Тензоры деформаций как мера деформаций

Тензоры деформаций как мера деформаций [c.35]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Локальными характеристиками деформации считаем относительные удлинения и сдвиги. Поэтому тензор Грина принят как мера деформации [c.301]

Мы будем пользоваться для краткости изложения словами тензор напряжений , тензор деформаций , тензор скоростей деформаций , хотя можно было бы обойтись и без них, так как никакими специальными сведениями тензорного анализа мы пользоваться не будем. Впрочем, многие свойства тензоров второго ранга уясняются сами собой по мере изучения напряженного и деформированного состояний тела. [c.20]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

Тензор т]гй называется тензором несовместности деформаций. Этот тензор является мерой невыполнения условий сплошности среды. Но этот же тензор можно рассматривать как меру дополнительного инородного вещества, необходимого для восстановления сплошности. Иначе говоря, тензор т],71 является тензором материи — энергии, или материи — импульсов для дополнительного вещества. [c.535]

Градиент деформации F полностью описывает преобразование бесконечно малого элемента при деформации в частности, он содержит в себе информацию о вращении этого элемента как абсолютно жесткого и об искажении его формы. В качестве меры искажения формы можно использовать тензор деформаций g, определяемый равенством [c.346]

Из приведенных формул следует, что при е г 1 компоненты меры деформации отличаются от единицы слагаемыми порядка /г/6, весьма малыми для тонкой плиты. Компоненты тензора деформации имеют этот же порядок, тогда как перемещения отнюдь не малы. [c.97]

Идеально-упругое тело. В гл. I и II в рассмотрение были введены две группы величин первая группа величин, определяющих тензор напряжений, служила для описания напряженного состояния, возникающего под действием внешних массовых и поверхностных сил, тогда как величины второй группы — меры и тензоры деформации — определяли изменения геометрических объектов (отрезок, площадка, объем) при деформировании среды. Никаких предположений о связи между величинами этих двух групп — о законах состояния среды — не было сделано. Поэтому сказанное в этих главах приложимо к средам любой природы но его недостаточно для суждения о поведении какой-либо реальной среды, для построения ее механики. [c.628]

Из (4.3.2.21), (4.3.2.16) следует, что при жестком движении G = = 0-0 = /. Следовательно, тензор G при любом жестком движении будет одним и тем же. Вместе с тем, как видно из (4.3.2.16), аффинор деформации зависит от жесткого движения и поэтому не может быть использован в качестве меры деформации. [c.283]

Под определяющими соотношениями понимают зависимость между напряжениями и деформациями в сплошной среде. Например, это может быть зависимость между каким-либо из тензоров напряжений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и тензором деформации или тензорной мерой деформации, которые соответствуют данному тензору напряжений [59, 105. Эта зависимость описывает механические свойства материала. Определяющие соотношения могут быть заданы либо в виде [c.15]

В формулах (1.4.1)-(1.4.4) функция х в обш,ем случае анизотропной среды представляется в виде скалярной функции, зависящей от компонент одного из тензоров деформации, меры деформации или градиента места. В случае изотропной среды упругий потенциал представляется как функция инвариантов соответствующих тензоров. В зависимости от того, какие инварианты и каких тензоров используются в представлении потенциальной энергии, имеют место различные формы закона состояния гиперупругой среды. [c.21]

Представление (1.5.1) потенциальной энергии деформации как функции инвариантов меры деформации Коши-Грина (или Фингера, что одно и то же) и использование связи (1.3.4) между тензорами Пиола и Кирхгофа позволяет задать закон состояния выраженный через тензор Кирхгофа [c.24]

Еще недостаточно ясно, какие факторы в неравновесных сплавах и в какой мере ответственны за эти отклонения. Этими факторами могут быть и различное влияние напряженного состояния (в частности, шарового тензора) на физико-химические превращения, и большая неоднородность деформации, и большая анизотропия у неравновесных сплавов и др. Во всяком случае, большие отклонения от закономерностей у многих неравновесных по сравнению с равновесными сплавами можно считать установленными. Отсюда следует, что безоговорочное перенесение закономерностей деформации, обычно устанавливаемых на меди или других чистых металлах, на широкий класс других материалов, среди которых могут быть сложные неравновесные сплавы, может привести к неверным заключениям. [c.164]

Здесь ( ( , х) и (i, т) — меры ползучести сдвиговой и объемной деформаций. Если ввести компоненты тензоров -напряжений Оу и деформаций е , то, как известно, [c.443]

Конечно, шесть уравнений (2.88) не описывают движение системы однозначно, так как содержат по крайней мере шесть компонент тензора множителей ц , не менее шести компонент тензора входящих неявно в тензор Q[ ч), шесть компонент тензора деформации три компоненты вектора скорости связанные о [c.45]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Исключая тривиальные случаи, сформулированная динамическая задача неприступна не только математически трудность заключается в скудности надежно проверенных экспериментальных сведений, могущих подтвердить или отвергнуть приемлемость принятых зависимостей термодинамического потенциала От мер деформации и температуры (или энтропии) и еще менее коэффициента (в общем случае тензора) теплопроводности от его аргументов. Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термоупругости, хотя математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной энергии и далее в уравнения движения, как Постоянный параметр. В адиабатическом процессе этого упро- [c.419]

Такие отображения ф называются деформациями. Геометрические свойства деформаций и составляют предмет исследования настоящей главы, где, в частности, показано, что изменения объёмов, площадей и длин, вызванные деформацией ф, определяются соответственно скалярной величиной det Тф ( 1.5), матрицей of Тф ( 1.7, теорема 1.7-1) и правым тензором деформации Коши—Грина С = Тф Тф ( 1.8). Кроме того, как установлено в теоремах 1.8-1 и 1.8-2, тензор деформации Грина—Сен-Венана Е — С — I), отвечающий деформации ф, определяет меру отклонения ф от жёсткой деформации (для которой С = 1). Тензоры деформации С и Е принадлежат к числу основных понятий, на которые опирается изложение в последующих главах. [c.38]

Чтобы пояснить целесообразность выбора тензора С в качестве меры, ,деформации , которая интуитивно понимается здесь как измерение формы или размера , рассмотрим сначала един класс деформаций, не вызывающих таких изменений. [c.77]

Условие (Ь), т. е. равенство Т х, Р) =Rf x, 11)известное как теорема Рихтера, означает, что функция реакции в точке x Q полностью определяется своим сужением на множество всех симметрических положительно-определённых матриц иными словами, вклад поворота R не зависит от конкретной функции реакции . На основании эквивалентности аксиомы условию (с) аналогичное утверждение можно сделать относительно второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа. В этом случае определяющее уравнение предстаёт как функциональная зависимость между мерой деформации , т. е. тензором деформации С = и мерой напряжения , т. е. тензором напряже-, ний 2. По этой причине определяющие уравнения часто называют в литературе законами соответствия между напряжениями и деформациями (или просто законами напряжение—деформа- ция). [c.136]

В полярном разложении (11.9-1) введены две меры деформации I) и V. Кинематика не дает никаких оснований для предпочтения одной из них другой. Мы видели (соотношение (4)), что использование и приводит к простой приведенной форме определяющего соотношения простого материала. При желании, конечно, можно воспользоваться V вместо и. Поскольку и = = (яО V R подстановка в (4) показывает, чго, используя V, мы, вообще говоря, не можем исключить предысторию поворотов К, т. е. применение V не приводит к простому результату. Есть много других тензоров, которые столь же подходят для измерения растяжения, как и и V. В старой литературе тот или иной из них называют тензором деформации ), но термин деформация ) привел уже к такой путанице, что для нас будет благоразумнее вовсе избегать его. [c.163]

Разумеется, главная ось тензора напряжений в общем случае может не быть главной осью меры деформации, как показывает пример определяющего соотношения (IV. 4-4) упругой жидкости. [c.272]

При задании меры деформации (значит, и обратного тен зора = м) искомым является вектор г, определяющий положение точки в у-объеме, тогда как ее положение в У-объеме и метрический тензор в этом объеме известны — известны R п G (например, положение в V-объеме задается декартовыми координатами Xs, G = Е = isis). [c.89]

Вторая форма записи часто предпочтительнее первой, поскольку введение мер деформации упрощает запись формул. Переход к тензору деформации, конечно, не составит труда. Наличие формул (5.2.3) — (5.2.5) гл. II, связываюпдих инварианты мер деформации Коши и Альманзи, а также обратных им тензоров позволяет рассматривать А и как функцию инвариантов меры или тензора деформации Альманзи [c.632]

Как указывалось в п. I. 12, возможность установления квадратичной зависимости между соосными тензорами является следствием теоремы Кейли — Гамильтона (I. 10.11), позволяющей заменить степени тензора выше второй его нулевой, первой и второй степенями. Этим указывается другой способ вывода закона состояния. Форма связи рассматриваемого тензора напряжения с соответствующей мерой (или тензором) деформации задается квадратным трехчленом, коэффициенты которого далее определяются по условию интегрируемости вариации удельной потенциальной энергии деформации. Легче всего это проследить на примере энергетического тензора напряжений Q, через который эта вариация непосредственно определяется по формуле (2.1.1) [c.648]

Как и в кинематике трехмерного континуума (глава ]1)уможно ввести относительный градиент деформации поверхности относительные меры деформации и относительный тензор поворота. Аналогично (1.70) главы II имеем [c.75]

Соотношениями (6.18) материальная производная по времен порядка п от конвективных тензоров усилий и моментов задает ся как функция производных до (п— 1)-го порядка включитель но. от этих тензоров и производных, до некоторого порядка к о мер деформаций G, В. Для изотропных оболочек функции fi [c.118]

Более сложным является выбор меры приращений деформаций и напряжений. Дело в том, что когда рассматриваются приращения компонент тензоров, они, как в момент времени t, так и в момент времени t + At, должны относиться к одной и той же конфигурации [88]. Поэтому корректная UL-формулировка уравнений заключается в использовании приращений компонент тензоров tSij и tEij. Нельзя применять в качестве приращений компонент тензора деформаций величины , так как они относятся к различным конфигурациям. То же самое касается приращений компонент тензора напряжений Коши - Sij. [c.195]

Далее будем рассматривать среды, ршеющие упругий потенциал, — скалярную функцию градиента места частицы в деформированном состоянии, тензора деформации или одной из мер деформации, описывающую потенциальную энергию, накапливаемую телом в процессе нагружения. Существование множества различных форм уравнений состояния определяется как возможностью представления потенциальной энергии в виде скалярной функции одной из мер деформации или одного из тензоров деформации, так и множественностью определения напряженного состояния одним из тензоров напряжений. [c.20]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Вместе с тем в рамках этой теории исследовались, как правило, задачи о предельном равновесии, т. е. начале пластического течения. Получено ограниченное число решений задач с учетом изменения геометрии тела, собственно, о пластическом течении задачи о внедрении клина в полупространство, раздавливании клина плоским штампом [1-3], одноосном растяжении плоского [4] и цилиндрического [5] образцов, растяжении полосы с V-образными вырезами [6]. На основе этих решений в работах [7-9] получен определенный класс решений контактных задач для тел произвольной формы с учетом изменения геометрии свободной поверхности. При решении таких задач деформации тел оценивались визуально по искажению прямоугольной сетки. Более точное описание процесса деформирования требует использования в качестве меры деформации тензорных характеристик (тензора дисторсии, тензора конечных деформаций Альманси и т.п.). Решение задач с учетом изменения геометрии особенно необходимо при расчете деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений и других особенностей пластической области. [c.762]

Громоздкость этих соотношений, как и предшествуюш их формул, заставляет предпочесть меры деформаций тензорам. Вводя перемеш ения вместо координат ), ничего не выигрывают, а наоборот теряют в смысле краткости и обозримости формул (Кирхгофф). [c.26]

С этим фактом тесно связан ответ на воцрос в какой мере тензор дисторсии Г определен тензором деформаций е (в данной точке ) Ответ таков . тензор Г определен тензором с точно- [c.67]

Замечания. Это соотношение показывает, что число Е Е является инвариантом тензора Е, а также что его можно рассматривать как меру максимальных деформаций сдвига (см. в работе Ne as Hlava ek [1981, pp. 27—28] обсуждение этого вопроса для тензора напряжений). Последнее наблюдение позволяет, таким образом, истолковать соответствующее ограничение, характеризующее упрочнение (A(V[c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...