Классификация особых точек

В зависимости от раз.пичных начальных условий имеем семейство концентрических эллипсов, отличающихся друг от друга только одним параметром — постоянной энергии. Начало координат (поло-X жение равновесия гармонического осциллятора) в соответствии с общепринятой классификацией особых точек представляет собой центр. [c.213]

Статья 2 посвящена классификации критических (особых) точек коллинеарного движения в пространстве. Теперь этот вопрос рассматривают в более общем виде как пример классификации особых точек линейных систем [2]. [c.51]

Приведем критерии для классификации особых точек уравнения (161). Эти критерии устанавливаются при изучении дифференциального уравнения (161), которое с помощью неособого линейного преобразования [c.107]

Интегрирование уравнения (162) позволяет выяснить расположение интегральных кривых в окрестности особой точки Xj = = О (или х = v = Q), т. е. определить тип особой точки. Судя по уравнению (162), на вид интегральных кривых, определяющих тип особой точки, влияют корни X] и А,2, которые зависят от коэффициентов а, Ь, с, d уравнения (161). Подробное рассмотрение классификации особых точек изложено в работах [33, 67]. [c.107]

Классификация особых точек [c.64]

Различные способы классификации особых точек восходят еще к работам АЛ . Ляпунова [240], Е. Шмидта [505] и А. Пуанкаре [486]. Они в дальнейшем обсуждались и развивались в исследованиях [346, 453, 147,212,53] и др. [c.179]

Классификация особых точек в рамках предложения о равноправии неизвестных и параметра дана в работах [353, 113, 114, 357, 358, 115]. Само же это предложение впервые, по видимому, было высказано в работах [493, 245]. Однако, как показано в [353, ИЗ, 115], реализация его невозможна при разрешении линеаризованной системь (1.1.7) методом исключения. [c.179]

КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК 53 [c.53]

КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК [c.220]

Мы рассмотрели случаи линейной динамической системы. Однако если система описывается и нелинейным дифференциальным уравнением с аналитической правой частью, то изложенная классификация особых точек сохраняет силу. [c.225]

При = 0, z = из (1) следует = 0. Этой точке соответствует равновесное решение уравнения (1). По общей классификации особых точек дифференциальных уравнений - это особая точка типа центра. Малое отклонение начальных данных от этой точки приводит к решениям (3), которые остаются близкими к равновесному. В этом случае говорят об устойчивом положении равновесия. [c.243]

Значениям 6 > О или 6 < О соответствуют участки гипербол. При 6 = 0 точке I, 0) отвечает равновесное решение уравнения (1). В этой точке не только г = 0, но и г = 0. По общей классификации особых точек такая точка называется особой точкой типа седла. [c.244]

Топологическая классификация точек покоя системы. Проведем топологическую классификацию особых точек системы (1.17) при условии (0.8). [c.165]

Топологическая классификация особых точек укороченной системы. Топологический анализ исследуемой системы начнем с классификации особых точек. Далее, как и ранее, 2 "(0) [c.194]

I. Топологическая классификация особых точек укороченной системы в трехмерном пространстве. Как и ранее, вве- [c.272]

Замечание. Топологическая классификация особых точек линейных систем, даже и не гиперболических, совпадает с топологической классификацией линейных систем во всем прост ранстве R", заключающейся в следующем. [c.53]

В этом параграфе обсуждаются общие подходы к локальным задачам анализа и приводятся теоремы, которые показывают, что в сильно вырожденных случаях проблема устойчивости и проблема топологической классификации особых точек в определенном смысле неразрешимы. Полученные, в настоящее время критерии устойчивости и классификационные теоремы, применимые в не слишком вырожденных случаях , приводятся в 5. [c.53]

Критерии устойчивости и топологическая классификация особых точек в случае вырождений малой коразмерности [c.63]

Топологическая классификация особых точек в комплексной области [c.84]

Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости я проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1976, 99, вып. 2, 162—175 [c.143]

Исследование производится общими методами качественной теории дифференциальных уравнений. Классификацию типов особых точек уравнения первого порядка можно найти в книге В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, глава И. [c.567]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Особые точки (ОТ) и их классификация. Рассмотрим однородные ур-ния, соответствующие (1) и (2) U (z) = А (г) W, (3) [c.77]

Разл. фазовые траектории одной достаточно гладкой динамич. системы не пересекаются в Ф. п. (в противном случае, выбирая точку пересечения за нач. условие, мы получили бы, что из одной точки начинается более одной фазовой траектории последнее противоречит теореме Коши). Фазовые траектории могут представлять собой либо отд. точки, либо замкнутые кривые, либо отрезки кривых конечной длины, заключённые между двумя точками (последние не принадлежат данной траектории), либо кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, являющиеся точками, наз. особыми точками и отвечают стационарным состояниям динамич. системы. Классификация структурных элементов фазового портрета выполнена в теории колебаний. [c.267]

КЛАССИФИКАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ИХ ОСОБЫМ ТОЧКАМ. ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ [c.534]

Гиперповерхность / = О инвариантно связана с формой (3). Поэтому классификация начинается с приведения к нормальной -форме многообразия особенностей, / = 0. Начало иерархии особых точек гиперповерхностей известно. В подходящей системе локальных координат гиперповерхность дается одним из уравнений [c.428]

Топологическая классификация точек покоя системы. Проведем типичную топологическую классификацию особых точек (0,0) и (тс,0) системы (8.8) на цилиндре, поскольку полученные далее соотношения на постоянн м для нее отличаются от аналогичных соотношений для системы (2.2) заменой Д на А ГЩ и на F (0). [c.292]

Понятие / -аналитических функций введено Г. Н. Положием в работе 1102] как одно из обобщений теории аналитических функций комплексного переменного. Свойства этих функций были подробно изучены в последующих работах того же автора и систематизированы в монографии [112]. Установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, доказана теорема Лиувилля, построена теория вычетов, установлена изолированность 4-точек, в которых р-аналитическая функция принимает значения А == onst, доказана теорема о сохранении области, а так--же получены некоторые другие результаты. [c.435]

Эллиптичность и гиперболичность относятся к характеру движения в динамической системе, инвариантно связанной с подмногообразием. Возникающее бездивергентное векторное поле в трехмерном пространстве имеет целую линию особых точек. Классификация особых линий оказывается менее патологической, чем классификация особых точек (приближающаяся по трудности к задачам небесный механики). [c.448]

Для выяснения топологической классификации точечных особенностей снова обратимся к отображениям в пространстве вырождения на единичную сферу. Выберем в заполненном нематиком физическом пространстве две точки А а В, соединенные некоторым контуром V. окружающим особую точку О, как показано на рис. 32. На единичной сфере контуру v отвечает определенный контур Г. Будем теперь вращать контур v вокруг прямой АВ. После полного оборота, когда контур совместится сам с собой, он опишет в физическом пространстве замкнутую поверхность о. Ее отображение S, описываемое контуром Г, покроет единичную сферу, возможно, более чем один раз. Число iV покрытий единичной сферы у отображением S является топологиче- / ской характеристикой особой точки. Ото- /. о [c.207]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

В /1-фазе Не возможно также существование объектов, подобных монополям,— вихрей с двумя квантами циркуляции, оканчивающихся в объёме с жидкостью в точке с точечной топологнч. особенностью — ежом в поле вектора I. Когда такой вихрь стягивается в точку на поверхности сосуда, он образует точечную поверхностную особенность в поле параметра порядка — буджум (см. Гелий жидкий). Всякие дополнит, взаимодействия — спин-орбитальиое, магн. поле и т. д. изменяют структуру параметра порядка сверхтекучей /4-фазы Не и приводят к др. классификации особых линпй и точек, а также к существованию топологически устойчивых неоднородных конфигураций параметра порядка доменных стенок, солитонов и нр, [c.267]

ПОЛИКРИТЙЧЕСКАЯ ТОЧКА (мультнкритическая точка) — особая точка на диаграмме состояния фнз. системы, допускающей существование нескольких упорядоченных фаз. Разл. виды упорядочения в этих фазах (конфигурационное, ориентационное, магнитное, сверхпроводящее и др. см. Дальний и ближний порядок) характеризуются многокомпонентным параметром порядка (1 = 1,. .., я). Классификация П. т. [c.14]

Классификация. Возможны два вида П. т. . 1) ФП вдоль фазовой границы сохраняет изоморфность (род ФП не меняется), что обычно характерно для систем 1-го типа. П. т. определяется пересечением двух или более фазовых границ 2) изоморфность ФП вдолц фазовой границы нарушается. П, т. представляет собой особую точку на линии ФП, в к-рой это происходит. Такая ситуация реализуется в оси. в системах 2-го типа. Примером изоморфных линий ФП в случае равновесия двух фаз — упорядоченной (дальний порядок) и неупорядоченной (ближний порядок) — является линия ФП 2-го рода в одноосной ферромагнетике (рис. 1), а для ФП 1-го рода фазовая граница жид- [c.14]

В ряде работ И. И. Артоболевского был развит геометрический метод кинематического анализа сложных кинематических цепей, основанный также на базе классификации Ассура. Он заключался в определении с помощью приемов проективной геометрии особых точек для сложных кинематических цепей, имеющих замкнутый контур. И. И. Артоболев- [c.367]

Здесь прежде всего следует отметить работу Брауэра, в которой вопрос о разбиении. сферы на области, заполненные траекториями со сходным поведением, рассматривается для весьма общего случая, именно, для случая непрерывного векторного поля на сфере, с конечным числом особых точек. (В силу того, что Брауэр предполагает по.т1е просто непрерывным, а не непрерывно-дифференцируемым, как в настоящей книге,— через неособые точки сферы может проходить более одной траектории.) Если классификацию областей, данную Брауэром, использовать в рассматриваемом нами случае непрерывно-дифференцируемого поля, то отдельные области Брауэра, вообще говоря, будут состоять из нескольких ячеек в смысле 17. В качестве примера можно привести область, представленную на рис. 341, образующую одну область Брауэра. Она состоит из двух ячеек. Вопрос о выделешш траекторий, определяющих топологическую структуру разбиения на траектории, Брауэром не ставился. [c.555]

Например, резонансный случай п = i, а = —1 соответствует классификации особенностей и бифуркаций особых точек векторных полей на прямой, т. е. особых точек дифференциальных уравнений X = V (х) и их бифуркаций в конечнопараметрических семействах. Однопараметрическое семейство общего положения приводится гладкой (голоморфной) заменой переменной х, гладко (голоморфно) зависящей от параметра, и гладкой заменой параметра к виду X — х + е + с е) (при к параметрах ответ такой X = х -[- г х - -Ь. . . -f- ej -Ь с (е) [c.428]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...