Краевая задача в дополнительных напряжениях

Постановка краевых задач в дополнительных напряжениях упрощается, если ввести понятия начальных усилий ( j)o, дополнительных усилий t i и полных усилий ti. Для плоскости с внешней нормалью П соотношения между усилиями и напряжениями имеют вид [c.200]

Краевая задача в дополнительных напряжениях 200 [c.325]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Будем считать, что напряжения на системе дуг М обращаются в нуль. Их можно устранить посредством частного решения второй основной задачи, задав, например, дополнительно на дугах Ь равные нулю напряжения. В результате суперпозиции на системе М получатся требуемые однородные краевые условия, а на системе L произойдут соответствующие изменения краевых условий. Согласно (7.6) и (7.11) будем иметь краевую задачу Римана с разрывными коэффициентами [c.419]

Однородное интегральное уравнение, союзное к (2.24), представляет собой уравнение, которое можно получить, если пытаться построить решение первой основной задачи для областей Dt, 02, Оз, . .., От в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя, распределенного на всех поверхностях ). Поскольку краевые условия однородны, то все смещения в дополнительных областях будут равны нулю, а следовательно, будут равны нулю и напряжения. Из непрерывности же вектора напряжений на границе будет вытекать, что во всей области О напряжения равны нулю, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Поскольку же нетривиальное решение при однородных условиях существует, то в общем случае уравнение [c.567]

В первой и во второй частях книги получены 29 уравнений, содержащие только упомянутые 29 величин, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние. Следовательно, получена замкнутая система уравнений теории пластичности. Она представляет собой математическую модель упруго-пластической деформации. Напряженно-деформированное состояние в любом процессе обработки металла давлением (при прокатке, волочении, прессовании и др.) удовлетворяет этой системе уравнений. Поэтому ее недостаточно для достижения указанной цели теории пластичности. При интегрировании системы дифференциальных уравнений появляются новые постоянные и функции координат и времени, для определения которых нужны дополнительные уравнения, конкретизирующие процесс. Это уравнения, описывающие начальное состояние тела в момент времени f (начальные условия), и уравнения, отображающие взаимодействие деформируемого тела с окружающей средой (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями. Они определяют пространственно-временную область, в пределах которой происходит исследуемый процесс обработки металла давлением, и вместе с замкнутой системой уравнений теории пластичности образуют краевую задачу. Ее решение, т. е. результат интегрирования замкнутой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях, представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса (прокатки, волочения, прессования и т. д.) в виде 29 функций координат [c.233]

Дополнительные ограничения на виртуальное состояние. Принцип виртуальных скоростей и напряжений (XIV.36) не является конструктивным для решения краевой задачи теории пластичности, сформулированной в гл. XI. Необходимо сконструировать вариационное уравнение, решение которого эквивалентно краевой задаче. С этой целью введем ряд дополнительных ограничений на виртуальное состояние. [c.310]

Ищем решение этой задачи, которое удовлетворяет следующему условию напряжения имеют интегрируемую особенность в конце трещины при X = —vt и в конце клина при х — 0. Можно показать, что это дополнительное условие позволяет построить единственное решение краевой задачи (445) которое имеет вид [22, 62] [c.134]

Поэтому для решения краевой задачи надо к нагрузочному напряженно-деформированному состоянию присоединить дополнительное напряженно-деформированное состояние, снимающее невязки. Построение последних сводится к рассмотренной выше задаче об эффекте приложения краевых воздействий. Отсюда вытекает, что дополнительное напряженно-деформированное состояние будет также определяться решениями вида (П.15.1), в которых надо, вообще говоря, число р, отождествлять с числом е, входящим в (П. 16.5). Исключение представляет случай, когда в (П. 16.6) функция г точно или приближенно обращается в нуль, т. е. когда край у близок или совпадает с линией уровня функции изменяемости внешней поверхностной нагрузки. [c.504]

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. [c.12]

Из условия удовлетворения граничным условиям (2) в предположении, что закон распределения напряжений под штампом задан = 1 у)), используя соотношения закона Гука и связь локальных систем координат между собой, получаем систему двух интегро-функциональных уравнений относительно трех неизвестных Х у ), ф), (г/)). Для замыкания системы используем заданный закон смещения подошвы штампа. В результате получаем дополнительное интегральное уравнение, замыкающее систему. Таким образом, исходная краевая задача сведена к системе интегро- [c.313]

Замечание. В краевой задаче (1.11) —(1.14) для полости сечением С при м о(х1, Х2) = О, (Х1, Х2) Е С краевые условия в области раскрытия полости О = С Г совпадают с краевыми условиями задачи о трещине-разрезе, занимающей область В в упругой среде. Отличие в том, что в задаче о трещине нужно потребовать дополнительно обращения в нуль коэффициента интенсивности напряжений на границе В. Это позволяет использовать класс решений задач о равновесии трещин—разрезов при построении решений задачи о равновесии трещин—разрезов с областями налегания. Уравнением, определяющим границу Г областей налегания и раскрытия в задаче для трещин—разрезов, занимающих область С, является условие отыскания контура трещины—разреза (области r F), на котором Л 1(Х1, Х2) = 0. [c.180]

Особенность краевой задачи (3.162) — отсутствие в ней члена с продольным градиентом давления. Появляется дополнительный неизвестный параметр 71, который находится из самого решения этой задачи. Вид переменных (3.161) показывает, что при ж оо напряжение трения т (см. 3.160) приближается к своему значению в невозмущенном пограничном слое перед окрестностью точки разрыва краевых условий, а тепловой поток дх уменьшается по закону Ье — число Льюиса) [c.130]

Следует напомнить здесь, что, как только что говорилось, не исключена возможность в некоторых случаях удовлетворить дополнительные, кроме тех, что уже были сформулированы, краевые условия, не используя для этого дополнительных решений. Если даже не обращать внимания на краевые условия, то любое получаемое решение будет описывать некоторого вида напряжения и перемещения в каждой точке края, при этом может оказаться, что они являются именно теми напряжениями или перемещениями, ради которых исследовалась задача. Число условий, установленное выше, соответствует рассматриваемым уравнениям. [c.442]

В случае внутренних разрезов (/2 = 1, 2, Л ) функции (V.115) равны нулю вследствие выполнения условия однозначности смещения (1.154). Потенциалы (V.112) с дополнительными слагаемыми (V.115) уже удовлетворяют условиям (IV.120). Заметим, что изложенный здесь прием обобщения комплексных потенциалов напряжений на случай краевых разрезов был использован ранее [108] при рассмотрении задачи о коллинеарных трещинах в бесконечной плоскости с круговым отверстием, когда разрезы расположены вдоль прямой, проходящей через центр отверстия. [c.168]

Напряжения, получаемые в результате решений каждой составляющей задачи, будут удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям совместности Сен-Венана и физическим краевым условиям — контурной нагрузке. Однако этих условий недостаточно для определения однозначного решения в случае двухсвязной области. Дополнительными условиями однозначности являются условия (IV. 36), позволяющие определить постоянные Шо, К я Ь [c.309]

Выписанные соотношения, помимо погрешности основных гипотез теории тонких оболочек, содержат и дополнительные погрешности. Последними можно пренебречь в задачах, где функции, характеризующие напряженно деформированное состояние, значительно возрастают при дифференцировании хотя бы по одной координате. Такое напряженное состояние реализуется, например, в не очень длинных цилиндрических оболочках и при краевом эффекте (см. стр. 651). Кроме того, отброшенные в формулах (70) и (71) члены содержат множителями [c.647]

II этап — дополнительный расчет, т. е. определение переме щений и напряжений в зоне краевого эффекта. Этот расчет мо жет быть проведен а основе вспомогательной задачи, приводи мой ниже. [c.44]

Первое уравнение представляет напряжения растяжения и изгиба в поперечном сечении стержня при наличии дополнительной деформации. Второе уравнение соответствует плоской задаче при переменных параметрах упругости и дополнительной деформации. Функция напряжений F (х, у) удовлетворяет следующим краевым условиям [c.321]

Задача о круглом отверстии была решена с использованием программы TWOBI (приложение С) при 25 граничных элементах, аппроксимирующих четверть круговой границы. Кроме того, было принято, что V = 0,1, p/G = 10 , где р — значение растягивающего напряжения на бесконечности. Поскольку эта задача — краевая задача в напряжениях (в TWOBI силовые граничные условия для дополнительных напряжений формируются авто- [c.122]

Заметим, что физическая постановка задачи о вдавливании гладкого штампа требует дополнительного ограничения на решение— контактное напряжение должно быть отрицательным. В противном елучае между штампом и упругим телом образуется зазор, что существенным образом изменит поетановку краевой задачи — точка, в которой прекращаетея соприкоеновение штампа и тела, станет подвижной и будет определяться в ходе решения задачи (подробнее об этом см. [38]). [c.423]

Перемещения и напряжения в области находятся интегрированием известных теперь функций по поверхности, причем интегрирование можно производить в той же сетке разбиения поверхности, при которой решалось интегральное уравнение. Для на- рд,. 4 Схема разбиения поверхно-хожденЕЯ перемещений и на- сти тела сеткой малых элементов р — пряжений в точках, расноло- основная точка, д — опорная точка, женных близко к поверхности, следует ввести вторичную дискретизацию части поверхности, отстоящей от них ближе диаметра элементов разбиения. Значение плотности при этом в дополнительных точках находится интерполяцией. Напряжения на границе можно определить экстраполированием из области, вычислив их значения в нескольких точках, расположенных, например, на нормали к поверхности на различном от нее расстоянии. В случае второй основной задачи напряжения на границе можно определить, дифференцируя численно значения перемещений, вычисленных на границе. Если использовать краевое условие, то при этом не требуется вычисления перемещений в области. [c.105]

Требование, чтобы выделение задачи построения основного напряженного состояния производилось без связи с краевыми эффектами, нуждается в дополнительном разъяснении, но здес1 было бы не своевременно на этом останавливаться. Вопрос станет яснее после общего рассмотрения метода расчленения в части IV. [c.104]

Физически ясно, что, если мы хотим, чтобы напряженное состояние оболочки было безмоментным, то надо так закрепить края, чтобы исключить бесконечно малые изгийания ее срединной поверхности. Высказанное утверждение иногда пйзиъашт гипотезой В. В. Новодворского. В части IV предпринята попытка положить эту гипотезу в основу формулировки условий существования краевых задач безмоментной теории. Они сформулированы в виде гипотетической теоремы о возможных изгибаниях, которая вкратце заключается в том, что, если при данном способе защемления краев изгибания срединной поверхности возможны, то решение краевой задачи безмоментной теории будет существовать только тогда, когда внешние силовые воздействия не совершают работы на перемещениях этих изгибаний. Выяснилось, что теорема о возможных изгибаниях должна быть обусловлена целым рядом дополнительных предположений, полного списка которых получить не удалось. Тем не менее в части III постоянно проводятся сопоставления получаемых там теорем существования с теоремой о возможных изгибаниях. Это позволяет обнаружить те обстоятельства, которые исключают возможность построения решения краевых задач безмоментной теории, а следовательно, как уже говорилось, являются причиной некоторого искажения свойств напряженно-деформированного состояния оболочки. [c.174]

В этой главе рассматривается класс задач о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния оболочек нулевой гауссовой кривизны. Он характерен тем, что вмятины сильно вытянуты вдоль асимптотических линий и могут локализоваться вблизи одной (наиболее слабой) из них. Дополнительное напряженное состояние, возникающее при потере устойчивости, является полубезмоментным [87]. Жетод применим к выпуклым коническим и цилиндрическим оболочкам средней длины не обязательно кругового сечения края оболочки — не обязательно плоские кривые. Двумерная задача сводится к последовательности одномерных краевых задач четвертого порядка. Для цилиндрических оболочек при некоторых частных предположениях приближенное решение получено в замкнутом виде. [c.132]

В. Ранкина, Л. Прандтля, Р. Хилла было решено множество конкретных краевых задач о несущей способности оснований и устойчивости откосов и подпорных стенок (В. В. Соколовский, 1942, 1954, 1960 С. С. Голушкевич, 1948, 1957 В. Г. Березанцев, 1953, и др.). Нужно отметить, что в отличие от плоской задачи в случае осевой симметрии для замыкания системы уравнений в напряжениях одного условия предельного состояния Кулона недостаточно, и приходится привлекать дополнительное предположение о напряженном состоянии. В качестве такого предположения В. Г. Березанце-вым было использовано известное условие Кармана — Хаара о полноте предельного состояния, т. е. о совпадении промежуточного по величине главного напряжения с одним из двух других. [c.212]

Рассмотрим теперь случай, когда на подмножестве Гг границы отсчётной конфигурации заданы односторонние граничные условия на положения вида ф(Гг) z С, где С — замкнутое подмножество в R . Для того чтобы полностью охарактеризовать соответствующую краевую задачу и, в особенности, чтобы определить, какого рода дополнительное граничное условие следует наложить на первый вектор напряжений Пиолы—Кирхгофа в точках множества Гг, мы применим новый подход. Как показано в следующей теореме, установленной в работе iarlet Ne as [1985]), такую информацию нетрудно получить, если априори известны полная энергия и множество допустимых решений и, кроме того, предполагается, что полная энергия достигает минимума. Этот обратный подход обладает также тем преимуществом, что он позволяет непосредственно вывести соответствующий принцип виртуальной работы, поскольку при таком подходе выявляется конкретный вид вариаций , входящих в формулировку этого принципа (упражнение 5.5). Напротив, принцип виртуальной работы и выражение для полной энергии до сих пор всегда выводили, исходя из априори известной краевой задачи. [c.238]

В силу того что в общем случае нагрузкар (s) на S не самоуравновеше-на, дополнительно предположим, что тело закреплено от смещений и поворотов в некоторой точке V. Определим из решения этой задачи вектор перемещений (s) на 5. Вычитая полученный вектор перемещений из заданного м (s), сведем исходную задачу к случаю однородных статических краевых условий на S. Таким образом, поставленную задачу, не нарушая общности, можно рассматривать с нулевым вектором напряжений на 5 (p (s) =0) и кинематическим краевым условием, равным и,1 = — [c.64]

В настоящей монографии приведены результаты численного и экспериментального исследования термоползучести гибких пологих замкнутых, открытых и подкрепленных в вершине оболочек вращения переменной толщины, выполненных из изотропных и анизотропных материалов, обладающих неограниченной ползучестью. В главе I дан краткий анализ подходов к решению задач изгиба и устойчивости тонких оболочек в условиях ползучести. Глава II посвящена построению вариационных уравнений технической теории термоползучести и устойчивости гибких оболочек и соответствующих вариационной задаче систем дифференциальных уравнений, главных и естественных краевых условий, разработке методики решения поставленной задачи. Вариационные уравнения упрощены для случая замкнутых, открытых и подкрепленных в вершине осесимметрично нагруженных пологих оболочек вращения, показаны некоторые особенности алгоритма численного решения. Результаты решений осесимметричных задач неустаповившейся ползучести и устойчивости замкнутых, открытых и подкрепленных в вершине сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины приведены в главе III. Рассмотрено также влияние на напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболочек при ползучести высоты над плоскостью, условий закрепления краев (при постоянном уровне нагрузки), уровня и вида нагрузки, дополнительного малого нагрева, подкрепления внутреннего контура кольцевым элементом. Глава IV посвящена численному исследованию возможности неосесимметричной потери устойчивости замкнутых в вершине изотропных и анизотропных сферических оболочек в условиях ползучести. Проведено сопоставление теоретических и экспериментальных дан-лых. [c.4]

В практических расчетах элементов конструкций на прочность и устойчивость широко применяются так называемые прикладные теории оболочек. При их создании обычно принимают дополнительные упрощения, которые позволяют получить простые аналитические решения задач. Однако эти теории могут быть использованы для расчета только определенного класса конструкций. Например, рассмотренная в этой главе теория краевого эффекта применяется для определения напряжений лишь на узких участках оболочек, близких к цилиндрическим. Теория пологих оболочек используется при расчете элементов, геометрия которых мало отличается от плоских пластин. С помощью полубезмомент-ной теории удается получить простые формулы для расчета тонкостенного цилиндра, когда изменяемость деформированного состояния по окружности существенно выше, чем вдоль образующей. Теория мягких оболочек применяется при расчете конструкций весьма малой толщины, в тех случаях когда можно не учитывать изгибающие моменты. [c.146]

В межзвуковом диапазоне скоростей С2 < с < физическая картина движения тонкого заостренного симметричного клина в однородной упругой плоскости имеет сходство со случаями обтекания тела дозвуковым потоком идеальной сжимаемой жидкости или упругой средой при скоростях Сд < с < С2 (рис. 3). В зависимости от профиля клина /(х) (/(0) = О, / (х) <С 1, / Ч )1 схэ) и скорости, точка отрыва совпадает с задней кромкой тела (/ = 1) или является промежуточной I < 1). Снесенные на прямую у = О смешанные краевые условия этой задачи для определения полей напряжений, смещений (и, у) и скоростей (II, V) в верхней полуплоскости у > О и дополнительные условия в форме неравенств следующие [c.662]

Аналогичный подход можно найти у Треффца, который, рассматривая решение задач статики упругого тела в напряжениях, рекомендует пользоваться уравнениями равновесия в напряжениях как дополнительными краевыми условиями [105]. [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...