Уравнения движения распределенных систем

Уравнения движения распределенных систем [c.672]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ [c.673]

Еще в конце прошлого века на примере так называемого колеса Барлоу было замечено, что уравнения движения электромеханических систем, содержащих распределенные проводники со скользящими контактами, не записываются в форме уравнений Лагранжа. В связи с этим высказывались предположения, что такие системы являются разновидностью неголономных систем. Однако только в 1952 г, А. В. Гапоновым была внесена в этот вопрос ясность и показано, что присоединение к распределенному (объемному или поверхностному) проводнику скользящего контакта эквивалентно наложению на распределение в нем токов неголономных связей. С этой точки зрения коллекторные электрические машины о-казались неголономными системами типа Чаплыгина. Для таких систем А, В. Гапоновым были предложены уравнения движения нового вида, а именно [c.175]

Расчетная схема станка есть условное изображение его в виде совокупности масс, жесткостей, демпфирующих элементов и векторов внешних сил. Благодаря неконсервативным силам система станка не является вполне упругой, поэтому иногда говорят об эквивалентной упругой системе станка. Для того чтобы по расчетной схеме станка можно было составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений движения, распределенные массы должны быть заменены сосредоточенными. [c.172]

Но из систем дифференциальных уравнений движения выведены так называемые всеобщие уравнения движения, часто приводящие более коротким путем к решению динамических задач. В этих всеобщих уравнениях мы встречаемся с двумя кинетическими мерами движения, с важнейшими в динамике понятиями количество движения (и его момент) и кинетическая энергия. Напомним, что, изучая механическое движение в кинематике, мы не интересовались ни силами, приложенными к движущемуся объекту, ни его массой, ни ее распределением. В кинематике мы интересовались только вопросом как движется вне зависимости от что движется . Но в кинетике, в дополнение к кинематическим мерам движения, мы вводим две кинетические меры, зависящие не только от скорости, но и от масс движущихся материальных частиц. [c.132]

Пример 17.15. Составить уравнение движения балки (рис. 17.15), имеющей постоянную вдоль оси изгибную жесткость и равномерно распределенную по длине массу интенсивности т, рассматривая балку как систему с одной степенью свободы и используя принцип Гамильтона. [c.37]

Реальные трансмиссии машин отличаются обычно большой сложностью распределения масс. При этом масса отдельных участков может быть как сосредоточенной, так и распределенной (канаты, длинные валы и т. п.). В связи с этим диаграмме масс, построенной для реальной трансмиссии, соответствует обычно весьма сложная эквивалентная схема, имеющая, как правило, много степеней свободы, а также элементы с распределенной массой. Решение и исследование уравнений движения таких сложных систем связано с большими трудностями как вычислительного, так и принципиального характера. Поэтому рационально проводить упрощение эквивалентных схем, оставляя выделенными лишь наиболее крупные массы и приводя к ним массу остальных элементов, в том числе и элементов с распределенной массой. [c.14]

Уравнения движения многокомпонентных сред при условии отсутствия фазовых переходов детально были проанализированы X. А. Рахматулиным [Л. 138], а позже Я. X. Клейманом [Л. 82]. Взаимопроникающее движение двух или нескольких сред рассматривалось как двил<ение их в пористой среде. При этом движение каждой компоненты аналогично движению в перемещающейся пористой среде. Учитывая индивидуальность движения каждой компоненты, теория позволяет получить замкнутую систему уравнений, не нуждающуюся в дополнительных эмпирических зависимостях. Можно назвать еще ряд работ, посвященных уравнениям динамики двухфазных сред, учитывающих, в частности, реальное распределение частиц по размерам [Л. 20]. [c.42]

СВЯЗЯМИ. Например, при создании транспортирующих и многих технологических вибрационных машин необходимо сообщить колебания упругой балке или оболочке, мало отличающиеся от их прямолинейных поступательных колебаний как твердых тел. Данную проблему можно назвать проблемой создания (синтеза) заданного вибрационного поля. Ее особенности и трудности решения определяются в основном следующими обстоятельствами. Во-первых, применяемые в настоящее время вибровозбудители (см. часть третью) развивают вынуждающие силы, распределенные по некоторой небольшой части поверхности упругих тел, входящих в колебательную систему эти силы уместно считать сосредоточенными. Во-вторых, число вибровозбудителей практически всегда ограничено, более того, по экономическим и эксплуатационным соображениям желательно, чтобы их число было минимальным. В-третьих, действие реальных вибровозбудителей на колебательную систему далеко не всегда можно свести к действию заданных вынуждающих сил, как это обычно делается в теории вынужденных колебаний. Указанные силы существенно зависят от колебаний тех участков упругой системы, с которыми связаны возбудители, вследствие чего возбудители образуют с упругой системой единую колебательную систему с большим, нежели у исходной системы, числом степеней свободы за счет добавочных собственных степеней свободы вибровозбудителей. Уравнения движения совокупной системы оказываются при этом, как правило, нелинейными. [c.146]

Наиболее общий метод исследования устойчивости распределенных систем - динамический. Метод основан на рассмотрении движений системы в окрестности состояний равновесия. Например, дополняя уравнение (7.3.18) инерционным членом и членом, учитывающим демпфирование, придем к уравнению изгибных колебаний стержня в окрестности невозмущенной прямолинейной формы равновесия ти" д -I- 2/пеи, + Е1м> -н Ри = О, (7.3.20) [c.479]

Подчеркнем отличие уравнений динамики сплошных сред от соответствующих уравнений для систем дискретных материальных точек. Векторы, стоящие слева и справа в уравнении динамики сплошной среды (31), не представляют соответственно произведений массы на ускорение и силы, как это имеет обычно место при непосредственном применении второго закона Ньютона, а выражают плотности распределения этих величин в области движения среды, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножая обе части уравнения (31) на бт, получим общепринятое уравнение движения центра масс, заключенных в элементарном объеме, а интегрируя после этого по конечному объему т, составим уравнения движения центра масс в объеме т. Особо следует оговорить смысл произведенного при выводе уравнения динамики сплошной среды перехода от поверхностного интеграла к объемному. [c.61]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Мера чувствительности качества системы демпфирования нутации к изменениям моментов инерции была испытана и иным способом, а именно путем исследования влияния параметров, входящих в систему линеаризованных уравнений движения, составленных для некоторого тела другой конфигурации, обладающего симметричным распределением масс. В этом исследовании изменяли отношение моментов инерции (отношение полярного момента инерции к экваториальному моменту инерции), а также постоянную крутильной нити и постоянную демпфирования системы. Итоги исследования показывают, что увеличение отношения моментов инерции на 6% может привести к уменьшению постоянной времени демпфирования по меньшей мере в три раза [3]. [c.75]

Методика составления уравнений движения систем с распределенной массой в принципе аналогична рассмотренным выше методам, но и не лишена определенной специфики. [c.114]

Большое внимание автором уделено исследованию помпажа в распределенных системах, даны дифференциальные уравнения движения в системе и их решение. Рассмотрены устойчивость периодических движений, автоколебательные режимы, мягкий и жесткий режимы возбуждения, даны формулы для амплитуд и частот колебаний, сопоставлены результаты теоретических и экспериментальных исследований. Рассмотрены пути целенаправленного уменьшения интенсивности помпажа использованием автоматического регулирования выходного дросселя и направляющего аппарата, вынужденных колебаний, накладываемых на периодический перепуск воздуха, а также пассивные методы воздействия на помпаж. Приведена механическая модель системы, даны методы фазовой плоскости и аналитического исследования нелинейных систем. [c.4]

При определении работы внешних сил считаем, что к внешней поверхности первого несущего слоя приложены произвольные распределенные нагрузки, а к торцам стержня — усилия и моменты. Тогда, после взятия интегралов и выполнения требования тождественного удовлетворения уравнения (3) при произвольных значениях варьируемых величин, приходим к системе уравнений движения рассматриваемого трехслойного стержня относительно искомых перемещений. Оставляя в них только те инерционные члены, которые учитывают инерцию движения в слоях вдоль координатных осей и инерцию вращения нормали в несущих слоях, получим следующую систему уравнений в частных производных [c.264]

Заметим, что энергия ускорений полностью характеризует динамику неголономной системы в том смысле, что, имея выражение одной лишь функции 5 и не располагая больше никакими сведениями о системе (в частности, ничего не зная о связях, наложенных на систему), мы можем составить уравнения движения. Таким образом, для неголономных систем функция ускорений 5 играет такую же роль, как кинетическая энергия Т для голономных систем. Отсюда также следует, что знание одной лишь функции Т или Т еш,е недостаточно для изучения поведения неголономной системы. Другими словами, если мы знаем только выражение кинетической энергии Т или Т, то о динамике неголономной системы еш,е ничего сказать нельзя. Для доказательства этого предложения достаточно найти две различные динамические системы, выражения Т для которых одинаковы, а функции 5 различны. Такой пример двух различных систем с одинаковыми функциями Т и различными функциями 5 был приведен Аппелем [ ]. Первая система представляет собою диск радиуса а с моментами инерции Л, Л и С, который катится по шероховатой плоскости. Вторая система — это тело враш ения радиуса а и с таким распределением массы, что А1 = А, = та . Вторая система движется при следующих ограничениях [c.151]

При этих предположениях и обычных допущениях о малости инерционных и массовых сил, оценивая шихся уравнений движения, авторы записывают исходную систему и, решая ее приемами, подробно рассмотренными в оригинальной работе, находят распределение скоростей и давлений, а также интегральное распорное усилие Т, развиваемое в зазоре благодаря эффекту нормальных напряжений, в виде [c.93]

Изучению колебаний различных систем посвящается теория колебаний [4]. В ней изучаются продольные, крутильные, изгибные колебания систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. В линейной теории колебаний исследуемые уравнения движения представляют собой линейные дифференциальные (интегральные) уравнения, а в нелинейной теории колебаний — нелинейные дифференциальные (интегральные) уравнения. [c.840]

После выбора динамической модели исследуемой машины (механизма) необходимо (для последующих исследований динамики) получить соответствующую ей математическую модель (уравнения движения). Для этого обычно пользуются (см. п. 5.1.6) для систем с сосредоточенными параметрами уравнениями Лагранжа П рода, для систем с распределенными параметрами — уравнениями Эйлера—Лагранжа [4]. [c.852]

В динамике твердого тела Эйлер разработал теорию моментов инерции и получил формулу распределения скоростей в твердом теле. В 1750 г он получил уравнения движения в неподвижной системе координат, которые оказались малопригодными для применения. В цикле работ 1758-1765 гг. Эйлер впервые ввел подвижную систему координат, связанную с телом, и получил уравнения Эйлера-Пуассона в окончательной форме (вклад Пуассона, отразившийся в названии, видимо, состоит в систематическом их изложении в своем известном курсе механики). В них также используются углы Эйлера, получены кинематические соотношения, носящие имя Эйлера, а также указан случай интегрируемости при отсутствии поля тяжести. Этот случай Эйлер доводит до квадратур и разбирает различные частные решения. Отметим также вклад Эйлера в прикладные науки — кораблестроение, артиллерию, теорию турбин, сопротивление материалов. [c.20]

Возможны и другие методы решения задачи о вынужденных колебаниях с произвольно распределенным вязким или гисте-резисным демпфированием. Было показано, например, что для этих случаев можно получить несвязанные уравнения движения линейных систем, если использовать комплексные функции демпфированных нормальных форм колебаний и комплексные собственные значения. Однако эти демпфированные нормальные формы не совпадают с классическими нормальными формами колебаний системы, обсуждавшейся здесь, и определять их оказывается непросто [4.5, 4.6]. [c.180]

Эти уравнения имеют вид уравнений, описывающих консервативную систему, на которую действуют как распределенные силы, так и силы, сосредоточенные на концах. В выражения для этих сил входят компоненты с частотами со и Зсо, где со — частота, определяемая соотношением (11.1.23). Так как спектр частот рассматриваемой нами системы неэквидистантен, т. е. Зсо1 т соа, то компонента силы с частотой Зеох не создаст в системе движения с заметной амплитудой. Поэтому эту составляющую силы можно не учитывать. Тогда граничное условие (11.2.3,6) примет вид [c.352]

В настоящее время существуют в основном два подхода в рассмотрении движения и переноса массы и энергии в двухфазных потоках [35]. При одном подходе движение и процессы переноса рассматриваются для каждой нз фаз в отдельности и полученные при этом зависимости связываются в систему условиями, характеризующими протекание этих процессов на границе раздела фаз [86]. Другой метод состоит в том, что фазы считаются распределеиными одна в другой по определенному закону распределения [156, 157]. При таком подходе либо одна из фаз, либо обе фазы считаются во всем рассматрийаемом объеме епрерывным-и и уравнения, характеризующие протекание процесса ib них, записываются для среды в целом. Во всех случаях паряду с уравнениями движения и переноса задаются условия на границах между средой и поверхностями твердого тела, ограничивающими ее. Здесь в общем виде (в трехмерной форме) рассмотрены система уравнений, описывающих движение для каждой из фаз в отдельности, и граничные условия, связывающие эти уравнения. Кроме того, рассмотрено уравнение движения, записанное в гидравлической форме, которое отражает другой подход к решению данной задачи, однако рассматривается оно в более простом, одномерном виде. [c.15]

При изучении динамики больших систем естественно исходить из полученного в разд. 3.4 уравнения Лиувилля для частичных функций распределения. Однако эта форма уравнения Лиувилля пока еще не была достаточно подробно рассмотрена. Из качественного анализа, проведенного в разд. 11.5, ясно, что центральное место в теории должно занимать понятие корреляций, а не функций распределения. Мы видели, например, что двухчастичная корреляционная функция не входит явно в уравнение Больцмана, несмотря на то, что она играет существенную роль в точной цепочке уравнений ББГКИ. Следовательно, для последовательного вывода уравнения Больцмана (и других кинетических уравнений) из точных уравнений движения необходимо разработать формализм, в котором быля бы явно представлены различные корреляционные формы. [c.123]

Ансамбль систем, распределенный по фазам, является меиее простым и элементарным понятием, нежели отдельная система. Но, рассматривая вместо отдельных систем соответствующие ансамбли, мы можем избежать неудобств, связанных с необходимостью учета исключений, образуемых частными случаями интегральных уравнений движения, так как эти случаи просто исчезают, когда предметом изучения является вместо системы ансамбль. Это в особенности справедлино, когда ансамбль распределен, как в случае, который мы назвали каноническим, по некоторому фазовому объему. В меньшей степени это справедливо для микроканонического ансамбля, который не занимает никакого конечного фазового объема (в том смысле, в каком мы употребляем этот термин), хотя его удобно рассматривать как предельный случай ансамбля, занимающего конечный фазовый объем, так как мы таким образом выигрываем для предмета некоторую часть аналитической простоты, присущей теории ансамблей, занимающих истинный фазовый объем. [c.143]

Ответ на этот парадокс, грубо говоря, состоит в следующем при действии законов механики понятия прежде и после не имеют строгого значения, так что можно использовать уравнения движения для предсказания как будущего, так и прошлого. Однако мы перешли от строго динамического описания к статистическому, основанному на уравнении Больцмана. При выводе уравнения Больцмана (разд. 2 и 3 гл. П) было указано, что соотношение (П. 2.14) приходится использовать для выражения функций распределения, соответствующих послестолкно-вительному состоянию, через функции распределения, соответствующие состоянию перед столкновением, а не последние через первые. Очевидно, что первый путь приемлем, если уравнение нужно использовать для предсказания будущего по прошлому, но не наоборот ясно, однако, что этот выбор ввел связь с обиходными понятиями прошлого и будущего, чуждыми молекулярной динамике. Иначе говоря, мы подготовили путь для определения этих понятий на основе статистического поведения многочастичных систем. [c.161]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Произведя несложные преобразования, можно показать, что соотношения (1.2.2) представляют собой теоремы о количестве и моменте количества движения систем. Уравнения (1.2.2) необходимы для описания движения механических систем, состояш,их из дискретных материальных точек. Если механическая система представляет собой сплошную среду, заполняюш,ую часть пространства V, то левые части уравнений (1.2.2) превратятся в определенные объемные интегралы, и массы отдельных точек преобразуются в бесконечно малые элементы д,т сплошной среды. При этом если на среду будут действовать п сосредоточенных сил и силы, распределенные по всем точкам сплошной среды, то необходимые уравнения движения сплошной среды будут иметь вид [c.8]

Уравнение Паули. При изучении временной эволюции взаимодействующих квантовых систем в картине Шрёдингера основная задача состоит в определении временного развития вектора состояния или оператора плотности интересующей нас системы. Уравнение движения, как для полного, так и для приведённого оператора плотности, должно иметь решение в виде функции от времени. Такое уравнение называется основным кинетическим уравнением, хотя такое же название иногда применяют для уравнений движения различных вероятностных распределений. Был получен целый ряд мощных и достаточно общих основных кинетических уравнений [90-96. [c.61]

Как было показано в начале предыдущего параграфа, для определения вероятности состояния мы должны были исследовать распределение отдельных систем в большой совокупности подобных систем. Следуя фундаментальным исследованиям Гиббса, в статистической механике это было сделано посредством введения понятия об ансамбле тождественных систем. Чтобы пояснить смысл понятия ансамбля, представим себе, что мы изучаем некоторую макроскопическую систему 8. Она может представлять собой, например, кристалл, жидкость или ограниченный объем газа. Далее мысленно представим очень большое число 31 тождественных изолированных систем <5 и в данный начальный момент времени распределим их по определенным динамическим состояниям, характеризующимся некоторыми значениями вероятностей. В последующие моменты времени отдельные системы 5 будут изменяться в соответствии с уравнениями движения, которым они подчиняютя. [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...