О дифференциальных операторах теории упругости

Для вычисления эффективных материальных тензоров с учетом старших корреляций нужно просуммировать ряды из интегральных операторов с ядрами, равными произведениям функций Грина дифференциальных операторов теории упругости. Это удается сделать [34], если ограничиться [c.19]

I. О дифференциальных операторах теории упругости. Основные задачи теории упругости были сформулированы в предыдущем параграфе, как задачи теории дифференциальных уравнений в частных производных. [c.59]

Дифференциальные операторы теории упругости (4.30) действуют в этих функциональных пространствах следующим образом [c.95]

Для получения аналогичных интегральных представлений тензоров напряжений и деформаций следует к (5.1) применить дифференциальные операторы теории упругости (4.30) [c.107]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

Читатель, конечно, будет помнить, что оператор А, как это ясно из (11), является сам функцией от F и X и что он зависит также от выбора X. Уравнение, которое мы записали в различных формах (9), (12) и (14), известно как общее дифференциальное уравнение теории упругости. [c.265]

Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при решении задач наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом Вольтерра. [c.598]

Здесь 1, 2, 3 — составляющие вектора смещения по осям х , Х2, Xs Mi/ — определенные линейные дифференциальные операторы второго порядка по х , х , лТд, зависящие от упругих постоянных эти операторы можно найти в учебниках по теории упругости. В случае линейной вязкоупругости упругим постоянным соответствуют некоторые линейные операторы по времени, характерные для основного материала. Уравнения [c.99]

Согласно принципу Вольтерра операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке [155]. Поэтому, чтобы получить решение задачи наследственной теории упругости, нужно сначала построить решение обычной задачи и В окончательных результатах заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам. Основное ограничение для применения принципа Вольтерра состоит в том, чтобы вид граничных условий сохранялся неизменным. [c.266]

Ниже предложен подход, основанный на теории дифференциальных операторов в областях с мелкозернистой границей, который позволяет ответить на поставленный вопрос. Рассмотрена система дефектов, локализованная у некоторой внутренней поверхности Г области fi, занимаемой упругим телом. Основной идеей предлагаемого метода является введение характеристик дефектного слоя (слоя, содержащего систему дефектов), которые в среднем отражают его поведение при деформировании. Это позволяет свести исходную точную формулировку граничных условий на поверхностях дефектов к условию сопряжения на Г. Метод позволяет рассчитать осредненные значения напряжений на некотором удалении от системы дефектов. [c.206]

Замечание. В [15] указан способ представления общего решения однородной системы п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде дифференциального оператора, примененного к п функциям ф , каждая из которых определяется из своего более простого, чем исходные, дифференциального уравнения. Для сведения краевой задачи к ИУ по границе можно использовать потенциалы , соответствующие дифференциальным уравнениям для функций (pi. В теории упругости подобный способ применяется в [16]. [c.187]

Эти соотношения по виду ничем не отличаются от обычных уравнений сопротивления материалов для данного случая нагружения балки, если только вместо прогиба Ш подставить функцию IV — результат действия на него дифференциального оператора д/д1 г), и вместо силы Р, вызываюш ей изгиб, аналогичную функцию Q. Так как и граничные условия остаются точно такими же, как и при изгибе упругого стержня в теории сопротивления материалов, то, интегрируя получившиеся дифференциальные уравнения, найдем следующее значение У в середине балки (т. е. при х = 1/2) [c.357]

Классическая теория упругости. Введем матричный дифференциальный оператор [c.49]

Теория упругой наследственности. Как известно, дифференциальное уравнение (2.1), которое обычно принимается за исходное физическое соотношение в реологии упруго-вязких материалов, при п р может быть заменено интегральным соотношением, содержащим оператор Вольтерра, подобно тому как дифференциальное уравнение (2.2) заменяется интегральным соотношением (2.3), с той только разницей, что теперь ядро ползучести К (t — т) содержит уже не одну экспоненциальную функцию, а целый набор таких функций вида [c.174]

При классической постановке задачи для того, чтобы удовлетворялись уравнения движения в перемещениях, компоненты вектора перемещений должны быть функциями класса (V х 3 ). Чтобы удовлетворялись основные уравнения теории упругости, определяемые дифференциальными операторами (4.30), компоненты напряженно-деформированного состояния должны принадлежать следующим функциональным пространствам щ 6 (V X е /, Рг 6 [c.94]

При решении динамических задач для упругих тел конечных размеров, содержащих трещины, возникает необходимость определения их собственных частот и форм колебаний, т. е. возникает задача на собственные значения. Эта проблема достаточно хорошо изучена, разработаны эффективные аналитические и численные методы ее решения [96, 208, 256, 260, 426, 471 и др.]. Обычно при ее решении исходят из граничной задачи для соответствующего дифференциального оператора (в теории упругости для оператора (3.1)). [c.127]

Система уравнений движения динамической теории упругости (Д.4) или эквивалентные ей системы (Д.7), (Д.8) очень сложны для интегрирования из-за сложной структуры дифференциальных операторов. Однако процесс интегрирования можно упростить, используя теорему Гельмгольца, которая позволяет любое гладкое векторное поле представить в виде. [c.198]

С точки зрения исследования распространения волновых процессов одним из существенных качеств применяемой модели динамики сплошной среды является ее гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнениям так называемого гиперболического типа. Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание при построении математических аппроксимаций. Это обстоятельство особенно важно для построения упрощенных теорий. Такие приближенные теории строятся обычно как асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или как некоторые аппроксимации точно поставленных задач математической теории упругости. Гиперболические аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими. Они, в отличие от параболических аппроксимаций, характеризуют процессы распространения волн с разрывами и поэтому способны описать динамические явления в областях, расположенных ближе к реальным волновым фронтам, предсказываемым трехмерной теорией. Иначе говоря, если рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-временного дифференциального оператора), то с помощью первых можно построить теории, применимые при более высоких частотах гармонических составляющих [2.54]. Все сказанное относится к модели динамической теории упругости, которая, как известно, является гиперболической, и ее аппроксимациям— теориям стержней, пластин и оболочек. Условию гиперболичности не удовлетворяют классические тео- [c.6]

В линейной теория вязкоупругости соотношение между напряжениями и деформациями всегда можно записать в форме, сходной с используемой в теории упругости, например в виде (18.2), заменяя упругие постоянные в матрице [О] соответствующими дифференциальными илн интегральными операторами [35]. Для изотропного материала вместо двух упругих постоянных можно использовать два оператора, а для анизотропных-мате-. риалов может потребоваться 21 оператор. [c.422]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Рассмотрим последовательность 2 дифференциальных операторов линейной теории упругости [c.176]

Определим матричный дифференциальный оператор О для осесимметричной задачи теории упругости [c.50]

Дифференциальные операторы, встречающиеся в теории упругости, являются самосопряженными. Это означает, что должно выполняться условие [c.85]

Здесь с = Е/р. Для волн расширения в неограниченной среде Е заменяется на ь + 2[г, для волн искажения на р,, таким образом, математическая теория оказывается совершенно тождественной. Заменяя Е через наследственно-упругий оператор, получим следующее интегро-дифференциальное уравнение [c.608]

Граничный потенциал F (м, х, dV) является интегральным оператором, ядро которого содержит сильную особенность. Интегралы с такими ядрами не суш,ествуют ни как интегралы Римана, ни как интегралы Лебега, ни в смысле главного значения по Коши. В настоящее время к этой проблеме имеется два подхода. Первый заключается в том, что интегральные операторы с такими ядрами заменяются ин-тегродифференциальными (псевдодифференциальными), ядрами Которых являются композиции сингулярного ядра и дифференциального оператора. Теория псевдодифференциальных операторов интенсивно развивается в последнее время [2, 364, 390—393, 422 и др.]. Таким методом решались задачи теории упругости для тел с трещинами [75, 83, 154, 4 9, 552, 553 и др.]. [c.118]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

В работах В. М. Александрова, Н. X. Арутюняна [10] и В. 1У1. Александрова, Е. В. Коваленко [15] рассматривается относительно тонкий слой льда, лежащий на гидравлическом, стержневом или двухслойном упругом основаниях. Двухслойный пакет представляет собой упругий слой, покрытый стержневым слоем. Физико-механические свойства льда описываются уравнениями нелинейной теории ползучести со степенной связью между интенсивностью девиатора скоростей деформаций и интенсивностью девиатора напряжений. Коэффициент Пуассона для льда принимается постоянной величиной. Исследуется процесс квазистатического нагружения нормальными усилиями поверхности слоя льда или квазистатического вдавливания в поверхность жесткого штампа. При этом гидравлическое основание описывается соотношением основания Фусса-Винклера, а стержневое и двухслойное — уравнениями линейной теории упругости. Рассматриваемые плоские контактные задачи сведены к нелинейным уравнениям, которые содержат интегральные операторы по координате и дифференциальные по времени. Найдены асимптотические решения этих уравнений для относительно малого и большого времени. [c.464]

Моментная теория упругости. Введем матричйый дифференциальный оператор [c.49]

В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Т. Селезов [2.50] (1960). Он исходил из краевой задачи динамической теории упругости в перемешениях и рассматривал систему рекуррентных соотношений типа (20.9) и (20.10) и уравнения типа (20.11), вытекающие из граничных условий, как общую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было показано, что при усечении системы до какого-либо порядка получается замкнутая система уравнений, которая может быть приведена к нескольким или одному дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохранить все пространственно-временные дифференциальные операторы до определенного порядка включительно [2.52] (1961), то полученная система уравнений будет гиперболической. Это условие является достаточным для построения гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое пространственными ортогональными координатами Хи Х2, Хз и временной координатой t. Причем ось Охз является прямой, а криволинейные ортогональные координаты Х и Х2 отсчитываются в плоскости Хз = 0. Выделим слой —оо<х1<°о, —оэ<х2<оэ, —к<Хз<к и положим, что изменение поля в зависимости от координат и Х2 характеризуется некоторым параметром I, который значительно больше толщины слоя 2к [c.137]

Свободные колебания балки из упругого материала описываются уравнением /(5 су/й 1) + рЛ (3 3/ ) = 0. Согласно (9.48), соответствующий Е оператор уравнений теории вязкоупругости будет KQUЗKP + 0 ). Если прогиб искать в виде w(Xl, <) = (х ) 0 (О, то дифференциальное уравнение колебаний вязко-упругой балки можно расщепить на два уравнения — одно с производными по пространственным координатам — кЩ = О, а другое—с производными [c.306]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...