Движение точки в трехмерном пространстве

В качестве примера рассмотрим случай, когда движение точки в трехмерном пространстве имеет первый интеграл А.г = хру—урх. Каков смысл потока, порождаемого этим интегралом Уравнения (27) будут [c.136]

Уравнение движения точки в трехмерном пространстве (П2.14) равносильно системе двух скалярных уравнений в проекциях на касательную 8 и нормаль п к траектории движения [c.435]

Движение точки в трехмерном пространстве [c.42]

Рассуждение Каратеодори нельзя признать убедительным, потому что при сравнении движений, описываемых уравнениями (3.1) и (3.3) следует иметь в виду, что система уравнений (3.3) описывает движение изображающей точки в трехмерном пространстве, а система уравнений (3.1) — в двухмерном пространстве. Следовательно, при переходе от (3.3) к (3.1) система вырождается. Рассмотрим снова систему уравнений (3.3). Введем малый параметр = [c.237]

Рассмотрим движение материальной точки в трехмерном пространстве у, г между двумя стенками, заданными [c.98]

Картан назвал эту форму элементом материи. Если мы рассмотрим трехмерную совокупность частиц сплошной среды, причем каждая частица рассматривается в свой определенный момент ее движения, то в четырехмерном пространстве-времени хх, Ж2, жз, 1 получим трехмерную область т. Интеграл от 3-формы по т, очевидно, равен общей массе совокупности рассматриваемых частиц. [c.116]

Основными величинами, описывающими движение газа в трехмерном пространстве точек (векторов) х и времени t являются [c.14]

Теперь обратимся к задаче о движении свободной материальной точки в трехмерном пространстве под действием консервативных сил с потенциалом У(т). Действительная траектория, соединяющая две точки Ио и /1 , может быть найдена как экстремаль функционала укороченное действие, записанного в форме Якоби [c.154]

Из всех событий реального мира теоретическая механика выделяет главным образом события, связанные с геометрическим аспектом процесса движения. Такие события состоят в том, что рассматриваемая геометрическая точка в заданный момент времени занимает конкретное положение в физическом пространстве. В этом смысле представление о мире можно предельно упростить, изображая его события точками в четырехмерном пространстве, полученном из трехмерного физического пространства добавлением измерения, отражающего ход времени. Время — особое измерение. Его отношение к геометрическим объектам зададим с помощью галилеевой пространственно-временной структуры, включающей следующие аксиомы [c.154]

Максимальное число независимых связей для материальной точки, движущейся в трехмерном пространстве, не может превышать трех. Если имеются три такие связи, то ими скорость точки определена однозначно как функция координат и времени. Изучение закона движения в этом случае представляет собой задачу кинематики, а задачей динамики тогда будет лишь определение усилий, реализуемых этими связями. [c.205]

В трехмерном пространстве часто применяются цилиндрические (рис. 17) и сферические координаты (рис. 18). Уравнения движения точки в цилиндрических и сферических координатах имеют соответственно вид [c.72]

При этом мы должны отметить, что, говоря о траектории системы , мы подразумеваем не траекторию отдельной точки системы в трехмерном пространстве, а многомерную характеристику движения всей системы в целом. Если рассматриваемая система имеет / степеней свободы, то траектория ее движения расположена в /-мерном пространстве обобщенных координат , / (ср. 70). [c.243]

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные моменты р. Гамильтонова функция W(p, q), которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований. Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так [c.915]

Задача 51 (иллюстрация к теореме Пуассона и комментарию к ней). Рассмотрим движение точки массы т в трехмерном пространстве у, z) в поле с потенциалом V x, у, z). Тогда [c.234]

В простых случаях, которые будут рассмотрены в этом параграфе, процесс ориентирования моделируется движением геометрической точки -схвата в трехмерном пространстве. [c.659]

Уравнение поверхности прочности. Уравнение (3.7) для ортотропного материала упрощается, поскольку при расшифровке краткой тензорной записи все повторяющиеся индексы (г, к, I и т) последовательно принимают только два значения, например для плоскости -ху — только значения 1 и 2. Поверхность прочности описывается уравнением, вытекающим из полиномиального условия прочности для сложных напряженных состояний (3.7). Графическое изображение условия прочности некоторого ортотропного материала при плоских напряженных состояниях в виде поверхности прочности в трехмерном пространстве напряжений представлено на рис. 3.6. Любая точка, находящаяся внутри поверхности, соответствует безопасному напряженному состоянию и определяется координатами п , о и В рассматриваемой системе координат при простом (пропорциональном) нагружении происходит движение точки по направлению луча [c.147]

Сплошную среду в механике рассматривают как непрерывную совокупность (континуум) частиц, называемых также материальными точками. Движение среды определяется по отношению к системе координат. Пусть в трехмерном пространстве задана некоторая система координат (например, это может быть прямоугольная декартова система координат). Используют два основных подхода к описанию движения сплошной среды 16, 17, 59, 64, 71, 82]. Первый из них — подход Лагранжа — состоит в том, что фиксируют координаты частиц (С ,С ,С ) в некоторый момент времени to, который в дальнейшем будем называть начальным, и все величины, характеризующие движение среды, рассматривают как функцию этих координат (называемых также материальными или вмороженными [82] координатами). Набор чисел (С ,С ,С ) однозначно определяет частицу среды. [c.6]

Поверхность может быть представлена движением (задаваемым параметром t) в трехмерном пространстве жесткой или деформируемой кривой р = р (t/). Таким образом, уравнение р = р (t), t) определяет поверхность. Если один из параметров U или t зафиксировать, а другой изменять, то получим кривую, лежащую на поверхности, которая называется параметрической кривой поверхности. Изменяя параметры с некоторым шагом, получаем сетку параметрических кривых. Примерами простых кинематических моделей поверхностей являются поверхности вращения и линейчатые поверхности. Поверхность вращения получается в результате вращения плоской кривой вокруг оси симметрии. Так, эллипсоид вращения образуется в результате вращения эллипса [c.261]

Пусть в трехмерном пространстве движение материальной точки задается уравнением (П2.14). Тогда это уравнение с учетом зависимости (П2.17) можно записать как [c.437]

В трехмерном пространстве р, д, г) угловых скоростей твердого тела с одной закрепленной точкой, движущегося но инерции, выбирается некоторая область С о. Движения твердого тела с начальными условиями в Со переводят эту область в область Сг-Найти объем 14 области если объем области Со равен Уо- [c.230]

Ньютонова механика изучает движение системы материальных точек в трехмерном евклидовом пространстве. В евклидовом пространстве действует шестимерная группа движений пространства. Основные понятия и теоремы ньютоновой механики (даже если они и формулируются в терминах декартовых координат) инвариантны относительно этой группы ). [c.11]

Пример 2. Среди галилеевых преобразований имеются сдвиги в трехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких сдвигов означает, что пространство однородно или имеет одинаковые свойства во всех своих точках . То есть, если аС = = t) г = 1,. - п) — движение системы п точек, удовлетворяющее (1), то для всякого г е К движение фг ( ) -(- ( = -.. ., п) также удовлетворяет уравнению (1). [c.17]

Таким образом, волновой фронт общего положения в трехмерном пространстве имеет только ребра возврата и точки типа ласточкин хвост . При движении фронта в отдельные моменты времени наблюдаются еще перестройки трех типов А , В1 (см. добавление 12, где нарисованы соответствующие каустики, заметаемые особенностями фронта при его движении). [c.334]

Для описания движения механических систем используют разные математические модели, в основе которых лежат различные принципы — законы движения. В этой главе перечислены осно ные объекты и принципы классической динамики. Наиболее простой и важной моделью движения реальных тел является ньютонова механика, которая описывает движение свободной системы взаимодействующих точек в трехмерном евклидовом пространстве. В 6 обсуждается целесообразность рассмотрения с точки зрения ньютоновой механики усложненных моделей движения. [c.11]

Покажем сначала, что из определения плоскопараллелыюго движения вытекает возможность привести задачу об изучении движения тела в трехмерном пространстве к задаче изучения движения плоской фигуры в ее плоскости. Рассмотрим точку М тела, совершающего плоскопараллельное движение (рис. 84). Спроектируем эту точку на плоскость Р, параллельно которой движутся точки тела. Пусть т — проекция точки М на плоскость Р. Очевидно, при плоскопараллельном движении абсолютно твердого тела расстояние Мт не изменяется. Следовательно, положение и закон движения точки М полностью определяются положением и законом движения ее проекции т. Так как точка Л1 взята в теле совершенно произвольно, то положение тела в произвольный вомент времени в пространстве и его закон движения определяются положением его проекции Q на плоскость Р и законом движения этой проекции на плоскости. Поэтому далее рассматривается исключительно движение плоских фигур. Конечно, надо помнить, что эти плоские фигуры — проекции [c.184]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Функция Ф может зависеть лишь от разностей радиусов-векторов и разностей скоростей точек изолированной системы. В самом деле, среди галилеевых преобразований имеются сдвиги в трехмерном пространстве. Пусть гД<), г = 1,...,ЛГ суть законы движения всех точек системы. Тогда г (<) -Ь г, г = 1,..., Л, г = onst также будут законами их движения. А это значит, что совместно должны быть выполнены равенства [c.158]

Пример 3.7.3. Движение точки в поле параллельных сил тяжести. Основные формулы для такого движения можно найти в примере 3.5.2. Здесь проиллюстрируем действие основных теорем динамики точки. Пусть вектор ез задает направление вертикали, и на материальную точку действует сила тяжести Р = —тдеа. Выберем ор-тонормированный репер Оехвзвз с началом в произвольной точке О трехмерного пространства. Векторы в1 и ез образуют горизонтальную плоскость V, проходящую через начало координат О Количество движения материальной точки подчиняется уравнению [c.196]

Число п называется числом степеней свободы системы (для понимания дальнейшего достаточно представить себе двумерную поверхность в трехмерном пространстве Л =1, г=1, т. е. ограничиться движением точки по нешероховатой поверхности, о котором уже говорилось в теме 5). Локальные координаты на многообразии положений имеют специальное название — определяющие координаты (говорят также лагранжевы , или обобщенные координаты ). Смысл термина в том, что расположение системы точек rrii в пространстве однозначно определяется п величинами (фактически мы имеем частный случай (9)) [c.92]

Вращение. Еслп элементами й группы В являются последовательные положения одного звена относительно другого звена при вращательном движении в трехмерном пространстве, то, сопоставив, как и в предыдущем случае, каждому звену систему координат соответственно OiXiy Zi и получим представ- [c.51]

Значение этого множителя получается из следующих соображений. Если бы движение энергии осуществлялось в одйом измерении и плотность потока энергии распределялась одинаково между двумя направлениями, то плотность потока энергии в одном направлении была бы равна W(u 2. Однако в трехмерном пространстве при изотропном распределении плотностей потоков энергии поток в заданном направлении образуется в результате сложения проекций плотностей потоков во всех направлениях на данное, причем необходимо учитывать только потоки с положительной проекцией. Поэтому плотность потока энергии в направлении, например оси Z, равна < у. > w , /2, где < у, > — феднее значение положительной проекции скорости потока на ось Z. Обозначая через 6, ф полярный и аксиальный углы в сферической системе координат, находим [c.303]

Как известно, на заре развития механики предлагались в качестве меры механического движения для материальной точки количество движения ти (Декарт) и удвоенная кинетическая энергия (Лейбниц), но эти меры движения являются менее совершенными и менее универсальными, чем величины 81, и 8н-Для дальнейшего оказывается весьма полезной следующая геометрическая интерпретация движения системы. Пусть механическая система точек (или твердое тело) имеет 5 степеней свободы и ее положение относительно системы отсчета (материального базиса) определяется обобщенными координатами ( 1, <72, дг,, де). При движении системы обобщенные координаты будут изменяться, т. е. будут некоторыми функциями времени t. Будем рассматривать совокупность обобщенных координат (< 1, , <7 ) для каждого момента времени как координаты точки в пространстве -измерений. Тогда каждой конфигурации (положению в пространстве) механической системы будет соответствовать точка в -мерном пространстве. Так как по природе реального механического движения обобщенные координаты ( 1,. . ., дз) являются непрерывными функциями времени, то каждому конечному перемещению системы с степенями свободы в трехмерном евклидовом пространстве будет соответствовагь некоторая кривая в -мерном пространстве. Мы будем называть такое -мерное пространство пространством конфигураций, а кривую в этом -мерном пространстве, соответствующую реальному движению системы, — траекторией механической системы (соответственно твердого тела) в пространстве конфигураций. Каждая точка такой траектории в пространстве конфигураций однозначно соответствует некоторому положению в евклидовом пространстве реальной механической системы. Пользуясь введенной терминологией, можно сказать, что для реально осуществляющихся механических движений на истинной траектории в пространстве конфигураций меры движения 8ь и 8ц принимают [c.123]

Если в кинематике механизмов, в которой рассматривалась лишь геометрия движения, очертанием звеньев пренебрегали, фиксируя лишь характерные размеры, как, например, расстояние между центрами шарниров и другие размеры, определяющие относительное движение звеньев, то при расчете на прочность необходимо иметь представление о звене в трехмерном пространстве. Силы, действующие на элементы кинематических пар,, появляющиеся в результате технологических и механических сопротивлений, определяют напряжения в звеньях, если размеры последних выбраны, или же определяют размеры звеньев, 1сли заданы напряжения материала звеньев. Таким образом, расчету машин на прочность должно предшествовать определение сил. Поэтому одной из основных задач статики и динамики машин является определение тех сил, которые действуют на элементы кинематических пар и вызывают деформации звеньев в процессе работы машин. [c.354]

Основным результатом механического воздействия на материал являются относительные смещения частиц материала (движение), при которых не нарушается его сплошность, или непрерывность, вызывающие его деформацию. Смещения характеризуются по отношению к выбранной системе отсчета, или системе координат. В трехмерном пространстве каждая частица материала может быть определена как точка с тремя координатами х , з . Система координат может выбираться криволинейной и прямолинейной. В последнем случае координат-Рис. 1.2.1. Криволинейная II декар- ные линии — прямые. Если они това системы координат. ортогональны (взаимно перпенди- [c.8]

Пример. Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по поверхности вращения в трехмерном пространстве. Мояшо показать, что орбиты суть геодезические на поверхности. В цилиндрических координатах г, ф, 2 поверхность задается (локально) в виде г = г (г) или г = г (г). Соответственно кинетическая энергия и..1еет вид (рис. 66) [c.79]

Эллиптичность и гиперболичность относятся к характеру движения в динамической системе, инвариантно связанной с подмногообразием. Возникающее бездивергентное векторное поле в трехмерном пространстве имеет целую линию особых точек. Классификация особых линий оказывается менее патологической, чем классификация особых точек (приближающаяся по трудности к задачам небесный механики). [c.448]

Если для геометрического изображения воспользоваться тором, то тогда существует в трехмерном пространстве тор (бублик) с радиусами / тах и / mln. а движение точки Р изображается кривой, целиком расположенной внутри тора. При этом точка совершает бесконечное число оборотов по долготе и бесконечное число раз переходит из верхней (северной) части тора в нижнюю (южную). При а = onst и е — onst точка движется по поверхности тора с радиусами Rq, Го, совершая бесконечное число оборотов по долготе и широте (рис. ПО, П1). [c.806]

В трехмерном пространстве число функциональных степеней свободы уменьшается. Если, следуя Кренеру, рассматривать несимметричный тензор т]гй, то система будет иметь 15 функциональных степеней свободы, но при этом надо ввести обобщенный тензор R h, известный из неголономной геометрии, и потребовать, чтобы коэффициенты вращения Риччи не зависели от закона движения элемента сплошной среды. При симметричном тензоре т] система будет иметь 12 функциональных степеней свободы в трехмерном пространстве. Аналогичные заключения можно сделать об уравнениях (2.23). [c.22]

Среди преобразований Галилея есть сдвиги в трехмерном пространстве . Из однородности вытекает, что в инерци-альиых системах отсчета силы зависпт лишь от относительных координат гц—г/. Из инвариантности уравненнй Ньютона относительно подгруппы ргшномерных движений 1 следует, что силы зависят также лишь от относительных скоростей точек [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...