Функции напряжений в задаче Сен-Венан

При решении задачи о кручении иногда вместо функции кручения Сен-Венана ф удобно ввести другую функцию F, называемую функцией напряжений Прандтля. Она вводится по формулам [c.176]

В качестве примера приложения полученных результатов рассмотрим задачи для функций напряжений в задаче кручения Сен-Венана [c.119]

Полуобратный метод Сен-Вена на. При решении задачи этим методом делают допущения, о виде некоторых из функций напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей. Полуобратный метод является одним из наиболее эффективных методов решения задачи теории упругости. [c.49]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

Вариационное определение функции напряжений. Сохраняя все предпосылки полуобратного метода Сен-Венана, следует считать известными все соотношения задачи кручения, не содержащие варьируемой функции напряжений, в частности принять для перемещений и, v на торцах 2 = 0, z = I выражения, следующие из (3.2.3) [c.412]

В настоящей заметке принят иной метод изложения задачи Сен-Венана. На частных примерах мы показываем, что выводы получаются проще, если определять напряжения непосредственно, не переходя к перемещениям. При этом оказывается, что напряжения могут быть выражены через производные одной функции г]), функции напряжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению [c.264]

В основу разработанного способа положен полуобратный метод Сен-Венана, согласно которому перемещения в направлении координатных осей нами представлены в виде явных функций координатного угла 0 (задача рассматривается в цилиндрических координатах г, 0, z ось 2 совмещена с осью модели). Принятое допущение находится в соответствии с известным решением Нейбера для случая изгиба гиперболоида вращения 161. Благодаря такому представлению переменные в выражениях для функций напряжений Папковича — Нейбера разделились, и, тем самым, объемная задача теории упругости об изгибе тела вращения свелась к двумерной. Вследствие этого напряжения выражаются через частные производные этих функций по независимым переменным гили далее — через величины порядков полос пг и пг и параметров изоклин "ф, полученные при просвечивании оптически чувствительного слоя модели в направлении нормали (прямое просвечивание) к его лицевой поверхности и под углом а (наклонное просвечивание) к нормали N — направление (рис. 1). [c.54]

Таким образом, исходя из предположения, что функция напряжений не зависит от 0, мы смогли найти распределение напряжений, удовлетворяющее всем условиям задачи по наружному и внутреннему круговым очертаниям пластинки не действуют никакие усилия. По концевым поперечным сечениям имеются лишь нормальные усилия, приводящиеся к парам сил М. Распределение этих усилий по сечению вполне определяется выражением, полученным выше для напряжений 00. Если в действительности распределение нормальных усилий по концевым поперечным сечениям отличается от того, что дает решение (67), то найденное нами распределение напряжений будет отличаться от действительного, но на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что это различие будет значительным лишь у концов. В точках, удаленных от концов, распределение напряжений мало изменяется при изменении закона распределения изгибающих усилий. [c.95]

Полуобратный метод Сен-Венана, заключающийся в том, что при решении задачи теории упругости делают допущения о виде некоторых функций напряжений или перемещений. При этом упро [c.79]

Более или менее значительные дополнения сделаны в главах I и II, посвященных теориям напряжений и деформаций, в 31 главы V (принцип Сен-Венана), в главе VI о плоской задаче ( 45 и 46) и, наконец, -в главе IX ( 56 и 57 о функциях напряжений). Некоторые сокращения удалось сделать в 33 и 34 главы V, посвященных чистому изгибу и растяжению призмы, а также в главе X при выводе основных зависимостей в теории изгиба пластинок. [c.7]

Приведенные вьппе рассуждения совершенно аналогично могут быть использованы в общем случае произвольного числа трещин, расположенных вдоль одной прямой в бесконечной пластине, если к берегам трещины приложены лишь нормальные нагрузки, так что и в этом случае пластические области в решении соответствующей упруго-пластической задачи (при условие Треска — Сен-Венана) могут представлять собой отрезки на продолжении трещин. Решение строится методом Н. И. Мусхелишвили линейные размеры зон определяются из условий разрешимости краевой задачи в классе ограниченных функций (напряжений). Нужно следить, однако, за тем, чтобы в упругой области выполнялось еще условие loi —0г1 < <о, для главных напряжений. При некоторых значениях параметров нагружения оно начинает нарушаться, тогда вблизи концов трещин возникают вторичные пластические области, скольжение в которых происходит по плоскостям, нормальным к плоскости пластины. [c.194]

На первый взгляд кажется, что условие пластичности Треска — Сен-Венана более простое. Действительно, если главные оси заранее известны, то это условие выражается при помощи линейных функций от компонент тензора напряжений, притом самых простых линейных функций. Но при решении задач теории пластичности мы обычно не знаем, какое напряжение окажется больше, какое меньше мы далеко не всегда можем указать заранее и знак напряжения. Поэтому мы не знаем, на какой стороне шестиугольника окажемся, какую из простых формул нужно применить. А если главные оси заранее неизвестны, то теория Треска — Сен-Венана оказывается существенно более сложной. [c.58]

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями щ. При заданных непрерывных функциях щ = = Ui Xk) дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используются. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке на основании формулы закона Гука (4.4) определяются компоненты тензора напряжений atj (Хи), соответствующие принятым функциям и, (лгй), а из уравнений равновесия (4.3) и граничных условий (4.6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения. [c.72]

Если задаваться компонентами тензора напряжений atj (хи), то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения ыг (х ) находятся интегрированием уравнений (4.1), что возможно, если компоненты тензора деформации (х ), которые определяются формулой (4.5) закона Гука по принятым функциям oij (Xk), будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (4.2). Следовательно, компонентами тензора напряжений oi] (Xfi) надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности [c.73]

В качестве одного из простейших примеров рассмотрим задачу о толстостенной трубе иод действием внутреннего давления. Обозначим а — внутренний радиус трубы, Ь — внешний радиус, q — давление (рис. 8.12.1). Будем считать, что труба очень длинная и к торцам ее приложены растягивающие силы Р. Вследствие принципа Сен-Венана можно утверждать, что поперечные сечения ее останутся плоскими и напряженное состояние будет во всех сечепиях одинаково. Очевидно, что эту задачу следует рассматривать в цилиндрических координатах, т. е. пользоваться уравнениями 7.8, считая, что искомые функции зависят только от радиуса г. Тогда уравнения равновесия [c.267]

На основании теоремы 3.2 принцип Сен-Венана можно сформулировать так асимптотически наибольшая по модулю собственная функция канонической сингулярной задачи (удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений) всегда представляет собой решение Сен-Венана. [c.58]

Теорема 3.3. Если суш,ествует собственная функция (удовлетворяющая условию затухания или ограниченности напряжений) более высокого порядка по сравнению с решением Сен-Венана, то соответствующая краевая задача теории упругости принадлежит классу N. Если такой собственной функции не существует, то соответствующая упругая задача относится к классу S. [c.58]

Дадим доказательство принципа Сен-Венана для произвольного сечения цилиндра. Будем доказывать от противного. Пусть существует решение однородной краевой задачи теории упругости для бесконечного цилиндра с чисто мнимым собственным числом X = iy, отличным от нуля (y O). Согласно (3.38), напряжения и деформации, отвечающие этому решению, будут периодическими функциями z с периодом 2п/у. Покажем, что соответствующие им смещения также будут периодическими функциями 2 (с точностью до смещения и вращения тела как жесткого целого). Для этого выпишем следующие три кинематических соотношения [c.70]

В работах Г. П. Черепанова (1963, 1964) также применяются методы теории функций комплексного переменного, но предположение о том, что на неизвестной границе раздела упругой и пластической зон напряжения являются соответствующими вторыми производными от бигармонической функции, уже снято. Считается, что указанные напряжения — известные функции координат. Развитый метод решения применен к анализу упругопластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластинки с круговым вырезом (плоское напряженное состояние) при условии пластичности Треска — Сен-Венана в случае, когда [c.113]

При решении задач теории упругости в напря5кениях необходимо отыскивать такие функции напряжений, которые бы не только удовлетворяли уравнениям равновесия (уравнениям Навье), статическим граничным условиям, но также и условиям совместности деформаций. В связи с этим уравнения совместности деформаций Сеп-Венана необходимо представить в напряясениях. [c.55]

Кручение. Для того чтобы завершить рассмотрение многослойных балок из композиционных материалов, полезно рассмотреть задачу кручения таких балок. Основное уравнение, определяющее с учетом принципа Сен-Венана функцию напряжения Ф в задаче кручения анизотропного бруса, было получено Хиермоном [31] и имеет вид [c.141]

Из этих соотношений следует, что при кручении поперечное сечение стержня, поворачиваясь вокруг оси стержня, не остается плоским ( депланирует ) — его точки смещаются вдоль оси стержня. Обнаружение этого факта является одним из важнейших достижений теории Сен-Венана. Определяющая депла-нацию гармоническая функция ц> х,у) является решением задачи Неймана (2.1.14) по (2,4.5) функция ([> х, у) однозначна в 5. Заметим, что ее разыскание, равно как и функции напряжений Ф, не связано с задачей об изгибе силами Р или Q. [c.380]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Если решение задачи основано на постановке в деформациях через тензор Те или в скоростях деформаций через тензор Т , то соответствующие условия Б.Сен-Венана должны учтываться в замкнутом множестве уравнений. Пример таких множеств без учета инерционных и массовых сил для сред, свойства которых описьшаются определяющими уравнениями (1.5.2) или (1.5.4), приведен в табл. 8. При этом тензор напряжений представлен в виде (1.4.19) с помощью тензора Т функций напряжений Э.Бельтрами для безусловного вьшолнения уравношя равновесия (1.4.18). С использованием тшзора Т уравнения (1.5.2) и (1.5.4) принимают соответствующий вид [c.136]

В 1946 г. Л.А. Галин дал точное решение задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоскодеформнрованного тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности представляют собой полиномиалы1ые функции координат (в частности, постоянные или линейные [ 1 ]). Решение удалось найти благодаря бигармоничности функции напряжений в пластической области. Смешения в пластической области для этой задачи были исследованы Д.Д. Ивлевым [ 2]. Метод Л.А. Галина был применен А.И. Кузнецовым, Б.Д. Анниным, Т.Л. Рева для решения аналогичных задач в случае специальных неоднородных пластических тел [3-6] и некоторого класса условий пластичности, отличных от обычного условия Мизеса и Треска-Сен-Венана и хорошо аппроксимирующих условие пластичности горных пород. [c.7]

Значительный вклад в теорию оболочек внес А. Л. Гольденвейзер. Им были введены уравнения неразрывности деформаций [34], которые являются аналогом известных уравнений Сен-Венана в общей теории упругости. Тем самым открылась возможность решения задач теории оболочек непосредственно в усилиях и моментах, не прибегая к предварительному определению смещений. При этом обнаружилось примечательное подобие вновь выведенных уравнений неразрывности и более полувека используемых уравнений равновесия оболочки, получившее название статико-геометрической аналогии. Указанная аналогия позволяет тождественно удовлетворить уравнениям равновесия путем введения четырех функций напряжения (что было подмечено почти одновременно А. Л. Гольденвейзером [35] и А. И. Лурье [78]). [c.8]

Так как при технических расчетах наибольший интерес представляет определение напряжений, то мы нри рассмотрении отдельных задач стремились определять напряжения непосредственно, не переходя к уравнениям, выраженным через перемещение точек деформированного тела. Для этого мы пользовались функхщями напряжений. Функцию напряжений мы ввели не только при рассмотрении плоской задачи, но также при изложении задачи Сен-Венана и задачи о деформации, симметричной относительно оси. Таким путем, как вам кажется, удалось достигнуть значительного упрощения в изложении задач о кручении и изгибе призматических стержней и задачи Герца, [c.11]

Следующий раздел книги Клебш посвящает задаче Сен-Ве-нана. Он опускает соображения физического характера, введенные Сен-Венаном при использовании им здесь полуобратного метода, и ставит проблему в чисто математической формулировке найти силы, которые должны быть приложены к торцам призматического бруса, если объемные силы отсутствуют, по боковой поверхности бруса не приложено никаких сил, но между продольными волокнами действуют лишь касательные напряжения в осевом направлении. Таким путем Клебш получает возможность задачи осевого растяжения, кручения и изгиба рассматривать и решать как единую задачу. Подобная трактовка вопроса принимает более сложный вид, чем у Сен-Венана, поскольку при этом подходе опускается физическая сторона явления и решение получается слишком абстрактным, чтобы заинтересовать инженера. Клебш проходит мимо тех многочисленных приложений, на которых останавливается Сен-Венан, демонстрирующий эффективность своего метода на балках различных поперечных сечений. В качестве примеров Клебш приводит случаи сплошного эллиптического бруса и полого бруса, поперечное сечение которого образовано двумя конфокальными эллипсами. Почти никакого практического интереса эти задачи не представляют, но Клебш обращается к ним для того, чтобы впервые ввести новый прием математической трактовки, а именно, использовать сопряженные функции в решении задачи Сен-Венана. [c.310]

Решая задачу кручения Сен-Венана, Томсон применяет метод сопряженных функций, введенный Клебшем, используя его для вычисления напряжений и угла закручивания бруса с поперечным сечением в виде кольцевого сектора. [c.320]

В статьях Ф. С. Чурикова [121], Ю. Н. Работнова [85] и О. В. Соснина [104], [105] задача неустановившейся ползучести диска постоянной толщины решена по гипотезе упрочнения в формулировках (14), (15) и (14), (16). В работе [121] основные уравнения решены методом упругих решений А. А. Ильюшина. В статье [85] постулируется существование потенциала текучести Сен-Венана. Это дает возможность получить решение задачи в замкнутом виде. В работе [105] выражения для напряжений берутся в той же форме, что и в книге Л. М. Качанова [32], но неизвестная функция времени определяется из условия минимума квадратичной ошибки, вследствие невыполнения условий совместности деформаций. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...