Кривизна нормального сечения поверхности

Представление о кривизне поверхности в какой-либо ее точке можно получить путем исследования кривизны в этих точках ряда проходящих через нее намеченных на поверхности кривых линий. Обычно рассматривают кривизну нормальных сечений поверхности. [c.409]

Радиусами главных кривизн в точке поверхности называются наибольший и наименьший из радиусов кривизн нормальных сечений поверхности в рассматриваемой точке, т. е. следов, оставляемых на поверхности плоскостями, проходящими через нормаль к поверхности в рассматриваемой ее точке. [c.721]

Если рассмотреть сечение поверхности плоскостью, которая проходит через касательную некоторого нормального сечения и образует с последней угол а (угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности), то кривизна нормального сечения поверхности выражается формулой [c.218]

Выберем для некоторой точки поверхности в ее касательной плоскости направление I и проведем через него нормальную плоскость поверхности. В пересечении с поверхностью она образует плоскую кривую у[, называемую нормальным сечением (оно, конечно, будет зависеть от направления I). Кривизна нормального сечения поверхности V/ называется нормальной кривизной [c.17]

Индикатриса Дюпена в весьма наглядной форме показывает, как в дан ной точке поверхности изменяется кривизна нормального сечения поверхности в зависимости от направления этого сечения. Если ар — угол, который составляет интересующее нас сечение с а -линией (рис. 3), то радиус-вектор, проведенный под углом гр к оси I из начала координат до пересечения с индикатрисой Дюпена, равен V R. [c.18]

Поясним последнее. Для этого в рассматриваемой точке кривой проведем плоскость через нормаль к поверхности и касательную к кривой. Она пересечет поверхность по плоской кривой — нормальному сечению поверхности. Для него (в указанной точке) очевидно вьшолняется условие (4.8). Таким образом, нормальная кривизна является кривизной нормального сечения поверхности. Величину Г( называют геодезическим кручением. [c.30]

В случае, когда активные силы отсутствуют, нормальная реакция поверхности всегда направлена к центру кривизны нормального сечения поверхности, содержащего касательную к траектории. Проектируя равенство (1) на главную нормаль, совпадающую с радиусом шара, и на касательную, находим [c.54]

Так как в этой задаче движение точки по поверхности шара происходит в отсутствие активных сил, то траектория движения — геодезическая линия, для которой радиус кривизны траектории равен радиусу кривизны нормального сечения поверхности, касающегося касательной. Эта траектория — дуга большого круга. [c.55]

Если кривизна нормальных сечений поверхности в точке касания действительно является тензором второго ранга, то, кроме формул (7) и (9), должна быть справедливой и следующая формула см. формулу (а)з в подстрочном примечании иа стр. 17] [c.18]

Формула (13) тождественна формуле (10). Следовательно, кривизна нормальных сечений поверхности в точке касания является симметричным тензором второго ранга [c.19]

Поскольку кривизна нормальных сеченнй поверхности в точке представляет собой симметричный тензор второго ранга, справедливо следующее [c.20]

Нижеприводимые теоремы и формулы вытекают из тензорной природы кривизн нормальных сеченнй поверхности. Эти теоремы аналогичны доказываемым в теории напряжений или деформаций сплошной среды (плоская задача), или в теории моментов инерции площади плоской фигуры вследствие тензорной природы всех упомянутых объектов. [c.20]

Существует два инварианта тензора кривизн нормальных сечений поверхности [c.43]

Первый из них (линейный) связан со средней кривизной нормальных сечений поверхности [c.43]

Если радиус кривизны нормального сечения поверхности И инструмента стремится к бесконечности (1 —> 00), это приводит к еще более существенному уменьшению высоты остаточных гребешков - до [c.270]

Третье условие формообразования. В зависимости от соотношения величин и знаков радиусов кривизны нормальных сечений поверхностей Д н И, третье условие формообразования может либо выполняться (рис. 7.2.1), либо нарушается (рис. 7.2.2). [c.369]

Особые случаи касания поверхностей деталей и инструментов. Особые случаи возникают, когда линии пересечения одной или одновременно обеих поверхностей Д и И в точке К имеют перегиб (рис. 7.4). В дифференциальной окрестности точки перегиба линия пересечения поверхности Д и ] нормальной секущей плоскостью с точностью до членов второго порядка малости может рассматриваться как отрезок прямой линии. Например (рис. 7.4.1), в точке К радиусы кривизны нормального сечения поверхности детали и исходной инструментальной поверхности равны один другому и равны бесконечности (= °о), однако на участке К1 профиля сечения детали наблюдается интерференция поверхностей Д и И. Аналогичное явление может наблюдаться при определенном соотношении радиуса кривизны нормального сечения поверхности И инструмента и параметров кривизны поверхности Д детали (рис. 7.4.2). Если плоское нормальное сечение поверхности детали представляет собой дугу кривой с монотонно изменяющейся кривизной (рис. 7.3), то в некоторой точке К радиусы кривизны нормальных сечений поверхностей Д н И равны один другому по модулю и противоположны по знаку ( = К ) Очевидно, что в этом случае на участке К1 профиля неизбежно имеет место интерференция поверхностей Д [c.374]

В дифференциальной окрестности точки перегиба кривизна нормального сечения поверхности Д и) равна нулю. Такое плоское нормальное сечение поверхности Д и) неотличимо от аналогичного сечения другой поверхности, имеющей другие параметры формы. [c.375]

Интенсивность изменения кривизны нормального сечения поверхностей Д и И в дифференциальной окрестности точки перегиба может быть различной по разные стороны от точки перегиба. Это следует учитывать при проверке выполнения или нарушения третьего условия формообразования поверхностей деталей. [c.376]

Величина радиуса кривизны любого нормального сечения поверхности при этих условиях пропорциональна квадрату соответствующего полудиаметра индикатрисы. [c.409]

Некоторые поверхности имеют точки, в которых индикатриса Дюпена является окружностью, т. е. кривизна всех нормальных сечений поверхности в этой точке одинакова. Такие точки поверхности называют омбилическими. Все точки поверхности сферы омбилические. [c.409]

Направления, в которых кривизны нормальных сечений имеют минимум и максимум, взаимно перпендикулярны и совпадают с главными диаметрами индикатрисы Дюпена. Их называют главными направлениями на поверхности в рассматриваемой точке. [c.410]

Индикатриса Дюпена в рассматриваемой точке поверхности дает возможность определить кривизну любого нормального сечения поверхности, а также главные направления кривизн, главную и среднюю кривизны. [c.411]

Кривизна поверхности в точке может быть охарактеризована двумя другими параметрами — средней кривизной нормальных сечений кср и гауссовой кривизной к, которые связаны с главными кривизнами следующими равенствами [c.198]

Рассмотрим симметричную оболочку толщиной h (рис. 10.3). Обозначим через рт радиус кривизны дуги меридиана ее срединной поверхности, а через pt - второй главный радиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между срединной поверхностью и осью симметрии (см. рис. 10.3, а) Радиусы рт и pt являются в общем случае функцией угла в между нормалью и осью симметрии. [c.398]

Направления, определяемые формулой (4.33), называют г л а в-ными направлениями, а экстремальные значения кривизны нормального сечения в данной точке — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Линии на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными направлениями, называют линиями кривизны. [c.219]

Вопросы кривизны поверхности были исследовань[ французским математиком Ф. Дюпеном (1784— 1873), который предложил наглядный способ изображения изменения кривизны нормальных сечений поверхности. [c.141]

Эту формулу можно упростить, если обратиться к теореме из теории поверхностей,известной под названием теоремы Менье Meusnier). Пусть R есть радиус кривизны нормального сечения поверхности плоскостью, проходящей через касательную МТ к траектории на оснввании этой теоремы имеем соотношение p = / os6, откуда [c.195]

Радиусы кривизны нормальных сечений поверхности, проведенных вдоль координатных линий Sj, Эг % определеяные как [c.20]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Здесь Ri к — главные радиусы кривизны нормальных сечений поверхности, проведенных вдоль координатных линий у = onst или X == onst соответственно, т. е. срединная поверхность оболочки отнесена к линиям главных кривизн. [c.271]

Допущение 8.1. 5 пределах длины и ширины одной формообразованной ячейки (т.е. в пределах дуги длиной 8л и 8/7) на обработанной поверхности детали кривизны нормальных сечений поверхностей Д и И в направлениях, совпадающих с направлениеми отсчета подач 8д и 877, постоянны, а их кручение принимается равным нулю. [c.446]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...