Функция напряжений в задаче о полосе

Функция напряжений в задаче о полосе. Следуя сказанному в п. 2.3, запишем бигармоническое уравнение для функции Эри в виде [c.487]

Такого рода результаты были получены -) для различных условий на краях 0 = +а. Если оба края закреплены (ы = и = 0), выводы для клиновидной области (2а < к) с качественной стороны будут подобны. Если закреплен один край, а другой свободен от напряжений (сгн == т о — 0), существуют функции напряжений, которые дают перемещения, стремящиеся к нулю при г->-0, но безгранично увеличивающиеся напряжения, когда примерно 2а > 63° (при v = 0,3). Квадрант 2а = я/2 является интересным частным случаем, который показывает характер особенностей в задаче о растяжении полосы с одним закрепленным краем = ). [c.156]

В задаче о растяжении продольной силой отлично от нуля и равномерно распределено по высоте полосы напряжение а , тогда как Оу = О, = 0. Функция Эри представляется простейшим выражением [c.484]

Она представляет однородную кубическую форму вторых и третьих производных от Р. Таким образом дифференциальное уравнение для функции напряжений в области пластических деформаций является линейным относительно четвёртых производных и кубическим относительно всех входящих в него производных от функции напряжения. За исключением простейших случаев, а именно задачи о растяжении-сжатии полосы, когда функция Р зависит только от одной переменной, задачи о чистом изгибе и других простейших задач, никаких решений плоской задачи для пластинок, материал которых обладает упрочнением, нам не известно. [c.185]

Начнем с рассмотрения задачи кручения для бесконечной полосы — сю< д < оо, 1у1-<6. В этом простейшем случае функция напряжений не зависит от л и определяется решением краевой задачи [c.401]

В основу разработанного способа положен полуобратный метод Сен-Венана, согласно которому перемещения в направлении координатных осей нами представлены в виде явных функций координатного угла 0 (задача рассматривается в цилиндрических координатах г, 0, z ось 2 совмещена с осью модели). Принятое допущение находится в соответствии с известным решением Нейбера для случая изгиба гиперболоида вращения 161. Благодаря такому представлению переменные в выражениях для функций напряжений Папковича — Нейбера разделились, и, тем самым, объемная задача теории упругости об изгибе тела вращения свелась к двумерной. Вследствие этого напряжения выражаются через частные производные этих функций по независимым переменным гили далее — через величины порядков полос пг и пг и параметров изоклин "ф, полученные при просвечивании оптически чувствительного слоя модели в направлении нормали (прямое просвечивание) к его лицевой поверхности и под углом а (наклонное просвечивание) к нормали N — направление (рис. 1). [c.54]

С точки зрения практических приложений исследование поверхностной трещины, находящейся в конструкционном элементе, который можно представить пластиной или оболочкой, является одной из наиболее важных задач механики разрушения. В самом общем случае эта задача сводится к задаче о трехмерной трещине, развивающейся в теле конечных размеров, где поле напряжений, возмущенное трещиной, испытывает сильное влияние границ твердого тела [3]. В соответствующей двумерной задаче перемещения поверхности трещины представлены раскрытием трещины 5 и углом раскрытия трещины 6, отнесенными к нейтральной плоскости. Принято, что переменные N5 М, 5 и 0 являются функциями единственной переменной, а именно координаты X, расположенной вдоль оси трещины на нейтральной поверхности. Пара функций 5, 0 или Ы, М может быть определена из решения задачи со смешанными граничными условиями для пластины или оболочки со сквозной трещиной, при этом N и М рассматриваются как неизвестные нагрузки, действующие на поверхность трещины. После определения N и М коэффициенты интенсивности напряжений находят, пользуясь решением в рамках теории упругости для полосы, находящейся под воздействием мембранной силы N и изгибающего момента М. [c.134]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

Решение задачи строится с использованием функции напряжений Эри Ф(л , у), при этом Ф(л , у) представляется в форме бесконечных тригонометрических и гиперболических рядов. В результате удовлетворения граничных условий получены бесконечные системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ф(л , у). Показано, что эти системы квазивполнерегулярны. Получены выражения для напряжений при у—О с выделенрюй особенностью [248]. Рассмотрены некоторые частные случаи и видоизменения первоначальной задачи. Например, рассмотрены задачи о полосе с периодическими включениями, параллельными ее кромкам, случай, когда эти включения перпендикулярны кромкам, а также плоскость с двоякопериодическими включениями. [c.164]

Ряд функций напряжений, полученных последовательным дифференцированием, использовался для решения задачи о концеит])ан,пи напряжений, вызванной полукруглым вырезом в полубесконечиой пластинке, находящейся под действием растягивающих напряжений, параллельных краю ). Максимальное растягивающее напряжение при этом чуть больше чем в три раза, превышает невозмущепное растягивающее напряжение, действующее вдалеке от выреза. Исследовалась также полоса с полукруглыми вырезами па каждом крае ). Коэффициент концентрации напряжений (отношение максимального [c.116]

Соответствующие зависимости для каждого из 18 исследованных вариантов задачи о плоском напряженном состоянии стержня расположены в достаточно узкой полосе рассеяния этой функции (А на рис. 2.56) так что, к примеру, в диапазоне значений параметра нагрузки О < 5 < 1 вариация функции Atfi не превышает значения 0,1. На основании проведенного обобщения для плоского напряженного состояния рекомендована универсальная зависимость в виде (штрихпунк-тирные кривые на рис. 2.56) [c.110]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Решение плоской задачи для полосы, ослабленной двумя рядами расположенных в шахматном порядке одинаковых круговых отверстий, было получено Лингом [3.19]. Используя метод многократного зеркального отражения полосы (рис. 6.15, а) на систему полос, заполняюш,их всю плоскость, автор сводит задачу построения функции напряжения для полосы к построению функции, регулярной в полученной путем отражения области О (рис. 6.15,6), Последняя представляет собой главную часть функции напряжения, имеющую особенности в центрах отверстий. К этой главной части добавляется некоторая бигармопиче-ская функция, дающая возможность выполнить условия отсутствия нормальных и касательных напряжений на боковых гранях полосы. [c.258]

Граничные условия (17), (18), (21) показывают, что в случае идеально гладких границ инструмента (o=0 (на всех границах расчетной области), а ifi — заданная функция координат на этих границах. Следовательно, в этом случае ставится задача Дирихле для системы дифференциальных уравнений (12), (15) с фиксированными граничными условиями для и и. Зависимость коэффициентов уравнения (12) и его источникового члена от скоростей деформации показывает, что при граничных условиях о) = 0 течение в пластической области может быть безвихревым ( =0) только в отдельных частных случаях. Например, при осадке полосы между идеально гладкими плитами возникает однородное напряженное состояние и скорости являются линейными функциями координат [c.59]

М. я. Леонов и Н. Ю. Швайко (1961) рассмотрели твердое тело, деформируемое упруго всюду, за искоючением прослоек плохого материала (полосы скольжения), который можно мысленно вырезать, заменив его действие соответствующими силами. При этом возникает задача линейной теории упругости о деформации тела с разрывными перемещениями на некоторых поверхностях. П. М. Витвицкий и М. Я. Леонов (1960—1962) решили некоторые плоские задачи с линейными дислокациями Вольтерра. Ими найдены значения функций Колосова — Мусхелишвили, определяющих напряженно-деформированное состояние под действием линейной дислокации в неограниченной плоскости с эллиптическим отверстием. [c.399]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...