Задача Уравнения в напряжениях

Последняя строка здесь представляет уравнение совместности деформаций плоской задачи, выраженное в напряжениях, и называется уравнением Леви. [c.76]

Практически для того, чтобы можно было воспользоваться соответствующими готовыми разрешающими уравнениями (в напряжениях или в перемещениях), удобно бывает свести указанную температурную задачу к задаче о действии на тело некоторой дополнительной нагрузки. Рассуждаем при этом следующим образом. Пусть тело получило изменение температуры Т = Т (х, у). Исключим на время его деформации (в плоскости х — у), т. е. положим = = 8у = Уху = 0. Тогда из (4.122) найдем напряжения, возникшие в теле в первом состоянии [c.124]

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты Oij (xti) из уравнений равновесия (4.3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничных условий [c.81]

Так как задача решается в напряжениях, должны быть удовлетворены уравнения совместности деформаций [c.29]

При решении плоской задачи термоупругости в напряжениях в качестве неизвестных принимаются напряжения а,, и Учитывая равенства (19.26) для остальных напряжений, в случае плоской деформации из уравнений (19.22) получим [c.412]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

Решим теперь задачу термоупругости в напряжениях, например задачу В. Для этого нужно решить уравнения равновесия [c.121]

Эти соотношения при заданных X-,, К,, Z, являются граничными условиями нашей задачи. В задачах, связанных с равновесием тела и в случае отсутствия массовых сил, шесть независимых компонентов напряжения в каждой внутренней точке тела связаны тремя уравнениями в напряжениях (17), а в каждой точке поверхности тела связаны тремя граничными условиями (18). [c.370]

Заканчивая рассмотрение вопроса аналогий, кратко обсудим другой приближенный метод решения задач теории упругости. Э от метод основан на замене дифференциальных уравнений этих задач уравнениями в конечных разностях и решении этих уравнений численно методом последовательных приближений. Впервые этот метод был использован К. Рунге ), который таким образом решил сложную задачу кручения. В дальнейшем больших успехов достиг Л. Ричардсон, применивший этот метод к решению двумерных задач теории упругости и рассмотревший в качестве примера напряжения в дамбах от действия сил тяжести и давления воды ). В по- [c.670]

В заключение следует указать, что при решении задачи теории упругости в перемещениях уравнения совместности удовлетворяются автоматически. Если решение задачи проводится в напряжениях, то уравнения совместности будут входить в число основных уравнений, которые должны быть удовлетворены. [c.30]

Решение задач консолидации в напряжениях требует предположения о мгновенном возрастании порового давления во всей области пласта. Н. Н. Веригин [43] отмечал расхождение постановки такого начального условия с представлениями упругого режима фильтрации, где используют уравнение типа (14.2), но полагают р (л , i = 0) = = 0. В. А. Флорин [213] объяснял эффект появления ненулевого начального распределения давления деформируемостью скелета пористой среды, а начальное нулевое условие для давления считал оправданным для среды с жестким скелетом. [c.122]

Как известно, осесимметричную задачу течения идеально пластичного вещества не удается свести к системе уравнений в напряжениях. [c.180]

Подставив (13.3.7) в (13.3.6) и использовав равенства (13.3.1), приходим к шести дополнительным уравнениям в напряжениях. Окончательно компоненты напряжений в задаче статики упругого тела в напряжениях должны удовлетворять следуюш им девяти уравнениям в напряжениях [c.345]

При решении задач термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях (2.1.3), удобно пользоваться системой уравнений в напряжениях, которые получаются, если из уравнений (2.1.1), соотношений (1.5.11) или (1.5.13) и соотношений (1.2.2) исключить перемещения и деформации, выбрав в качестве неизвестных шесть компонентов тензора напряжения о,-,-. [c.39]

В постановке задачи термоупругости в напряжениях решение сводится к нахождению шести функций о, , удовлетворяющих трем уравнениям равновесия (2.1.1), шести уравнениям совместности деформаций в напряжениях (2.3.13) и трем граничным условиям (2.1.3). [c.42]

Таким образом, плоская задача термоупругости в напряжениях сводится к нахождению общего решения (4.1.24) для функции напряжений Р, т. е. к нахождению общего решения Р бигармонического уравнения (4.1.25) и частного решения уравнения Пуассона (4.1.26) или (4.1.27), при удовлетворении граничных условий (4.1.33). [c.88]

Для постановки плоской задачи термоупругости в напряжениях в случае многосвязных тел необходимы дополнительные уравнения, определяющие однозначность перемещений ( 4.2). В многосвязных телах, находящихся в стационарном плоском температурном поле, в связи с неоднозначностью перемещений напряжения в плоскости хОу, вообще говоря, не равны нулю. [c.88]

Таким образом, решение плоской задачи термоупругости в напряжениях для односвязного тела сводится к нахождению общего решения (4.2.25) для функции напряжений Р, т. е. к нахождению общего решения Р бигармонического уравнения (4.2.26) и частного решения Р уравнения Пуассона (4.2.27) или (4.2.28) при граничных условиях (4.2.32) и (4.2.33) или (4.2.34). [c.99]

Эти уравнения являются обобщением уравнений в напряжениях Бельтрами—Мичелла на задачу дисторсии. Заметим, что в фор- [c.534]

Эти уравнения являются обобщением уравнений Бельтрами — Мичелла на динамические задачи. Если нагрузки, а тем самым и напряжения не зависят от времени, то получаем уравнения в напряжениях эластостатики (см. формулы (6) 4.4). Применим к уравнениям (7) оператор Df, получим [c.575]

Уравнения в напряжениях (6) и (7) справедливы также для двумерных задач. Если внешние силы, граничные и начальные условия не зависят от переменной х , то уравнения в напряжениях примут для плоского деформированного состояния вид ) [c.578]

Для Г, О, И мы получим в этом случае из уравнений в напряжениях [ 14, ур-ние (2)] шесть, правда, не совсем не зависимых друг от друга диференциальных уравнений четвертого порядка. К конкретным вычисления в отдельных задачах этот способ до сих пор еще не был применен. [c.118]

Теорема единственности. Решение уравнений теории упругости [уравнений Ламе (14) или уравнений в напряжениях (12) гл. 1, (17)] для рассмотренных выше основных задач является единственным (с точностью до перемещений твердого тела). Эта теорема верна при не слишком больших нагрузках — пока можно не учитывать изменений в конфигурации тела при составлении уравнений равновесия. Для гибких тел возникновение новых форм равновесия при достаточной интенсивности нагрузок является весьма важным для решения вопросов прочности. [c.30]

Уравнения в напряжениях эффективны во второй краевой задаче (на фанице заданы лишь нафузки р и М). При отсутствии объемных [c.104]

Заметим, что для нахождения четырех компонент напряжения 0 , 0 , имеются лишь три уравнения в напряжениях (58.1), (58.5). В отличие от случаев плоской деформации и плоского напряженного состояния осесимметричная задача не является локально статически определимой поэтому раздельный анализ полей напряжения и скоростей в рассматриваемой схеме исключается. [c.259]

Сравнивая методы решения задачи кручения в напряжениях и в перемещениях, можно заметить, что оба метода обладают достоинствами и недостатками. Введение функции напряжений приводит к неоднороднойу дифференциальному уравнению в частных [c.36]

Подставим это выражение 2д Оху/дх ду в (VIII.38). Получим уравнение в напряжениях для плоской задачи [c.190]

Сформулируем теперь квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях. Для этого в уравнениях совместности (2.2) выразим деформации через напряжения, используя соотношения (1.2). Запишем сокращенно полученный результат в виде [c.14]

Квазистатическая задача МДТТ в напряжениях в классической постановке (задача В) заключается в решении шести уравнений совместности (2.19) и трех уравнений равновесия (2.6) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений а при удовлетворении граничным условиям, например (2.9) или [c.14]

Дадим так называемую новую постановку второй краевой квазистатической задачи МДТТ в напряжениях (задачи Б). Она заключается в решении шести уравнений [c.15]

Рассмотрим квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях (задачу В). Она заключается в решении шести уравнений совместности (1.2.19) и трех уравнений равновесия (1.2.6) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений а при удовлетворении трем граничным условиям (1.2.9). Область, занимаемая телом, считается односвязной. [c.52]

Упражнение 8.1. Показать, что квазистатическая (статическая) задача МДТТ в напряжениях заключается в решении шести уравнений относительно компонент тензора напряжений [c.67]

Динамическая задача МДТТ в напряжениях (8.26) заключается в решении шести уравнений [c.68]

Очевидно, что квазистатическая (статическал) задача МДТТ в напряжениях заключается в решении уравнений (8.33) с учетом определяющих соотношений (8.39) при удовлетворении граничным условиям (8.36), (8.37). Та же задача в деформащ4ях заключается в решении уравнений (8.33) при удовлетворении граш ным [c.69]

Уравнения равновесия (1.2.17) и граничные условия (2.2.3) уже представлены в напряжениях. Деформации при заданном температурном поле определяются через напряжения с помощью соотношений (1.5.23). Для полной формулировки задачи термоупругостн в напряжениях необходимо из соотношений (1.2.2) по известным компонентам тензора деформации гц определить компоненты вектора перемещения u . Эти соотношения образуют систему шести неоднородных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций их свободные члены ец являются однозначными функциями координат х , имеющими непрерывные производные до второго порядка. [c.41]

Таким образом, постановку плоской задачи термоупругостн в напряжениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо определить функцию напряжений/ (х, у), удовлетворяющую уравнению (4.2.22) (при плоской деформации) или уравнению (4.2.24) (в случае плоского напряженного состояния), граничным условиям (4.2.32) (4.2.33) на наружном контуре L и соответствующим граничным условиям на каждом внутреннем контуре к (рис. 22), условиям (4.4.5), (4.4.8), (4.4,9) (при плоской деформации) или таким же условиям однозначности, но содержащим вместо величин Е , VI, соответственно величины Е, V, ат (в случае плоского напряженного состояния). [c.108]

Т = + То21пр. Эти формулы вытекают также из решения осесимметричной плоской задачи термоупругости в напряжениях без привлечения условий однозначности, что объясняется понижением порядка уравнения совместности деформаций (4.2.39) в осесимметричном случае ( =0) (см. уравнение (4.2.45)) при подста-I (1Р [c.125]

В некоторых случаях (особенно в задачах с плоским напряженным или плоским деформированным состоянием) удобно использовать уравнения в напряжениях. В классической теории упругости такие уравнения известны как уравнения Бельтрами— Митчелла. Для несопряженной термоупругости соответствующие уравнения получил весьма простым путем Игначак и затем несколько иным путем Шоош [c.29]

Во многих задачах эластостатики важную роль играют уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, особенно в задачах о кручении и изгибе стержней и в задачах, связанных с плоским напряженным и плоским деформированным состояниями. Аналогичные уравнения для задач эластокинетики вывел Игна-чак ). [c.574]

Очевидно, что уравнения (7), выраженные через напряжения, необходимо выполняются в линейной эластокинетике. Как мы покажем ниже на примере плоской задачи, они не являются достаточными для решения конкретной краевой динамической задачи. Ниже мы предложим другой вариант уравнений движения в напряжениях, которые не только являются следствием основной системы уравнений эластокинетики, но и обусловливают эту систему. Игначак ) доказал разрешимость этого ва рианта уравнений в напряжениях, а также теорему единственности их решения иным путем, без ссылки на энергетические соображения. Вывод этой последней теоремы мы ниже повторим. [c.575]

Эти уравнения были использованы Игначаком ) для решения задачи о поверхностных волнах Рэлея. Метод уравнений в напряжениях оказывается удобным при исследовании динамических задач для изотропных неоднородных тел. [c.578]

Для решения двумерных задач довольно удобным в применениях оказывается некоторый вариант уравнений в напряжениях, предложенный Снеддоном ) и Радоком ). Он основан на таком использовании уравнений движения и условий совместности, что получаются волновые уравнения для трех неизвестных функций aib 022, 0]2. Часть этих уравнений удовлетворяется одной функцией напряжения, являющейся в некотором смысле обобщением функции Эри на динамические задачи. Ход рассуждений в этом варианте следующий. [c.578]

В. Ранкина, Л. Прандтля, Р. Хилла было решено множество конкретных краевых задач о несущей способности оснований и устойчивости откосов и подпорных стенок (В. В. Соколовский, 1942, 1954, 1960 С. С. Голушкевич, 1948, 1957 В. Г. Березанцев, 1953, и др.). Нужно отметить, что в отличие от плоской задачи в случае осевой симметрии для замыкания системы уравнений в напряжениях одного условия предельного состояния Кулона недостаточно, и приходится привлекать дополнительное предположение о напряженном состоянии. В качестве такого предположения В. Г. Березанце-вым было использовано известное условие Кармана — Хаара о полноте предельного состояния, т. е. о совпадении промежуточного по величине главного напряжения с одним из двух других. [c.212]

Сложнее обстоит дело во второй краевой задаче теории уп ругостй, когда на границе р задаш напряжения. В этом случае задачу надо решать в напряжениях. Равносильное уравнению (7) уравнение в напряжениях есть уравнение импульсов 10(9) [c.23]

Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины, связанной с работой напряжений и внешней приложенной нагрузки. Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется последний подход. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию оистемы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу оистемы. Общепринятая формулИ(ровка метода конечных элементов предполагает отыскание поля пб1ремещбний и тем самым связана с минимизацией по-тенциальной энергии системы при отыскании узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и напряжений. [c.79]

Главы VII, VIII, IX и X посвящены плоскому деформированному состоянию. Проведено подробное исследование уравнений пластического равновесия и преобразование их к каноническим системам. Показано, что эти уравнения являются гиперболическими и даны эффективные приемы их численного. интегрирования. Изложен метод тригонометрических рядов, позволяющий получать решения некоторых задач в аналитической форме. Изучены уравнения пограничного слоя и выведены простые интегралы этих уравнений в напряжениях и скоростях. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...