вносимое первым источником макроскопич. возмущение исчезает на расстояниях порядка ,/y где с, — скорость звука. Второй источник, расположенный в точке z=I ly возбуждает в плазме на частоте ионно-звуковую волну и возмущение типа (5) и, кроме того, модулируя моды непрерывного спектра от первого источника, порождает на разностной частоте Пэ = П2 —нелинейное возмущение спектральной плотности плазмонов, являющееся источником эхового сигнала. В точке эха моды непрерывного спектра становятся когерентными, поэтому суммирование по к приводит к возникновению в окрестности точки 2 макроскопич. возмущения концентрации плазмы йи,. Пространств. форма эхового сигнала несимметрична слева от точки эха профиль амплитуды 5и,, описывается ф-цией ехр (О, а справа—ф-цией ехр(- ), где = Уэ(г-г,)/с.,. [c.648]

Приведенный выше вывод уравнения Паули содержит несколько моментов, на которые стоит обратить внимание. Папомним, что возмущение ЛЯ считалось малым по сравнению с Н . Па этом основании интегральный член уравнения (2.5.38) был вычислен в пределе Л 0. Отметим, однако, что нужно выполнить еще два предельных перехода термодинамический предельный переход V оо N/V = onst), который типичен для макроскопических систем, и переход +0. Как мы уже знаем, результат может существенно зависеть от того, в каком порядке совершаются предельные переходы в уравнениях, описывающих необратимые процессы. Из формулы (2.5.44) видно, что коэффициенты перехода имеют смысл только в случае непрерывного спектра т. е. в термодинамическом пределе. Так как сингулярная дельта-функция возникает в результате перехода +0, мы приходим к заключению, что сначала должен вычисляться термодинамический предел К оо, а уже затем +0. Это — тот самый порядок пределов, который необходим при построении неравновесных распределений. Вопрос о порядке предельных переходов Л О и г +0 при выводе уравнения Паули был подробно исследован ван Ховом [160] с помощью несколько иного подхода ). В контексте вывода, приведенного выше, результат ван Хова означает, что уравнение (2.5.38) переходит в уравнение Паули, если Л О и г +0, но при вычислении [c.142]

Отметим, что сумма по промежуточным состояниям в (4.34) включает как состояния дискретного, так и непрерывного спектра. В следующем порядке теории возмущений появляется так называемая гиперполяри- [c.98]

Векторы состояния г ) , составляющие полную систему, ортонормировапную па единичный объем, в случае непрерывного спектра отвечают, соответственно, расходящимся и сходящимся волнам. Как известно, соответствующие ряды теории возмущений содержат добавки е в правилах обхода особенностей, где е — бесконечно малая положительная величина, определяющая скорость адиабатического включения взаимодействия. Между тем в аналогичных выражениях для дискретного спектра, для которого векторы 1 ) совпадают (стоячая волна), особенности понимаются в смысле главного значения. Для унификации правил обхода и самих уравнений излагаемого метода удобно сделать замену [c.259]

В теории полагается, что передача энергии осуществляется в результате кулоновского взаимодействия донора ( )) и акцептора (Л). Взаимодействие считается пекогерентным, т. е. его скорость много меньше скорости релаксации внутри взаимодействующих уровней. Вероятность передачи энергии возбуждения между уровнями донора и акцептора А (уровни считаются однородно уширенными) определяется в первом порядке теории возмущений для переходов в непрерывном спектре выражением [c.38]

До сих пор мы говорили лишь о нейтральных и неустойчивых возмущениях в пограничном слое. Естественно думать, что все эти возмущения относятся к низшей моде собственных функций соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда, имеющего, кроме того, еще последовательность быстро затухающих высших мод, подобных изученными Гроне (1954) и другими авторами (ср. Грош и Салвен (1978)) для плоских течений Куэтта и Пуазейля. Для пограничного слоя эти высшие моды рассматривались, в частности, Корнером, Хьюстоном и Россом (1976), но в случае течения в пограничном слое (и других плоскопараллельных течений в неограниченном слое жидкости) и они не исчерпывают всего спектра собственных функций. Дело в том, что в таких течениях обычно имеется еще и непрерывный спектр собственных значений, которому также отвечают только затухающие возмущения (см. по этому поводу работы Гроша и Салвена (1978) и Салвена и Гроша [c.116]

Информация о всех собственных функциях дискретного и непрерывного спектра важна для исследования судьбы пространственно локализованного возмущения, внесенного в течение в начальный момент времени. Здесь, очевидно, требуется рассмотреть задачу с начальными данными, разложенными по всем пространственно-периодическим собственным модам вида г )(х, /) = = ехр [/( 1Х + 21/ — ксп1) п[г) (где к= а п — номер [c.116]

Задача об определении возможных значений частот й при данных граничных условиях движения представляет собой Eigeпwert-пpoблeмy. В результате ее решения должен получиться спектр собственных частот . . . Можно предполагать, что частоты непрерывного спектра соответствуют движениям г>1 [возмущение], не затухающим на бесконечности [в пространстве], а частоты дискретного спектра — движениям, достаточно быстро затухающим на бесконечности (подобно тому, как это имеет место во многих других Е1йеп ег1-проблемах). . . Соответственно этому ниже мы можем рассматривать только частоты й дискретного спектра . [c.479]

При другом методе получения формул для сечения вида (8.16)—(8.19) используется золотое правило нестационарной теории возмущений (сы., например, книгу Шиффа [755], стр. 231, формула (29.12)). Согласно этому правилу, физическую систему нужно заключить в ящик конечного размера, имеющий объем V, с тем чтобы заменить непрерывный спектр гамильтониана дискретным. Затем нужно вычислить плотность конечных состояний в пределе К->- оо. Последняя совпадает с множителем объема фазового пространства, и зависимость от У в конечном результате исчезает. Подробное обсуждение процедуры перехода от дискретного спектра к непрерывному при 1/ оо можно найти в работах 217, 310, 424]. [c.211]

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто/но все же не всегда—это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-тО коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные собственные функции часто просто упускаются из виду, в результате чего система элементарных решений вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни [c.102]

В первых двух из перечисленных трех случаев движение, возникающее при Re = Rer (или Ra = Raer), является стационарным (т. е. для него o)i = 0). Тем не менее, развитые выше соображения вполне могут быть применены и к этим случаям, так как неустойчивое возмущение здесь зато оказывается периодическим относительно некоторых координат (координаты Z в первом случае и координат х и у во втором) поэтому вместо осреднения по времени здесь можно воспользоваться осреднением по этим координатам. Другое, более существенное осложнение возникает в этих случаях в связи с тем, что неустойчивые возмущения здесь относятся к непрерывному спектру (они зависят от непрерывно меняющегося волнрвого числа к). поэтому, строго говоря, при Re > Reer (или Ra > [c.147]

В спещ1альной обстановке сингулярно непрерывная компонента может обладать определенной устойчивостью. Так, в модели Фридрихса—Фаддеева сингулярный непрерывный спектр сохраняется (отсутствует у обоих операторов Яо и Я), если ядро возмущения достаточно гладкое (см. следствие 4.2.2). Предположение о гладкости лежит здесь в существе дела. Без [c.242]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...