Решение плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений

Как указано в 39, решение плоской задачи при помощи функции напряжений ср( с, у) сводится к интегрированию уравнения (IX) [c.167]

В результате решение плоской задачи в напряжениях свелось к необходимости решать единственное уравнение (4.19). После определения функции ф переход к самим напряжениям выполняется по формулам (4.18). [c.78]

Решения плоской задачи в тригонометрических рядах, подробно рассмотренные выше для изотропного материала, могут быть распространены и на случай ортотропного материала, например, подчиняющегося закону Гука в форме равенств (4.9). В этом случае, проводя решение в напряжениях и используя функцию напряжений Ф х, у) (4.18), придем не к бигармоническому уравнению (4.20), а к уравнению совместности деформаций такого вида [c.108]

Функция напряжений для плоской задачи. Итак, решения плоской задачи в напряжениях, т. е. задачи в двух измерениях, сводится к интегрированию трех уравнений, которые для случая, когда объемной силой является вес тела, имеют вид (2.3.1). К этим уравнениям присоединяют условия на контуре (2.3.2). Но для дальнейшего облегчения задачи вместо определения трех функций (а , Оу, т у) достаточно определить одну, так называемую функцию напряжений, посредством которой дальше уже путем дифференцирования (а не интегрирования) определяют все искомые функции. [c.37]

При решении задачи в напряжениях удобно, как и в плоской задаче, использовать обобщенную функцию напряжений ф, удовлетворяющую условию [c.40]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций о (х, у), Оу х, у) и х у х, у). Для отыскания этих трех функций имеются два дифференциальных уравнения равновесия (5.2). К ним следует добавить уравнение сплошности (5.5), заменив в нем деформации на напряжения. [c.54]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Если при решении плоской задачи в полярных координатах для функции напряжений принять такое начертание [c.80]

Для решения плоской задачи в напряжениях удобно ввести так называемую функцию напряжений ф, через которую напряжения могут быть выражены следующим образом [c.69]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

Какова последовательность решения плоской задачи в напряжениях с помощью функции напряжений [c.118]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций Од, (j , у), (л, у) и т i/)- Д-чя этого имеются два дифференциальных уравнения равновесия (6,2). К ним следует добавить уравнение неразрывности деформаций (6,5), заменив в нем деформации на напряжения посредством формул закона Гука (6.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения ПОЛ ЧИ.М [c.60]

Аналогично тому, как было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах (см. 3, гл. VI), решение в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции напряжений Ф (г, 0). Выберем эту функцию так, чтобы напряжения выражались через нее следующим образом [c.102]

Решение плоской задачи в напряжениях (интегрирование уравнений равновесия, условий сплошности, удовлетворение граничным условиям) в значительной степени упрощается, если ввести в рассмотрение некоторую четырежды дифференцируемую функцию координат точек тела, называемую функцией напряжения, или функцией Эри. [c.72]

На нескольких примерах было показано, как, выбирая решения плоской задачи в виде целых полиномов, можно получать распределение напряжений для изгибаемой полосы. Функция напряжений в виде полинома третьей степени дала нам распределение напряжений в случае чистого изгиба полосы. Полином четвертой степени послужил для решения задачи об изгибе полосы силой, приложенной на конце. Из полинома пятой степени получено решение для полосы, несущей равномерно распределенную нагрузку. [c.86]

Решение этих уравнений производится на основе общего решения плоской задачи в полярных координатах, причем функция напряжений и перемещений, удовлетворяющая уравнению совместности записывается так [c.195]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения относительно функции напряжений ф. Так как оно не содержит упругих постоянных, то на основании принципа Вольтерры можно утверждать, что это же уравнение справедливо и для плоской задачи теории вязкоупругости. Если граничные условия на границе односвязной области, занимаемой рассматриваемым телом, заданы в усилиях, то, как отмечалось в 4.3, решение плоской задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Следовательно, распределение напряжений в каждый момент времени i в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. [c.360]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

При использовании функции напряжений <р (функции Эри) ) решение плоской задачи заключается в отыскании такого выражения этой функции, которое бы удовлетворяло уравнению (4.11) и граничным условиям, записанным через функцию ф [c.70]

В чем преимущество применения тригонометрических рядов вместо полиномов для функции напряжений ф при решении плоской задачи [c.87]

Обычно решение плоской задачи теории упругости производится в перемещениях, в напряжениях или функциях напряжений. В последнем случае, например, это приводит к исследованию би-гармонического уравнения [c.199]

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С. А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи Деформация в двух измерениях и Дав-ление жесткого штампа на упругое основание , которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного. Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г. В. Колосовым, который в 1909 г. опубликовал весьма важную работу Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости , где установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, [c.264]

I. Решение в полиномах. Решение плоской задачи осуществимо полуобратным методом, если сначала задаться аналитической формой функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению (6.11), а затем определить, каким нагрузкам на контуре она соответствует. В качестве бигармонической функции можно принимать алгебраические полиномы разных степеней. [c.62]

Решение плоской задачи теории упругости удобно выполнять в напряжениях. При постоянных объемных силах > д., / оно сводится к отысканию некоторой функции q) (х, у), удовлетворяющей бигармоническому уравнению [c.22]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению двух аналитических функций (р (г) и > (z) в области S, занятой упругим телом, при использовании предельных значений этих функций на контуре L (на границе тела). В случае первой основной задачи, т. е. когда па границе L за/даиы внешние напряжения, граничное условие имеет вид [c.9]

Сформулированная выше граничная задача для определения функций , , 7 j , ст, ст, т у сводится к задаче Римана-Гиль-берта методом, изложенным в [23] и использованным при решении плоской задачи с трением для упругих тел в 3.2. Затем истинные напряжения и перемещения в вязкоупругом теле определяются из решений дифференциальных уравнений (3.47). Не [c.156]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию в области 5, занятой телом, двух аналитических функций основная задача), граничное условие имеет вид [c.7]

Решение плоской задачи теории упругости значительно упрощаются с использованием функции напряжений Эри <р (х, у), выбранной таким образом, чтобы уравнения равновесия (10.27) превращались бы в тождества, т.е. [c.201]

Таким образом, методика решения плоской задачи наследственной упругости не отличается от методики решения классической упругой задачи. Здесь длина треш ины с(1) предполагалась функцией времени. Распределение напряжений остается таким же, как в уже изученных случаях (см. 8). [c.47]

Как известно, решение плоской задачи в напряжениях может быть сведено к определению функции напряжений, которую здесь обозначим F = F (х, у). Эта функция находится как решение бигар-монического уравнения (см. 4.4) [c.371]

Целесообразно для решения плоской задачи (в напряжениях) ввести вспомогательную функцию — функцию Эйри ), определив ее следующим путем. Рассмотрим уравнение (4.4). Из первого уравнения следует существование такой функции А х,у), что дА/ду = Ох, дА/дх = —Хху Аналогично, из второго уравнения следует, что существует функция В х,у) такая, что дВ/ду = —Хху и dBfdx = ay. Приравнивая между собой выражения для Хху, приходим к доказательству существования такой функции U(x,y), что [c.278]

Другой путь — решение плоской задачи в напряжениях. Подобно тому, как это было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах, подберем выражения для напряяшний через функцию ф в таком виде, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (5.4) и (5.5). [c.93]

Теория функций комплексного переменного ггаппа применение для решения плоской задачи теории упругих температурных напряжений при стационарном распределении температуры В этом случае функция напряжений является бигармонической [см.(4.4.24)]. Последовательность решения задачи определения температурных напряжений этим методом можно найти в [43, 68, 76]. [c.215]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

Если -р —функция напряжений, представляющая решение плоской задачи в полярных координатах г н 0, при отеутствии объемных снл, то она удовлетворяет уравнению [c.202]

Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения (IX) четвертого порядка в частных производных если из этого уравнения определим функцию х,у). то далее по формулам (6.16) или (VIII) найдем напряжения в любой точке тела. К уравнению (IX), конечно, должны быть добавлены граничные условия, соответствующие каждой [c.146]

При произвольном выражении Af (j i) предложенная функция напряжений не удовлетворяет бигармоническому уравнению и потому не может быть решением плоской задачи. Оно удовлетворится, если <7=0, M = aXi + b, Q = onst. В этом случае полоса нагружена только по торцам (например, задача об изгибе консоли силой, приложенной на свободном конце), аг2=0 и поэтому решение задачи сопротивления материалов есть точное решение задачи теории упругости. [c.136]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Для образцов с накладками (см. рис. 2.1) принимается схема нагружения, изображенная на рис. 2.2. Мате-риал по сечению образца считается однородным. Решение плоской задачи на случай сопряжения двух областей I и II получено в работе [62] методом Ритца в виде разложения по степенным функциям. Выражения для напряжений во II области образца (а/2 X Ь —/г/2 2 /1/2), в ко- [c.27]

Решение плоской задачи можно простить. сведя ее к отысканию одно11 функции ср (.V, (/), называемой фунщией напряжений Эри. Ее выбирают с таким расчетом, чтобы дифференциальные уравнения равновесия (6,21 обращались в тождества. Эти условия будут удовлетворены, если напряжения выразить чере,з функцию Эри следуюши.чш соотношениями [c.61]

Для решения плоских задач механики разрушения, а также сквозных трещин в толстых пластинах, подвергнутых растягивающим и изгибающим нагрузкам, был использован еще один вариант описанной выше концепции суперпозиции [76—78]. В рамках этого подхода, который аналогичен глобально-локальной формулировке метода конечных элементов [79], пробные функции перемещений, используемые в гфинципе виртуальной работы, состоят из двух частей (1) из множества обычных (несингулярных) конечно-элементных базисных функций, которые, если их рассматривать в качестве глобальных функций формы, соответствующих единичному перемещению на каждом узле, будут иметь ненулевые значения только на элементах, содержащих рассматриваемый узел в качестве общего (т. е. имеют локальный носитель) (2) из аналитического решения, которое включает в себя изменения напряжения типа l/ /r и О (г), причем это решение справедливо глобально. [c.210]

Функция ф (х, у) называется функцией напряжений Эри, а распределение напряжений (VIII.41) удовлетворяет уравнения равновесия (VIII.34), обращая их в тождества. Поскольку формулы (VIII.41) являются следствием только универсальных уравнений равновесия,они верны для решения плоских задач не только при упругой, но и при пластической деформации. [c.191]

В третьей главе содержится решение некоторых плоских ко нтактных задач взаимодействия ребер с пластинами. В отличие от первых двух глав решение строится иа основе уравнений теории плоского обобщенного напряженного состояния пластины без введения упрощающих гипотез. Ребра считаются присоединенными к пластинам по линии, ширина участка контакта не учитывается. В связи с математическими трудностями, возникающими при построении функций Грина для пластин конечных размеров (в случае плоской задачи) в литературе, за небольшим исключением, рассмотрены плоскость, полуплоскость и полоса с ребрами конечной и бесконечной длины. В силу высокой концентрации напряжений вблизи концов ребер такие решения приближенно могут описывать напряженное состояние и характер реакций взаимодействия в окрестности концов ребер и для пластин конечных размеров, если, ргйумеется, ребро не доходит до границы пластины. В данной главе делается акцент на решение контактной задачи, состоящей в определении касательных реакций взаимодействия между пластинами и ребрами. Напряжения в пластинах не исследуются, но необходимые для этого формулы естественно получаются при формулировке задачи. [c.121]

Исследование больших прогабов произвольных цилиндрических оболочек с помощью теории пологих оболочек. Для того чтобы получить решения типа решений уравнений (4.13) и (4.18) для плоских пластин, в которых мембранные напряжения выражаются через функцию напряжения, необходимо ограничиться рассмотрением тех задач, которые могут быть исследованы с помощью теории пологих оболочек, т. е. тех задач, для которых в каждой точке оболочки длина волны деформирования ненамного больше, чем радиус кривизныг (1/Ь) в этой точке. При этом можно рассматривать сравнительно большие прогибы, имеющие порядок, толщины. Могут быть также рассмотрены отклонения Wa от идеальной конфигурации, совпадающие по форме с прогибом W, тогда величины w /w и АГ = 1 + 2wjw являются постоянными вдоль X VI у. - [c.455]

Исследование напряженного состояния пластинки, ослабленной эллиптическим отверстием, осуществлено Г. В. Колосовым [76, 771- Им заложены основы решения плоской задачи теории упругости с помощью теории функций комплексного переменного. Этим было предопределено развитие математической теории упругости па десятилетия вперед. В дальнейшем метод функции комплексного переменного и конформных отображений применительно к задачам теории упругости был развит в трудах Н. И. Мусхели-швили (113). [c.7]

Впервые этот метод применил Г. В. Колосов Он показал, что интеграл бигармопического уравнения для функции напряжений, а также граничные условия в напряжениях или смещениях могут быть выражены через функции комплексного переменного. Ряд важных результатов получил Н. И. Мусхелишвили С помощью функций комплексного переменного можно легко получить решение плоской задачи теории упругости для внутренности круга. Если же задана некоторая односвязная область, отличная от круга, то в этом случае надо воспользоваться конформным отображением области на круг. Кроме того, использование интеграла тина Коши позволяет свести плоскую задачу теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого существуют хорошо разработанные приближенные методы. В некоторых случаях (например, для [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...