Решение плоской задачи в напряжениях

Решение плоской задачи в напряжениях [c.134]

Таким образом, при решении плоской задачи в напряжениях последняя сводится к решению одного бигармонического уравнения (7.74). [c.153]

Решение плоской задачи в напряжениях с помощью уравнений [c.77]

В результате решение плоской задачи в напряжениях свелось к необходимости решать единственное уравнение (4.19). После определения функции ф переход к самим напряжениям выполняется по формулам (4.18). [c.78]

Функция напряжений для плоской задачи. Итак, решения плоской задачи в напряжениях, т. е. задачи в двух измерениях, сводится к интегрированию трех уравнений, которые для случая, когда объемной силой является вес тела, имеют вид (2.3.1). К этим уравнениям присоединяют условия на контуре (2.3.2). Но для дальнейшего облегчения задачи вместо определения трех функций (а , Оу, т у) достаточно определить одну, так называемую функцию напряжений, посредством которой дальше уже путем дифференцирования (а не интегрирования) определяют все искомые функции. [c.37]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций о (х, у), Оу х, у) и х у х, у). Для отыскания этих трех функций имеются два дифференциальных уравнения равновесия (5.2). К ним следует добавить уравнение сплошности (5.5), заменив в нем деформации на напряжения. [c.54]

Для решения плоской задачи в напряжениях в полярной системе координат имеем два уравнения равновесия (6.1) и уравнение сплошности (6.3). [c.83]

Для решения плоской задачи в напряжениях удобно ввести так называемую функцию напряжений ф, через которую напряжения могут быть выражены следующим образом [c.69]

Какова последовательность решения плоской задачи в напряжениях с помощью функции напряжений [c.118]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций Од, (j , у), (л, у) и т i/)- Д-чя этого имеются два дифференциальных уравнения равновесия (6,2). К ним следует добавить уравнение неразрывности деформаций (6,5), заменив в нем деформации на напряжения посредством формул закона Гука (6.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения ПОЛ ЧИ.М [c.60]

При решении плоской задачи в напряжениях в уравнении неразрывности деформаций (17.11) необходимо выразить деформации через напряжения с помощью формул закона Гука. Воспользовавшись, например, формулами (17.17) для обобщенного плоского напряженного состояния, получим [c.349]

Решение плоской задачи в напряжениях (интегрирование уравнений равновесия, условий сплошности, удовлетворение граничным условиям) в значительной степени упрощается, если ввести в рассмотрение некоторую четырежды дифференцируемую функцию координат точек тела, называемую функцией напряжения, или функцией Эри. [c.72]

В 2.2 приведены примеры решения плоской задачи в напряжениях для рассматриваемой задачи построим решение в перемещениях. Для этого, использовав зависимости (2.22) и (2.24), выразим напряжения через перемещения [c.49]

Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сводится к решению уравнения (10.32) с учетом заданных в напряжениях граничных условий. [c.201]

Решения плоской задачи в тригонометрических рядах, подробно рассмотренные выше для изотропного материала, могут быть распространены и на случай ортотропного материала, например, подчиняющегося закону Гука в форме равенств (4.9). В этом случае, проводя решение в напряжениях и используя функцию напряжений Ф х, у) (4.18), придем не к бигармоническому уравнению (4.20), а к уравнению совместности деформаций такого вида [c.108]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Если при решении плоской задачи в полярных координатах для функции напряжений принять такое начертание [c.80]

Таким образом, для решения плоской задачи в полярных координатах и определения напряженного и деформированного состояния упругого " тела мы имеем уравнения равновесия (5.4), (5.5), геометрические уравнения (5.6) и физические уравнения (5.7) или (5.8). [c.92]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

Аналогично тому, как было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах (см. 3, гл. VI), решение в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции напряжений Ф (г, 0). Выберем эту функцию так, чтобы напряжения выражались через нее следующим образом [c.102]

Особенность решения, излагаемого в настоящей главе, состоит в том, что иа основе решения плоской задачи исследуются напряженное состояние и концентрация напряжений в замковых соединениях, работающих в условиях упругости, пластичности и ползучести. Рассматриваются случаи простого н сложного нагружений. [c.98]

Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного напряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть Yj, - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напряжений Охх, уу, Предполагая, что су = О и все производные по оси Z равны нулю, основные уравнения теории упругости значительно упростятся и примут вид [c.200]

На нескольких примерах было показано, как, выбирая решения плоской задачи в виде целых полиномов, можно получать распределение напряжений для изгибаемой полосы. Функция напряжений в виде полинома третьей степени дала нам распределение напряжений в случае чистого изгиба полосы. Полином четвертой степени послужил для решения задачи об изгибе полосы силой, приложенной на конце. Из полинома пятой степени получено решение для полосы, несущей равномерно распределенную нагрузку. [c.86]

Решение этих уравнений производится на основе общего решения плоской задачи в полярных координатах, причем функция напряжений и перемещений, удовлетворяющая уравнению совместности записывается так [c.195]

Метод конечных разностей является универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений. Ои позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений. В настоящее время этот метод применяется для решения плоских задач о напряженном состоянии массивов грунтов. [c.52]

Вместо реальной задачи (рис. 10.1) в ряде литературных источников предлагают в качестве якобы первого приближения решение плоской задачи в дополнительных напряжениях, создаваемых вблизи круглого выреза малого радиуса г, в бесконечной упругой полуплоскости другим круглым вырезом большого радиуса Я (рис. 10.2,в). [c.188]

Выполненный выше анализ собственных ОСН в исследуемых узлах показал, что толщинные ОСН Оуу весьма незначительны по сравнению с радиальными и окружными. Это обстоятельство позволяет проводить решение деформационной задачи в рамках плоского напряженного состояния с ненулевыми компонентами напряжений только в радиальном Оп- и окружном О00 направлениях. [c.301]

Наиболее обширным и практически важным классом задач теории упругости является так называемая плоская задача, в ко торой все напряжения, деформации и перемещения зависят только от двух координат, например Хи Х2. Эти задачи сводятся, по существу, к идентичной математической задаче, что позволяет использовать при их решении одинаковые математические методы. К плоским задачам сводятся расчеты на прочность и жесткость таких конструктивных элементов, как тонкие пластины и оболочки, вытянутые тела, подвергающиеся действию поперечной нагрузки, которая не изменяется по их длине, и т. д. [c.130]

При решении плоской задачи теории упругости в напряжениях основные уравнения имеют вид [c.134]

До сих пор рассматривалась плоская задача в предположении, что материал тела является идеально упругопластическим. Далее кратко остановимся на особенностях решения плоской задачи для упрочняющегося материала при простом нагружении на примере плоского напряженного состояния. [c.330]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения относительно функции напряжений ф. Так как оно не содержит упругих постоянных, то на основании принципа Вольтерры можно утверждать, что это же уравнение справедливо и для плоской задачи теории вязкоупругости. Если граничные условия на границе односвязной области, занимаемой рассматриваемым телом, заданы в усилиях, то, как отмечалось в 4.3, решение плоской задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Следовательно, распределение напряжений в каждый момент времени i в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. [c.360]

При решении задачи в напряжениях удобно, как и в плоской задаче, использовать обобщенную функцию напряжений ф, удовлетворяющую условию [c.40]

Решение задачи о плоской деформации в напряжениях сводится к определению функций Оц = Оц Хх, Огг = огз to, 2). [c.226]

Некоторые результаты расчетов эволюции ударных волп в железе. На рис. 3.4.5, 3,4.й приведены результаты численного решения нестационарной задачи в виде эпюр напряжений о и объемной концентрации а, исходной Fe > фазы в различные моменты временя после плоского удара железной пластиной толщиной Ь = 3 мм о мишень (занимающую полупространство г>0) из того же материала со скоростью Уо = 2,0 км/с, В качестве [c.277]

Как известно, решение плоской задачи в напряжениях может быть сведено к определению функции напряжений, которую здесь обозначим F = F (х, у). Эта функция находится как решение бигар-монического уравнения (см. 4.4) [c.371]

Целесообразно для решения плоской задачи (в напряжениях) ввести вспомогательную функцию — функцию Эйри ), определив ее следующим путем. Рассмотрим уравнение (4.4). Из первого уравнения следует существование такой функции А х,у), что дА/ду = Ох, дА/дх = —Хху Аналогично, из второго уравнения следует, что существует функция В х,у) такая, что дВ/ду = —Хху и dBfdx = ay. Приравнивая между собой выражения для Хху, приходим к доказательству существования такой функции U(x,y), что [c.278]

Другой путь — решение плоской задачи в напряжениях. Подобно тому, как это было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах, подберем выражения для напряяшний через функцию ф в таком виде, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (5.4) и (5.5). [c.93]

Рассмотрим примеры построения решений обратной плоской задачи теории ynpyi o TH с помощью алгебраических полиномов. Как было показано в предыдущем параграфе, решение плоской задачи в напряжениях сводится к бигармоническому уравнению (2.8). Очевидно, что полином [c.41]

Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения (IX) четвертого порядка в частных производных если из этого уравнения определим функцию х,у). то далее по формулам (6.16) или (VIII) найдем напряжения в любой точке тела. К уравнению (IX), конечно, должны быть добавлены граничные условия, соответствующие каждой [c.146]

Решение плоской задачи в напряжениях 146 Ритца — Тимошенко метод 332 Ряд Фурье 103 [c.363]

Приводимые ниже методы применимы главным образом для исследования напряжений на объемных моделях. Однако они годятся и для решения плоских задач в тех случаях, когда удобно фиксировать оптический эффект и наблюдать ненагружаемую модель. Таким примером может служить исследование стационарных напряжений во вращающихся дисках (фиг. 7.1). [c.197]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах ( 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г ж г йг ш двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии г друг от дрзгга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси 2. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через 22, а касательные напряжения — через Г2 и 02. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси 2 и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия [c.150]

Если -р —функция напряжений, представляющая решение плоской задачи в полярных координатах г н 0, при отеутствии объемных снл, то она удовлетворяет уравнению [c.202]

При произвольном выражении Af (j i) предложенная функция напряжений не удовлетворяет бигармоническому уравнению и потому не может быть решением плоской задачи. Оно удовлетворится, если <7=0, M = aXi + b, Q = onst. В этом случае полоса нагружена только по торцам (например, задача об изгибе консоли силой, приложенной на свободном конце), аг2=0 и поэтому решение задачи сопротивления материалов есть точное решение задачи теории упругости. [c.136]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...