Комплексное представление функции напряжений

КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ [c.286]

Теперь перейдем к выводу формул комплексного представления компонентов напряжений при помощи той же нары аналитических функций q>(z), г ](г). С этой целью запишем формулы обобщенного закона Гука (6.3) в комплексной форме следующим образом [c.120]

Равенство (9.237), которое называется формулой Г у р в а, являясь общим интегралом уравнения (9.231), выражает собой представление функции напряжений через две аналитические функции комплексного переменного ф (z) и х (z). [c.288]

Обращаясь к симметричному случаю, представленному формулой (а), после подстановки выбранного значения корня -у. например из (д) и соответствующего ему значения х из первого или второго уравнения (в), получаем комплексную форму функции напряжений, в которой коэффициент С будем считать здесь равным единице. Поскольку эта функция напряжений удовлетворяет дифференциальному уравнению (30), ее действительная и мнимая части, каждая в отдельности, также удовлетворяют этому уравнению и могут использоваться как действительные функции напряжений. Каждой из них можно придать ее собственный действительный коэффициент. Действительная часть у дает экспоненциальный множитель, описывающий скорость убывания с ростом X. Наименьшая из таких скоростей встречается в функциях, соответствующих 72 согласно (д) экспоненциальный множитель равен [c.79]

Из общего представления функции напряжений (6.10) вытекают следующие комплексные представления напряжений и смещений [c.68]

Комплексное представление бигармонической функции, компонентов вектора перемещения и тензора напряжений [c.118]

Другое направление учитывает роль пластических деформаций в механизме демпфирования энергии при колебаниях. Отметим здесь две гипотезы. Это прежде всего гипотеза упругого гистерезиса, предложенная Н. Н. Давиденковым зависимость напряжения от деформации при повторном нагружении является степенной функцией, определяемой амплитудой деформации, а не скоростью. Гипотеза Н, Н. Давиденкова нашла многих сторонников, она получила подтверждение опытными данными для многих конструкционных материалов. Упомянем также комплексное представление Е. С. Сорокина для связи между напряжением и деформацией при циклическом нагружении, когда неупругая циклическая деформация отстает по фазе от упругой на 90°. Для петли гистерезиса гипотеза Е. С. Сорокина дает эллиптическую зависимость, что удобно при расчетах. [c.6]

Bee корни уравнений (2.12.4), исключая тривиальные (нулевые), оказываются комплексными они располагаются в четырех квадрантах комплексной плоскости y симметрично относительно начала координат если y — корень, то корнями являются также числа —Y. —Y- Функции напряжений, определяемые фор-мулами (2.12.5), — комплексные но по ним, конечно, легко составить вещественные функции напряжений. Этим путем при-ходим к представлению однородных решений — напряженных состояний, оставляющих продольные стороны полосы свободными от нагружения и статически эквивалентных нулю в любом ее поперечном сечении. [c.512]

Формулировка плоской задачи термоупругости в напряжениях должна учитывать условия однозначности перемещений в связи с этим случай стационарного температурного поля для многосвязных плоских или цилиндрических тел требует специального рассмотрения. Н. И. Мусхелишвили (1916), используя теорию функций комплексного переменного, выяснил связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями и установил аналогию между плоской задачей термоупругости для многосвязных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями. Комплексное представление позволяет также более сжато и четко сформулировать условия отсутствия тепловых напряжений в многосвязном теле при стационарном температурном поле. [c.8]

Основой этого применения является возможность выразить интеграл бигармонического уравнения через функции комплексного аргумента, а также возможность комплексного представления граничных условий как при данных на границе напряжениях, так и при данных смещениях. Начнём с последнего вопроса. Для этого нужно выразить смещения через функцию напряжений. [c.223]

Глава II. Плоская задача. Общие формулы и простейшие приложения. Здесь на 100 страницах изложены как постановка плоской задачи, так и главные методы решения ее. Решение достигается при помощи функции напряжений и комплексного представления ее, причем сперва излагается общая теория методов, а затем они развиваются практически на ряде примеров. Из этих примеров отметим а) растяжение пластинки, ослабленной круговым отверстием б) действие сосредоточенной силы, приложенной в точке неограниченной плоскости в) действие сосредоточенной пары г) рассмотрение напряжений в кольце, вызываемых заданными силами д) изгиб кругового бруса е) общая теория температурных деформаций и вызываемых ими напряжений. [c.9]

II. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.100]

Так, аналитические функции ф (г), г ) (г) комплексного переменного 2 ж + 1у, фигурирующие в формулах общего комплексного представления смещений и напряжений [ 32, формулы (1), (9), (10)], в литературе часто называются комплексными потенциалами Колосова — Мусхелишвили. В нашем изложении мы будем иногда пользоваться термином комплексные потенциалы , подразумевая под этим функции ф (г) и гр (г). [c.575]

Общее представление комплексных функций напряжений [c.212]

В многосвязной области комплексные функции напряжений ф г) и з(2) не должны быть однозначными. Однако общее представление для них можно указать, если потребовать однозначности напряжений и перемещений. Продемонстрируем это прежде всего для двухсвязной, так называемой кольцевой области (рис. 8.7 (Ь)). [c.214]

Таким образом, общее представление (8.94) и (8.95) комплексных функций напряжений для кольцевой области имеет вид [c.215]

Дальнейшие результаты для бесконечно протяженной области можно получить лишь в том случае, если ввести дополнительное условие относительно распределения напряжений на бесконечности. Напряжения во всей области В, в том числе на бесконечности, должны оставаться ограниченными (т. е. конечными), тогда удается получить окончательно следующее представление комплексных функций напряжений (начало координат находится внутри Я ) [c.217]

Аналогично можно указать общее представление комплексных функций напряжений для полубесконечной области (например, для полуплоскости). На этом, однако, в дальнейшем останавливаться не будем. [c.218]

Для комплексных функций напряжений (причем для более общего случая одноосного растяжения под углом а к оси. v) справедливо представление [c.225]

Когда оператор плотности для поля можно определить с помощью Р-представления, функция Р ( а ) играет роль, аналогичную роли плотности вероятности для отдельных амплитуд а. Конечно, для светового луча мы обычно измеряем не отдельные амплитуды ад, а средние значения различных функций комплексного собственного значения напряженности поля Ш (г, 1), которое представляет собой некоторую линейную сумму амплитуд отдельных мод, [c.141]

Решение Л. А. Галина [ ]. Легко убедиться в том, что выписанная выше пластическая функция напряжений Рр для осесимметричного поля удовлетворяет бигармоническому уравнению. Это свойство позволяет построить изящное замкнутое решение рассматриваемой задачи с помощью комплексного представления (48.4). [c.207]

Без преувеличения можно сказать, что книга Ю, Н. Работнова к настоящему времени является лучшей среди подобных ей книг как у нас в стране, так и за рубежом. Впервые с единых позиций в ней дается изложение основ всех главных разделов механики деформируемого твердого тела. Книгу отличает компактность изложения, достигаемая за счет широкого применения таких эффективных методов исследования, как вариационные принципы, тензорные исчисления, теория функций комплексного переменного, интегральные преобразования и т. д. Этому также способствует и оригинальная трактовка теории напряжений. Естественно, что, представляя проблему во всем ее многообразии (стержни, пластинки, оболочки, пространственные тела, упругость, пластичность, ползучесть, наследственность, устойчивость, колебания, распространение волн, длительная прочность, разрушение), автор сконцентрировал внимание на принципиальных вопросах. Тем не менее книга снабжена достаточно большим количеством примеров расчета, для того чтобы читатель мог составить представление о практических возможностях теории. [c.9]

В теории антиплоского напряженного состояния мы убедились, какие удобства связаны с представлением решения через функцию комплексной переменной. В теории плоской деформации применим аналогичный метод, но соотношения оказываются более сложными. Положим, как обычно, [c.324]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Построено интегральное представление комплексной функции напряжений для пологой оболочки через скачки перемен ений, усилий и моментов при переходе через контуры криволинейных разрезов. При этом использованы соответствующие интегральные представления функции напряжений Эри при обобш.енном плоском напряженном состоянии и функции прогиба при изгибе пластины. При удовлетворении граничных условий на разрезах для основных граничных задач получены комплексные интегральные уравнения. [c.281]

Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова- [1—6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], [c.631]

Здесь будет показано, что использование комплексного модуля является удобным методом описания поведения вязко-упругого материала, причем в одних случаях он более удобен, чем обобщенная стандартная модель или модель с обобщенными производными, в других — менее, однако его можно связать с рядом наблюдаемых в экспериментах и до сих пор не обсуждавшихся фактов. Прежде всего следует вспомнить, что, применяя комплексное представление exp(ift)0. мы просто используем удобный математический аппарат, позволяющий комбинировать две функции os at и sin o , каждая из которых одинаково хорошо представляет гармоническое движение во временном пространстве. Если деформации и напряжения изменяются но закону e = eosin или e = eo os( i, соотношение (2.62) можно представить в виде [c.92]

Эти результаты полностью подтверждают общие рассуждения, приведенные в начале настоящего параграфа. Дополнительно выяснилось, что в сферической оболочке простейшему силовому воздействию — тангециаль-ной сосредоточенной силе — соответствует простейшая особенность комплексной функции напряжения — полюс первого порядка. Учитывая это, назовем тангенциальной сосредоточенной силой такое сосредоточенное воз действие, которое статически эквивалентно этой силе и соответствует наи меньшей из всех возможных особенностей комплексной функции напряжения Можно показать (на чем мы не будем останавливаться), что такое формаль ное определение, во-первых, остается в силе не только для сферической обо лочки, но и для любой оболочки положительной кривизны, и во-вторых оно по смыслу совпадает с обычным представлением о сосредоточенной силе как о пределе, к которому стремится равномерно распределенная нагрузка лри беспредельном уменьшении области ее приложения и беспредельном увеличении ее интенсивности. [c.235]

Далее, на границе L упругой и пластической зон непрерывны компоненты напряжения. Таким образом, вторые производные от F должны обратиться в нуль на границе L. По этим условиям, используя комплексное представление бигармони-ческой функции и отображая конформно внешность L на внешность единичного круга, удается найти F и отображающую функцию. [c.199]

Влияние свободных поверхностей учитывают с помощью функций в виде полиномов в сочетании с техникой конформных отображений. При этом комплексная переменная г, соответствующая геометрии трещины, выражается как функция другой комплексной переменной g, соответствующей геометрии единичного круга или полуплоскости в бесконечном теле. Иллюстрация этого метода дана Парисом и Си [7], рассмотревшими действие единственной сосредоточенной силы F, направленной под произвольным углом к поверхности трещины. Для представления полей растягивающих и сдвиговых напряжений у вершины трещины, возникающих благодаря этой силе, ими был использован комплексный коэффициент интенсивности напряжений К = К — iK , и после формального вывода Стц и сГзг из полной комплексной функции напряжений Вестергаарда с использованием переменной т] = (z—вместо действительного расстояния г = (Xi — а) [как в выводе уравнения (115) из (ПО)] они смогли записать [c.75]

При плоском стационарном температурном поле, удовлетворяющем уравнению (4.2.35), функция напряжений р становится бигармо-нической. Следуя Н. И. Мусхелишвили [45], рассмотрим комплексное представление бигармонической функции Р. Обозначая гармо- [c.110]

Согласно (8.100), прежде всего получается представление комплексной функции напряжений, (причем X— равнодей,- [c.216]

Благодаря, главным образом, работам отечественных механиков методы теории функций комплексного переменного теперь служат мощным средством исследования двумерных бигармонн-ческих задач. При построении решения в рядах нет смысла строить ряд для бигармонической функции напряжений, особенно если отверстия имеют не круговую форму достаточно найти представления входящих в нее двух аналитических функций. Аппарат теории функций комплексного переменного даже в методе рядов дает возможность глубже учитывать и второстепенные члены в решении и строить таким образом некоторые эффективные процессы, приводящие и при весьма неблагоприятных условиях сходимости к положительным результатам. Но главным, решающим преимуществом метода Колосова является возможность сведения бигармонической задачи к краевым задачам теории аналитических функций и, следовательно, приме- [c.240]

В частности, в разделе с помогцью метода разложения но собственным функциям получены асимптотики локально стационарного ноля напряжений у вершины расирострапяюгцейся с постоянной скоростью трегцины каждого из трех основных типов п определены динамические коэффициенты интенсивности напряжений. Исследование локально стационарного динамического упругого поля с успехом может быть реализовано на базе комплексного представления Л. А. Галина, рассмотренного в [c.12]

Уравнения (86), (87) и (89) определяют декартовы компоненты перемещения и напряжения через комплексные потенциалы ф (г) и х( )- Когда используются криволинейные координаты, ком-нлексные потенциалы можно считать функциями а г выражается через уравнением тина (ж) 60, определяющим криволинейные координаты. Таким образом, представление о , гг, и через и т не встречает затруднений. Однако обычно удобнее опре,це-лить напряжения следующим образом [c.195]

Значения Гт и й, определяемые выражениями (2.13) и (2.16), являются приближенными, заниженными, что следует из более точного решения на основе модели В. В. Панасюка —Д. Даг-дейла, представленной на рис. 2.4. При напряжениях а в вершине трещины протяженностью 2/ образуются участки длиной Гт пластической деформации, в пределах которых местные напряжения будут а=стт- Упругопластическое решение задачи для рассматриваемой пластины получается на основе решения двух упругих задач для двух пластин с длиной трещины 2/т. Упругие решения методом функции комплексного переменного для первой пластины с трещиной 2/т, равномерно растянутой напряжениями сг, и для второй пластины с трещиной протяженностью 2/т, нагруженной на участках Гт напряжениями сгт, при наложении позволяют получить более точное значение для г [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...