Основные уравнения плоского напряженного состояния

Основные уравнения плоского напряженного состояния [c.173]

Рассмотренная основная система уравнений плоского напряженного состояния имеет много общего с уравнениями плоского течения газа. Продолжая эту аналогию [100], покажем другой путь преобразования указанной системы уравнения, справедливый как при я/6 < со < 5я/6, когда она принадлежит к гиперболическому типу, так и при О<(ОСя/6, или 5я/6<(о<я, когда она относится к эллиптическому типу. [c.363]

Несмотря на значительное упрощение основных уравнений теории упругости, задачи в плоском напряженном состоянии остаются трехмерными, поскольку третья координата не исключена из уравнений. Однако для ряда случаев, когда третья координата мала, задачу упрощают обычно при этом рассмат- [c.28]

Формально изменение температуры тела Т вносит лишь изменение в запись закона Гука из числа основных уравнений теории упругости. Так, для плоского напряженного состояния он получит вид [c.124]

Таким образом, несмотря на значительное упрощение основных уравнений задачи о плоском напряженном состоянии, эта задача остается трехмерной, поскольку координата х , не исключена из приведенных выше уравнений. [c.103]

Изложены основы теории упругости после ознакомления с основополагающими понятиями приводятся анализ напряженного и деформированного состояния, вывод основных уравнений, плоская и температурная задачи, элементы теории пластин и оболочек. Особое внимание уделено численным методам решения прикладных задач теории упругости помимо достаточно распространенных вариационных и разностных методов подробно освещается сравнительно новый структурный метод, хорошо зарекомендовавший себя при исследовав НИИ объектов сложной формы. Для понимания затронутых вопросов достаточно знаний обычного курса математики технического вуза. [c.40]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Основные уравнения обобщенного плоского напряженного состояния. Дифференциальные уравнения равновесия и условия равновесия на поверхности— те же, что и в случае плоской деформации, т. е. (9.87) и (9.88). Из шести соотношений Коши сохраним лишь интересующие нас три уравнения (9.89). Три других нас не интересуют, так как величины е , Уг/г и у х не рассматриваются. [c.661]

Основная система уравнений, описывающая напряженное состояние плоского концентратора с гиперболической выточкой, была сформулирована в [1, 2]. Отмечалось, что вследствие нелинейности системы решение ее может быть получено численным методом, если разбить весь процесс ползучести на достаточно малые отрезки (шаги) времени At, в течение каждого из которых напряжения можно считать постоянными. На каждом шаге по времени основная система уравнений решается методом сеток. Для общего случая этот метод подробно разбирался в [1]. [c.179]

В общем случае пространственная задача теории упругости сводится к решению сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Но существует обширный класс практически важных задач, для которых путем введения некоторых допущений основная система дифференциальных уравнений существенно упрощается. Этот класс задач объединяется одним общим названием — плоская задача теории упругости. Различают два основных вида плоской задачи — плоскую деформацию и плоское напряженное состояние. [c.344]

Система уравнений задачи о плоском напряженном состоянии. В предположении малости толщины плиты задача о напряженном состоянии при симметричном нагружении ее боковой поверхности сведена к рассмотрению величин на срединной плоскости. Разыскивается не тензор напряжений, а усредненные значения основных напряжений Г Р, тогда как остальные компоненты Г , этого тензора, вследствие их малости сравнительно с основными, исключены из рассмотрения. [c.764]

Рассмотрим определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок, описывающие деформацию плоского напряженного состояния пластины в локальной системе координат. Вопросы построения локальной системы координат и основные формулы дифференцирования в этой системе приведены в 1.1. [c.28]

Уравнения равновеспя (3.14а), соотношения <3.11б) и (3.6) соответственно между напряжениями и деформациями, а также деформациями и перемещениями являются основными соотношениями теории плоского напряженного состояния. Подставляя в соотношения (З.Иб) выражения (3.6) для деформаций через перемещения, получим [c.147]

При n — 0 уравнения (IX.Ill) совпадают с интегральными уравнениями первой основной задачи для пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния или поперечного изгиба. Следующее приближение in — 1, 2) определяется из той же системы уравнений, в которых правые части выражаются через нулевое приближение. Воспользуемся полученными выше результатами для построения асимптотического решения задачи в случаях прямолинейной и дугообразной трещины или кругового отверстия в пологой оболочке двоякой кривизны. [c.295]

Подставляя величины (4.1.13) в уравнение (4.1.12) и заменяя затем Ей V,, на Е, V, получаем основные уравнения в перемещениях для плоского напряженного состояния. [c.85]

Во многих пластинках, особенно круглых и кольцевых и в пластинках в форме клина, бывает удобнее представлять решения в полярных координатах. Поэтому дадим основные соотношения и уравнения для плоского напряженного состояния в этих координатах. [c.335]

Плоское напряженное состояние. Такую же математическую задачу, как для плоского деформированного состояния, мы получим в случае так называемого плоского напряженного состояния однако следует отметить, что здесь мы имеем только приближенное решение основных уравнений теории упругости. Пусть мы имеем плоскую тонкую пластинку расположим координатную систему так, чтобы средняя плоскость пластинки совпадала с координатной плоскостью г = О, [c.116]

Резюмируя предыдущие рассуждения, скажем, что при решении задач, как на плоскую деформацию, так и на обобщенное плоское напряженное состояние, можно пользоваться основными группами уравнений (1ц), (Пц). (П1п) и (IVn). Закон же Гука выражается для этих задач различно для плоской деформации—уравнениями (Vn). а для плоского напряженного состояния—уравнениями (V ). Однако важно отметить, что вид этих уравнений в обоих случаях одинаков различие заключается лишь в значении упругих постоянных, которые в случае плоской деформации выражаются через и о формулами (6.5). [c.142]

Основные уравнения теории упругости для плоского деформированного состояния и плоского напряженного состояния [c.191]

Основные уравнения теории упругости для общего случая (см. гл. 3) соответствующим образом упрощаются для плоской задачи, причем различие между плоским деформированным состоянием и плоским напряженным состоянием становится заметным только в физическом законе >. [c.191]

При выводе основных уравнений будем предполагать, что рассматриваемые задачи прессовых соединений можно отнести к классу плоских задач теории упругости, при этом полагаем, что имеем случай плоского напряженного состояния. [c.65]

Из этого перечня видно, что книга не претендует на освещение всех вопросов теории упругости анизотропного тела, а излагает только некоторые, наиболее изученные, но еще не приведенные в систему. В ней не содержится исследований по изгибу и устойчивости анизотропных пластинок, так как эти вопросы достаточно полно разработаны в нашей книге <Анизотропные пластинки . Задача о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии изложена сжато (в связи с более общей задачей), причем из частных случаев рассмотрены только наиболее важные. В книге не затронуты проблемы равновесия и устойчивости анизотропных оболочек, а также динамики упругого тела (за исключением общих уравнений движения) Во всех случаях предполагается, что деформации являются упругими и малыми, а материал следует обобщенному закону Гука. В конце имеется перечень литературы, куда, кроме работ, излагающих специальные вопросы, включены также некоторые основные курсы теории упругости. [c.12]

Как видно, основные уравнения задачи о плоском напряженном состоянии идентичны по виду аналогичным уравнениям задачи о плоской деформации. Однако если в последней задаче перемещения а, г/ и напряжения Од,д,, а , , всегда являются функциями только X, у, то в первой задаче те же неизвестные, как правило, зависят также и от 2. [c.298]

Для случая плоского напряженного состояния упруго-орто-тропного стеклопластика, когда действующие напряжения направлены вдоль основных направлений материала, уравнения связи напряжений и деформаций согласно наследственной теории ползучести (вариант сдвиговой ползучести) принимают вид [c.45]

Формулировки, основанные на принципе минимума дополнительной работы в задачах о плоском напряженном состоянии, включают задание функционала, содержащего вторые производные, если в качестве основной неизвестной выступает функция напряжений Эри Ф. Следовательно, требуется, чтобы Ф и ее первые производные были непрерывны при переходе от элемента к элементу. Эти вопросы интенсивно изучались в связи с задачами изгиба пластин, где нормальное смещение ш должно удовлетворять дифференциальному уравнению того же вида, что и функция Ф. Выбор представлений для поля данного типа осуществляется в гл. 12. Сводка решений прикладных задач для плоского напряженного состояния приводится в [9.17]. [c.289]

Для плоского напряженного состояния полем напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, является поле, определяемое с помощью (9.15) и изображенное на рис. 9.14(Ь). Используя обозначения из разд. 6.7, заметим, что для построения матрицы жесткости необходимо знание трех основных матриц, а именно, матриц 12], [Ь] и [У. Согласно (6.77), матрица [c.297]

Для решения задачи о напряженном состоянии в плоской пластинке необходимо рассмотреть бигармоническое уравнение (4.1.8) относительно функции напряжений ф с учетом соответствующих граничных условий. При этом различают три характерных случая на контуре граничные условия задаются в напряжениях (первая основная задача), 2) то же, в перемещениях (вторая основная задача) и 3) на части контура задаются напряжения, а на части — перемещения (смешанная задача). [c.106]

Отыскание деформаций и перемещений связано с рассмотрением физических и геометрических уравнений плоской задачи теории упругости, что в свою очередь приводит к необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, а это лишает решение того однообразия и четкости, которые свойственны определению напряженного состояния в первой основной задаче. [c.107]

Это уравнение служит основным уравнением теории устойчивости изотропных пластин. Здесь усилия считаются заданными, т. е. найденными в результате предварительного решения плоской задачи теории упругости. Заметим, что обычно начальное напряженное состояние бывает достаточно простым, анализ уравнения [c.415]

Невозможность дополнительных упрощений объясняется высокими требованиями к ожидаемой точности. Если снизить их, считая, что сильное неравенство Л > В выполняется, когда А 20В, то получим Mi = 3, Mg = 9. Это значит, что область применимости простого метода расчленения осталась столь же узкой, но для обобщенного метода расчленения она расширилась. При тех же предположениях получаем, что сильное неравенство 1 т эквивалентно требованию m > 4. Следовательно, обобщенный метод расчленения при любых допустимых для него т, кроме m = 4, можно упростить, используя для построения обобщенного основного напряженного состояния метод В. В. Новожилова, основанный на уравнениях и формулах (24.11.17)—(24.11.20). Сильное неравенство (24.14.3) теперь становится эквивалентно требованию т > 832. Такие т не представляют практического интереса и стоят на границе области применимости любой теории оболочек. Таким образом, упрощенный метод построения обобщенного основного напряженного состояния в практических расчетах может оказаться вполне приемлемым (при не слишком высоких требованиях к точности), но возможность расчета оболочки как плоского упругого тела практической ценности, по-видимому, не представляет. [c.378]

Приведем сводку основных уравнений теории упругости сначала для плоского напряженного состояния, которую получим из соот-ветствуюш,их уравнений для объемной. задачи (см. гл. 2), исключив из них ироизводн])1е по координате z. [c.73]

Из сопоставления основных уравнений задачи о плоской деформации о соответствующими уравнениями задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии видно, что они математически идентичны. Заменив в уравнениях первой задачи компоненты ш и aсредними значениями по формуле типа (9.38), а коэффицн- [c.231]

Описанные допущения по-существу аналогичны основным допущениям 1—4, принятым при рассмотренном выше анализе Одзи с сотруд. В этом случае локальная деформация соответствует повреждению ползучести Ф, а величина ячейки соответствует характеристическому размеру р. Ниже показан пример расчета для плоского напряженного состояния (деформация разрушения lo .f = е/) в случае = а, tio = ё, т, е. в случае, когда уравнения (5.33) и (5.32) тождественны. [c.183]

Основная масса всех экспериментально полученных точек, изображающих на рис. 3.54—3.57 опасные напряженные состояния для труб типов Т и П, лежит в пределах 95%-ного доверительного интервала поверхности прочности, построенной по уравнению в форме полинома четвертой степени. Это свидетельствует об удовлетворительном совпадении расчетных и экспериментальных данных по разрушению стеклопластиковых труб при однородных плоских напряженных состояниях. [c.213]

Построено интегральное представление комплексной функции напряжений для пологой оболочки через скачки перемен ений, усилий и моментов при переходе через контуры криволинейных разрезов. При этом использованы соответствующие интегральные представления функции напряжений Эри при обобш.енном плоском напряженном состоянии и функции прогиба при изгибе пластины. При удовлетворении граничных условий на разрезах для основных граничных задач получены комплексные интегральные уравнения. [c.281]

Мы не станем полностью выписывать уравнения для общего-случая трехмерного медленного установившегося течения идеально иластичного вещества, поскольку попытки получения общего-решения для этих уравнений следует признать безнадежными. В последующих главах будут рассмотрены некоторые важные частные вопросы, например случай симметрии вращения и двумерное плоское напряженное состояние. Введение основных уравнений (27.1) [или (27.2)] предполагает, что составляющие напряжения в любом элементе материала при бесконечно малой деформации остаются неизменными. Поле напряжений в теле предполагается стационарным ). [c.457]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Если все эксперименты — минимум основные, а также дополнительные — проводятся только для одной ориентации материала, то компоненты тензоров поверхности прочности f,-, Рц,. ... . ., Fijk,. . . являются скалярными величинами, и, следовательно, критерий разрушения (5) представляет собой алгебраическое уравнение с экспериментально найденными коэффициентами. Для случая тензорно-полиномиального критерия второго порядка в плоской задаче имеется три коэффициента первого порядка (Fi, Fa, Fq) и шесть коэффициентов второго порядка (/ 11, Fi2, Fie, F22, F26, Fea). Экспериментальные данные можно обработать оптимальным образом так, чтобы определить все эти девять величин по напряженному состоянию (сг,, ст, dg), наблюдаемому при разрушении. [c.476]

Теоретической основой постановки экспериментальных исследований для многочисленных механизмов, работающих в масляной среде, является контактно-гидродинамическая теория смазки. Контактно-гидродинамический режим смазки является типичным для условий работы зубчатых и фрикционных передач, подшипников, катков и других механизмов. Основная задача теории заключается в определении контактных напряжений, геометрии смазочного слоя и температур при совместном рассмотрении уравнений, описывающих течение смазки, упругую деформацию тел и тепловые процессы, протекающие в смазке и твердых телах. Течение смазки в зазоре описывается уравнениями, характеризующими количество движения, сплошность, сохранение энергии и состояние. Деформация тел определяется основными уравнениями теории упругости. Температурные зависимости находятся из энергетического уравнения с использованием соответствующих краевых условий. Плоская контактно-гидродинамическая задача теории смазки решалась с учетом следующих допущений деформация ци-лидров рассматривалась как деформация полуплоскостей упругие деформации от поверхностного сдвига считались малыми для анализа течения смазки использовалось уравнение Рейнольдса при вязкости смазки, явля- [c.165]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...