Величины ковариантные

Рассмотрим систему уравнений (2.82) — (2.83) применительно к системе координат, связанной с поверхностью тела [20]. Выразим все пространственные ковариантные производные в величинах ковариантных производных на поверхности и частной производной по нормали к поверхности. При этом символы кристофеля, которые возникают при пространственном ковариантном дифференцировании по поверхности, в координатах имеют такой вид [c.108]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Величины а, называются ковариантными компонентами вектора ). [c.50]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386]

Величины Аа назовем ковариантными составляющими вектора [c.349]

Если при переходе от одной системы отсчета к другой абсолютное значение величин изменяется, но вид некоторого уравнения остается без изменения, то говорят, что уравнение ковариантно относительно рассматриваемого преобразования. [c.82]

Можно также получить равенства = О, — О, т. е. при ковариантном дифференцировании метрические тензоры ведут себя как постоянные величины. [c.416]

Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной [c.208]

Если на фронте волны терпит разрыв функция, описывающая состояние среды, то говорят о разрыве нулевого порядка. Если функция и ее производные до (т—1)-го порядка непрерывны, а т-е производные испытывают разрыв, то говорят о разрыве /и-го порядка. Мы используем эйлеровы переменные х х , X и лагранжевы переменные a , а , а (беря в качестве них начальные координаты частицы). Как обычно, верхними индексами обозначаются контравариантные величины, нижними — ковариантные (при этом х = дгг). [c.6]

Функция Лагранжа L есть инвариант этого преобразования, но Pi и Pi являются ковариантными величинами, связанными между собой по определенному правилу. Будем считать L функцией одних только qi, забыв на некоторое время о наличии переменных qi и t, которые как бы останутся постоянными. Тогда принцип инвариантности дает для произвольных вариаций qi и соответствующих вариаций Q/ [c.230]

Результаты, изложенные в этом разделе с помощью методов Лагранжа и Гамильтона, в своей сущности тождественны результатам, приведенным в предыдущих разделах. Следует, однако, отметить, что при такой ковариантной форме записи требуются значительно более простые исходные выражения. Функция Лагранжа, определенная формулой (10.37), является одним из наиболее простых скалярных выражений, которые можно составить при этом мы предполагаем, что данная функция зависит от таких величин, как Хц, Пц и Лд. Такая точка зрения оказалась весьма полезной при изучении более сложных систем. В следующей главе в связи с этим будут рассмотрены элементы теории поля. [c.149]

Величины q являются прототипом контравариантного вектора. Зависящие от q коэффициенты в форме 27 имеют ковариантный характер они образуют ковариантный фундаментальный тензор. Величина 27 является контравариантной формой, соответствующей форме 27, так как импульсы образуют компоненты ковариантного вектора, соответствующего контра-вариантному вектору q . Левая сторона уравнения (Г) представляет, следовательно, просто-напросто контравариантную фундаментальную форму, в [c.680]

Удобно обозначить новые координаты через др (а не д ) для преобразований, сохраняющих форму (101.10), не существует различия между контравариантными и ковариантными величинами. [c.359]

Величины, преобразующиеся аналогич-0 ковариантных и контра- дд векторам базиса э, по (4.5), называют-вариантных величинах ковариантными. Величины, преобра- [c.51]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Величины VJTih являются компонентами ковариантного тензора третьего ранга. Он называется абсолютной (ковариантной) производной тензора ТцР [c.387]

Величины gij представляют собой компоненты ковариантного тензора второго ранга, который называется метрическим тензором. Аналогично, (g ) — контравариантный метрический тензор, (g j) — кон-траковарЯантный метрический тензор и (gj ) — коконтравариантный метрический тензор. [c.410]

Сопряженные векторы. В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контра-вариантного и ковариантного векторов и соответствующих проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются по-разному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или кова-риантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории-анализ инвариантов преобразований. Обычно контравариант-ные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е -ковариант-ный вектор, е -контравариантный вектор. Эти векторы принадлежат различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. [c.132]

Лишь после введения метрики пространства можно скалярное произведение выразить либо только через ковариантные, либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между кова-риантными и кот равариантными векторами. [c.132]

Тензор gai (или gi ) называют метрическим те.нзором, gas — ero ковариантные компоненты. Контравариантные компоненты метрического тензора g равны алгебраическим дополнениям элемента gsa в определителе ligsall, деленным на величину определителя. [c.128]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Согласно принятым в общей теории относительности обозначениям, индексы у контраградиентных (или контравариантных) величин Q, р пишутся сверху, в отличие от ковариантных величин qj . Однако для наших целей нам нет необходимости вводить разные обозначения для ковариантных и контравариантных величин. [c.268]

Если исходить из наших обычных кинематических представлений, то эти два постулата противоречат один другому. Однако Эйнштейн показал, что их можно примирить, если отказаться от нашего обычного представления о существовании абсолютного времени . Он нашел соотношение, которое должно связывать результаты измерения расстояния и времени, производимые двумя наблюдателями в системах отсчета, одна из которых движется относительно другой с постоянной скоростью. Получившиеся уравнения показывают, что время t утрачивает свой абсолютный характер и должно быть теперь добавлено к трем пространственным координатам. Время / превратилось из инвариантной величины в ковариантную, тогда как скорость света с, наоборот, из ковариантной величины в г нвариантную. [c.332]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

В современной литературе для тензорных величин, преобразующихся как дифференциалы координат, употребляется обычно термин ковариантные величины . [c.911]

Если применять действительные координаты х в пространстве — времени, то надо различать ковариантные и контравариантпые векторы. Переход от одних к другим выполняется с помощью фундаментального тензора gmn (107.1). Однако геометрия пространства — времени не изменится, если изменить знаки всех величин gmn на обратные. Отсюда, когда мы приведем gmn к диагональному виду, применяя вещественные декартовы координаты, могут иметь место два случая можно взять [c.408]

КОВАРИАНТНОСТЬ — свойство фпз. величин, они сывающих данное явление или круг явлений, преобра зовываться по представлениям группы инвариантности установленной или предполагаемой для этого круга Подробнее см. Инвариантность. в. П. Павлов. [c.390]

Различные физ. величины нреобразуются иод действием Л. п. в зависимости от их свойств ковариантности. Наиб, употребительными являются четырёхмерные скаляры, векторы, тензоры, спиноры. Примером (антисимметричного) тензора второго ранга является тензор ЭЛ.-магн. поля, элементы к-рого представляют собой нространств. компоненты напряжённостей электрич. [c.609]

Смотреть страницы где упоминается термин Величины ковариантные : [c.347] [c.821] [c.17] [c.13] [c.55] [c.81] [c.345] [c.8] [c.8] [c.8] [c.9] [c.13] [c.41] [c.640] [c.640] [c.657] [c.241] [c.59] [c.138] [c.444] [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...