Формулы из теории поверхностей

А2. Формулы из теории поверхностей. Пусть г является вектором, соединяющим некоторую фиксированную точку пространства с точкой поверхности (f [c.201]

Усилие съема для этого случая можно найти исходя из условий, что давление на наружной поверхности заготовки равно нулю, а на внутренней будет действовать равномерно распределенное давление q. Использовав для этого случая известные формулы из теории упругости, после соответствующих решений и преобразований получим выражение для определения величины упругой деформации отверстия [c.69]

Если, уравнение поверхности, на которой помещается участок нити, есть fix, у, z) = О, то, как известно из теории движения материальной точки но поверхности (п. 1.1 гл. XVI формулы (16.2), (16.3), (16.5)), проекции нормальной реакции поверхности N, которую по-прежнему следует прибавить в левой части уравнения (25.2), выражаются так [c.438]

Как известно из теории криволинейных интегралов, если на поверхности заданы три непрерывные и дифференцируемые функции Р, Q и R, то для них справедлива формула Стокса [c.48]

Гораздо труднее определить зону распределения потенциала по отдельным сетям. Из теории электроразведки известно, что потенциал в любой точке поверхности земли, создаваемый двумя точечными электродами, через один из которых посылается в землю ток 7, выражается формулой [c.18]

Уравнения и формулы общей теории оболочек в предыдущих главах были выведены для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена, к линиям кривизны. Обобщение этих результатов для произвольной косоугольной системы координат можно получить, используя приемы и символику тензорного анализа. Приводимые ниже тензорные уравнения и формулы заимствованы в основном из [41 ]. Предлагались и другие варианты этих соотношений, которые можно найти, например, в изданных в СССР работах [77. 107] и в работах зарубежных авторов [165—168]. [c.79]

Из теории Дерягина следует, что сила адгезии зависит от кривизны [формула (I, 62)] контактирующих поверхностей. Влияние свойств поверхностей на адгезию учитывается свободной энергией /(0), а действие капиллярных сил и зарядов частиц на величину силы адгезии не учитывается (об этом см. гл. III, 12—14). [c.38]

Из теории Дерягина следует, что сила адгезии зависит от кривизны [формула (1,37)] контактирующих поверхностей. Влияние свойств поверхностей на адгезию учитывается свободной энергией / (0), а действие капиллярных сил и зарядов частиц на величину силы адгезии не учитывается (об этом см. гл. IV). Если взять среднее значение величин поверхностного натяжения твердых тел о 800 эрг/см2, то по уравнению (I, 39) силы адгезии для частиц радиусом 25 мкм составят 25 дин. По экспериментальным данным сила адгезии частиц радиусом 25 мкм лежит в пределах от 0,06 до 0,083 дин, т. е. ка 2—3 порядка меньше расчетной. [c.30]

При исследовании деформации срединной поверхности оболочки используются некоторые ( рмулы теории поверхностей вращения, известные из дифференциальной геометрии. Вывод этих формул дается в 6.2. Соотношения между деформациями и перемещениями и уравнения равновесия рассматриваются в 6.3 и 6.4 они совпадают с соответствующими соотношениями и уравнениями изотермической теории оболочек 148, 37, И]. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями, учитывающие температурные члены, приводятся в 6.5. [c.170]

Полученные выражения являются обобщением известной формулы линейной теории для определения давления сверхзвукового потока на обтекаемую им слабо искривленную стенку и переходят в нее при 0 = 0 (так как при этом М2 = М и Л = 0). Из формулы (20) видно, что давление, действующее на элемент поверхности в точке с [c.454]

Когда метрика кинематического элемента — евклидова, то, как доказывается в теории поверхностей, из этих формул следует, что семей- [c.720]

При обработке проходными резцами (обтачивание, растачивание и строгание) составляющая силы резания, направленная по нормали к обрабатываемой поверхности Ру, определяется, как известно из теории резания металлов, по формуле [c.73]

После некоторых преобразований (подстановка Д из (4.42) в формулы (4.38), учет формы поверхности Ферми — для поликристаллов, благородных и щелочных металлов она близка к сфере и т. д.) можно получить формулы, аналогичные полученным из теории Друде —Зинера (4.14) и (4.15) для классического электронного газа с концентрацией М [c.192]

Аналитическое решение задачи по определению контурной площади контакта осуществляется путем использования формул Герца для упругого взаимодействия сферических и цилиндрических поверхностей. С учетом допущений, аналогичных приведенным для волнистых поверхностей, получаем из теории Герца для кон-с неплоскостностью на каждой [c.70]

Формулы (2)—(4) недостаточны для расчета конкретной величины энергии, поглощаемой подложкой при нанесении покрытий. Очевидно, что поток тепла, попадающий на подложку, зависит от скорости конденсации. Проведем расчет для конкретной геометрии испарения, типичной в практике металлизации (рис. 8). Из теории теплообмена между двумя поверхностями известно, что взаимное расположение поверхностей учитывается угловым коэффициентом, который для принятой геометрии испарения составляет 0,06 (методику расчета угловых коэффициентов см. в гл. ХИ1, где показано, что угловой коэффициент равен коэффициенту использования паров х). Учитывая угловой коэффициент и пренебрегая теплоизлучением подложки, находим плотность потока энергии, попадающей на подложку за счет теплоизлучения испарителя [c.25]

Формулы для определения окружных (о ) и радиальных (ог) напряжений, возникающих в сопрягаемых деталях, посадочного (контактного) давления р на посадочных поверхностях и необходимой величины натяга (Д) получены на основе известных из теории упругости и сопротивления материалов формул Ламе. [c.105]

По проекциям сил Мх, Му, Мху можно вычислить силы, действующие в срединной поверхности оболочки Л ,,, М1, Му 1, используя формулы перехода, известные из теории оболочек [c.99]

Из теории теплопроводности известно 5], что тепловой поток в полу-ограниченный стержень при известном законе изменения температуры поверхности тела от времени вычисляется по формуле [c.96]

Формулы (10.4) можно положить в основу геометрической теории любых центрированных систем в параксиальных лучах. Применяя их к первой преломляющей поверхности сложной системы, найдем положение изображения, возникающее от преломления на этой поверхности. Полученное промежуточное изображение играет роль предмета для преломления на второй сферической поверхности. С помощью тех же формул (10.4) можно найти положение второго промежуточного изображения, возникающего от преломления на второй сферической поверхности, и т. д. В конце концов путем последовательного применения формул (10.4) к каждой из преломляющих поверхностей можно найти положение окончательного изображения, даваемого всей системой. [c.73]

Ниже приводятся разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории для различных типов анизотропных слоистых оболочек, составленных из произвольного числа слоев, произвольно расположенных относительно координатной поверхности у = 0. [c.166]

Однако сам факт удачного применения суперпозиционного приближения к тройной функции распределения показывает, что за пределами первой координационной сферы в жидкости не может быть никакого локального кристаллического порядка. Это вытекает из формулы (2.27) как видно из рис. 2.22, к совокупности маленьких кристалликов суперпозиционное приближение неприменимо. В модели Бернала регулярные ряды из десятков или сотен атомов наблюдаются, лишь если имеется плоская граница [69] в этом случае поверхностный слой с гексагональной плотной упаковкой вызывает распространение кристаллизации на значительное расстояние в глубь системы. Интересно отметить, что типичная структура двумерной жидкости твердых дисков, получающаяся по методу Монте-Карло, очень похожа (рис. 2.40) на пример поликристаллического беспорядка ( 2.6) отнюдь не очевидно, что в двумерной системе вообще существует ясно выраженная жидкая фаза (см., например, [27, 62, 64]). Это обстоятельство очень важно для теории поверхности жидкости, а также для теории образования ядер кристаллизации при замерзании. [c.102]

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы Г1, Гг и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой а р и бар, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно полная кривизна поверхности выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности и к при изгибании меняются по отдельности, а величина К=к к2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не про-извольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями [c.30]

Сжатие а земного сфероида имеет порядок динамического сжатия Н Земли и принимается нами в качестве величины первого порядка малости. В дальнейшем во всех рассматриваемых формулах будут опускаться члены выше первого порядка малости. При принятой нами точности решения вопросов задачи баллистики в поле земного сфероида любой из сфероидов, приведенных в таблице 1.1, может быть взят в качестве фигуры относимости. Однако удобнее в качестве фигуры относимости принять нормаль-ный сфероид, введенный еще в 1743 г. известным французским ученым Клеро [6]. Исходя из теории Клеро. можно весьма просто выразить неизвестные постоянные, входящие в формулу (1.5) потенциала силы земного тяготения, через средний радиус / и сжатие а нормального сфероида и значения ускорения силы тяжести на его поверхности. [c.20]

Эту формулу можно упростить, если обратиться к теореме из теории поверхностей,известной под названием теоремы Менье Meusnier). Пусть R есть радиус кривизны нормального сечения поверхности плоскостью, проходящей через касательную МТ к траектории на оснввании этой теоремы имеем соотношение p = / os6, откуда [c.195]

Это преобразование легко выводится из общих формул ковфиантного дифференцирования с учетом известного из теории поверхностей со -отношения для символов 1фистоффеля второго рода [3] [c.94]

В передачах с параллельными осями производян1ие плоскости обоих колес сливаются в одну, являющуюся плоскостью зацепления, а боковые поверхности зубьев из-за равенства углов Рм = = р 2 = рй соприкасаются по общей образующей (линейный контакт), При скрещивающихся осях производящие плоскости пересекаются по прямой, представляющей собой геометрическое место точек контакта боковых поверхностей зубьев, называемой линией зацепления. Она проходит через точку Р касания начальных цилиндров касательно к обоим основным цилиндрам колее. Проекции линии зацепления совпадают с проекциями плоскостей Еь и Еь2 и составляют в торцовых сечениях колес различные по величине углы зацепления а л и 0 (2, величины которых определяются по формуле, известной из теории эвольвентных цилиндрических передач. Предельные точки N и N2 линии зацепления отмечены на основных цилиндрах на трех проекциях. Активная длина линии зацепления определяется точками Б и пересечения линии зацепления поверхностями цилиндров вершин зубьев колее с радиусами Га и Га2- Линия зацепления N[N2 является общей нормалью к боковым поверхностям зубьев обоих колес. [c.396]

Последний член в скобках, происходящий от нарастания напряжений в цилиндре, выделенном из пластинки, в направлении от бокоюй поверхности его к центру, имеет значительную величин и при обычно принимаемом значении Ь безусловно того же порядка, что и первый член. Ко во всяком случае у тонкой плиты (пластинки), к которой эта теория только и относится, он меньше первого члена, так что о значительном повышении напряжений в направлении к центру, как эюго можно было бы ожидать по формулам обыкновенной теории изгиба пластинки, не может быть и речи. [c.171]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Архимед нашел строгими геометрическими рассуждениями положения центров тяжести параллелограмма, треугольника, трапеции и даже, применяя так называемый метод исчерпывания , определил центр тяжести параболического сегмента и центр тяжести части плош,ади, ограниченной параболой и заключенной между двумя параллельными прямыми. Исследования Архимеда были предметом гордости его сограждан, вызывая изумление и восхиш е-ние всех ученых. Так, Плутарх говорит Во всей геометрии нет теорем более трудных и глубоких, чем теоремы Архимеда, и, несмотря на это, они доказаны очень просто и весьма ясно. По моему мнению, невозможно найти доказательства какого бы то ни было из предложений Архимеда, но, прочитавши доказательство, данное им, нам кажется, что мы сами дали бы это доказательство — так оно просто и легко . Архимед впервые математически корректно определил боковую поверхность прямого цилиндра и прямого кругового конуса, а также дал формулы для вычисления поверхности и объема шара. Его геометрическое построение стороны вписанного в круг семиугольника до наших дней вызывает восхищение математиков всех стран. [c.56]

Контактные напряжения Оя и Оятах вычисляют по приведенным выше формулам, следующим из теории Герца. Контактные напряжения одинаковы для обоих контактирующих тел, поэтому расчет на прочность выполняют для того тела, у которого допускаемое напряжение меньше. Допускаемые напряжения [а]я и [о]ятах назначают в зависимости от требований, которым должно удовлетворять сопряжение и весь узел в целом (точность расположения осей контактирующих тел, плавность и равномерность вращения, долговечность и др.), а также от материалов тел и способов их термической или химико-термической обработки (закона изменения твердости по глубине поверхностного слоя), качества поверхностей и условий контактирования. [c.181]

Оценка коэффициента отражения зеркала при скользящем падении может быть сделана на основании формул электромагнитной теории света, связывающих угол полного внутреннего отражения с концентрацией электронов в отражающем веществе. (Речь идет, разумеется, об электронах, принимающих участие в дисперсии.) Оказывается, что для данной длины волны критический угол возрастает как С — концентрация элексро-нов). Или, иначе говоря с увеличением С при данном угле падения можно наблюдать излучение с более короткой длиной волны. Из этих соображений следует, что в условиях скользящего падения выгоднее всего покрывать решетку платиной или золотом, для которых С велико. Наоборот, для углеводородов С мало, поэтому коэффициент отражения решетки уменьшается при осаждении на ее поверхности паров масла. Это заставляет считать более целесообразным применение ртутных диффузионных насосов, а пе масляных [23]. Рассчитанные по электромагнитной теории значения углов полного внутреннего отражения согласуются с экспериментальными данными. [c.133]

Ограничимся здесь рассмотрением линейного резонатора Фабри — Перо. Можно считать, что если число Френеля не очень велико, то основные моды резонатора будут приблизительно ТЕМ-типа. Это предположение является необходимым для обоснования перехода к скалярной дифракщюнной теории. Кроме того, можно использовать результаты, полученные в приближении геометрической оптики, а именно те, что моды состоят из двух противоположно направленных волн. Обозначим через и амплитуды прямой и обратной волн, отраженных от зеркал и Л/2. Пользуясь формулами из разд. 4.2, можно связать поле на зеркале Л/1 с полем и на зеркале М2. Применив те же формулы [см. выражение (4.2.14)] ки и предположив, что волновые фронты совпадают с поверхностью зеркал, можно написать следующие выражения [c.527]

Сравнение результатов экспериментов с теоретическим, полученными по классической теории Друде—Зинера, показало, что с учетом отклонения излучения полированных поверхностей от закона Ламберта в диапазоне температур 1200—2000° С опытные данные совпали с теоретическими с погрешностью 6%. Поправка на отклонение от закона Ламберта вводилась или по обобщенной зависимости [5], построенной на основании экспериментов, или по методике Шмидта и Экерта [6]. Из полученных результатов следует, что искусственно установленный диапазон применимости формулы классической теории (Япред>25 мкм) может быть значительно расширен, по крайней мере для тугоплавких материалов. [c.71]

Вопросам опытного и расчетного определений термического сопротивления контакта в вакууме между металлическими поверхностями различной степенью Щфоховатосги посвящено исследование Каганера и Жуковой [Л. 34]. Авторы предпринимают попытку получить расчетную формулу, учитывающую влияние качества фактической поверхности контакта. За основу принимается конусо-идальная модель неровностей шероховатых поверхностей. Приняты следующие допущения 1) высота микронеровностей в поперечном и продольном направлениях одинакова 2) диаметр пятен касания одинаков. Путем элементарных рассуждений и применения основных положений из теории. механического контакта поверхностей твердых тел [Л. 12] и теории контактного теплообмена [Л. 14] авторами работы [Л. 34] получены следующие выражения для расчета удельного термического сопротивления металлического контакта [c.28]

Расчетная формула (3-7) применима для теплового контакта плоских поверхностей, поэтому при подстановке (2-9) в (3-5) контурное давление <7к было заменено контактным давлением р. Кроме того, как следует из теории механического контактирования, при неоднократных нагружениях поверхностей максимальные выступы неровностей /гмако оминаются до размера средних выступов отсюда в формуле (3-7) [c.79]

Хотя теория аберраций третьего порядка центрированных оптических систем может быть построена для обпгего случая несферических поверхностей, все же более целесообразно рассматривать отдельно сферические и отдельно несфериче-скне поверхности по следующим соображениям. Большинство оптических систем не содержит несферических поверхностей, так как их точное изготовление представляет большие затруднения. — Для этого большинства должны быть составлены наиболее простые формулы. К тому же введение одной или нескольких несферических поверхностей производится вычислителем только в том случае, когда не удается решить задачу исправле- ния системы с помощью одних лишь сферических поверхностей. Но тогда задача может быть решена в два приема сначала для сферических поверхностей, а далее вводятся коэффициенты деформации в одиой-двух поверхностях и с их помощью усовершенствуется система из сферических поверхностей. Роль деформации сферической поверхности более наглядно выступает при отдельном ее рассматривании. [c.106]

Наконец, геометрическая форма свободной поверхности, которая предусматривается теорией Дюпюи-Форхгеймера, дает очень плохое приближение к истинному ее значению (фиг. 103). Это несоответствие является следствием полного пренебрежения этой теорией поверхности фильтрации на поверхности стока. В свете этих трудностей становится ясным, что успех теории Дюпюи-Форхгеймера, располагающей формулами, которые даются ею для определения величины расхода в практических целях и которые воспроизводят истинные значения величины расхода при линейном и радиальном гравитационных течениях, следует считать совершенной случайностью. Однако совершенно иной комплркс допущений, как это будет показано ниже, также приводит к идентичным формулам расхода. Эти допущения с физической стороны, повидимому, особенно соответствуют целям подсчета величины расхода при гравитационном течении. Несмотря на фундаментальное значение задачи радиального гравитационного течения в скважину, до 1927 г. не было предложено ничего нового, кроме применения упомянутой теории Дюпюи-Форхгеймера. Тогда же эта теория была впервые поставлена под сомнение и было предпринято решение рассматриваемой проблемы непосредственными методами теории потенциала. С точки зрения получения удовлетворительного математического решения, обладающего точностью, эти теоретические изыскания не имели успеха, но они послужили толчком к развитию экспериментального изучения проблемы. Наиболее поздняя из этих работ (гл. VI, п. 18), проделанная с песчаными моделями действительного течения, привела к следующему выводу свободная поверхность не следует теории Дюпюи-Форхгеймера. В частности, свободная поверхность заканчивалась совсем не на уровне стока жидкости, как это принимала последняя теория, выше а иа высоте порядка половины разности суммарного напора. Однако давление или распределение напора жидкости у основания системы можно выразить формулой, по виду идентичной с той, что дается теорией Дюпюи-Форхгеймера для геометрической формы свободной поверхности, а именно [c.328]

В работе [127] предполагается, что псевдоожижен-ный слой излучает как абсолютно черное тело и, исходя -из формул для лучистого обмена между двумя плоскостями с. температурами Гст и Тел, проводится оценка значимости радиационного обмена в сравнении с кон-вективно-кондуктивным. Роль радиационного переноса возрастает с увеличением размеров. частиц при сохранении неизменными прочих характеристик, в частности свойств материала частиц. Поэтому, если для частиц d = 0, мм лучистый обмен становится существенным при 7 >900 К, то для частиц d = 5 мм — при Г>500К. Аналогичные оценки получены в работе [50] в рамках пакетной теории теплообмена псевдоожиженного слоя с поверхностью (для частиц d = 0,5 мм температура, при которой становится существенным лучистый теплообмен, должна быть больше 700 К). Все эти оценки проводи- лись в предположении, что профиль температуры вблизи поверхности в псевдоожиженном слое не изменяется вследствие радиационного обмена и определяется, как и при низкой температуре, только конвекцией и теплопроводностью. [c.135]

Изложенная теория идеальной оптической системы носит совершенно общий характер, т. е. применима к аксиально симметричным системам произвольной конструкции. Система оказывается полностью заданной, если известно взаимное расположение четырех кардинальных точек. Положение этих точек в каждой конкретной системе, разумеется, зависит от ее конструкции (от кривизны преломляющих и отражающих поверхностей, их расположения, показателя преломления и т. п.). Существует несколько методов нахождения кардинальных точек. Один из них состоит в последовательном расчете хода лучей, падающих на систему слева и справа параллельно оси. При этом к каждой преломляющей поверхности применяется (формула (71.2) или (71.3). Сущность другого, более употребительного метода, ясна из следующего. Пусть даны две оптические системы и для них известны фокусные расстояния и положения главных точек, причем обе системы расположены на общей оси на некотором известном расстоянии друг от друга тогда можно вычислить (фокусные расстояния и положения кардинальных точек сложной системы, состоящей из этих систем. Таким образом, если сложная система состоит из двух или больщего числа подсистем с известными кардинальными точками, то производя описанный процесс сложения несколько раз, можно определить параметры системы в целом. [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...