Деформация граничного элемента

Упрощаются также зависимости (40) между деформациями граничного элемента и перемещениями [c.110]

Деформация граничного элемента [c.19]

Деформацию граничного элемента описывают четыре компонента деформации [c.634]

Метод устранения деформации. Тот же вывод можно получить и с помощью метода устранения деформации. Представим себе, что тело подвергается неравномерному нагреву и разделено на бесконечно малые элементы. Пусть свободным температурным деформациям этих элементов = гу = г = аТ противодействует приложенное к каждому элементу равномерное давление р, величина которого определяется формулой (е). Тогда свободная температурная деформация будет полностью устранена. Все элементы окажутся пригнанными друг к другу и образуют непрерывное тело первоначальной формы и размеров. Распределение давления (е) можно реализовать с помощью приложения к названному телу, составленному из элементов, некоторых объемных сил и поверхностных давлений. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения значения [c.460]

Выражение перемещений и деформаций в элементе через смещения граничных точек (узлов) элемента. [c.551]

Если задано условие (1), то все граничные условия и условия непрерывности удовлетворяются, за единственным исключением, состоящим в том, что касательные перемещения внутренних сторон граничных элементов не совпадают в точности с соответствующими перемещениями сторон смежных внутренних элементов ). Эти смежные стороны лежат тем не менее в одной плоскости, и все углы соответствующих элементов совпадают. Поскольку условия непрерывности нарушаются только в весьма локализованных областях, мы предполагаем, что эта модель отличается от истинного решения, удовлетворяющего условию (1), лишь в тонком пограничном слое. Таким образом, отсюда следует, что для тел больших размеров эффективные модули, определяемые при условиях (1) и (7), (8), эквивалентны друг другу, а также модулю, определенному условием (2). Более того, поля напряжений и деформаций, определенные формулами (7) и (8), совпадают с полями, постулируемыми вдали от границ при задании либо условия (1), либо условия (2). [c.21]

Таким образом, расчет температурных деформаций в реальных случаях затруднителен в связи с необходимостью получения информации о действительных значениях температурных коэффициентов влияния элементов средств и объектов измерения, видах деформации, граничных условиях теплопередачи, действительных распределениях температуры во времени и пространстве и т. п. [c.52]

Отметим, что информация о распределении напряжений в очаге деформации может быть получена любым из доступных способов, например, методом конечных или граничных элементов. [c.281]

В первом разделе тома даются принципы и основные уравнения механики упругого деформируемого твердого тела теории деформаций и напряжений, дифференциальные уравнения равновесия, связь между компонентами напряжения и деформации, общие теоремы теории упругости и строительной механики, вариационные принципы и их использование для решения задач механики деформируемого твердого тела, методы конечных и граничных элементов. [c.16]

Для этого заданного граничного перемещения (заметим, что узловые перемещения q сингулярного элемента должны быть найдены с помощью глобального конечно-элементного решения) мы стараемся определить поле напряжений в элементе, которое было бы уравновешенным и соответствовало совместимому полю деформаций. Из этого решения, выражающего напряжения через q, можно найти энергию деформации трещинного элемента [c.200]

Теперь мы кратко рассмотрим основные положения методов граничных элементов, применяемых в линейной теории упругости, которые основаны на интегральных уравнениях. Рассмотрим глобальную пробную функцию Uk (т. е. функцию, заданную для всего твердого тела) и глобальную весовую функцию о. Пусть уравнения совместности, а также зависимости между напряжениями и деформациями будут удовлетворяться априори, т. е. [c.203]

Перечисленным вопросам посвящена данная книга. Она имеет инженерную направленность и содержит комплекс необходимых сведений о решении прикладных задач термопрочности, включая численную реализацию эффективных методов решения таких задач на ЭВМ и описание соответствующих алгоритмов- расчета. Определение температурных полей и полей перемещений, деформаций и напряжений в реальных элементах конструкций сложной геометрической формы при упругом и тем более неупругом поведении материала является трудоемким даже с использованием современных ЭВМ. Поэтому особое внимание в книге уделено интегральной формулировке задач теплопроводности, термоупругости, пластичности и ползучести, на основе которой строятся достаточно гибкие и универсальные методы решения таких задач (методы конечных и граничных элементов). [c.5]

Расширение приложений являлось одной из главных целей подготовки нового издания. Приложения А — N посвящены четырнадцати различным темам. Среди новых тем, включенных в приложения, отметим Вариационные принципы в динамике системы материальных точек (приложение В), О функциях энергии деформации и дополнительной энергии (приложение D), О различных видах тензоров напряжений в теории конечных перемещений (приложение Е) и О методе граничных элементов (приложение N). [c.8]

ДЕФОРМАЦИЯ НОРМАЛЬНОГО ГРАНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ОБОЛОЧКИ [c.57]

При рассмотрении деформации края оболочки удобно использовать систему координат, связанную (см. п. 5.2) с контуром области срединной поверхности. Сказанное ниже справедливо не только для граничного элемента оболочки, но и для любого нормального сечения. В принятой системе координат для вектора смещений имеет место представление [c.288]

Деформация нормального (граничного) элемента [c.83]

В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ и его применение для численного решения двумерных задач теории упругости в случае малых деформаций. Большая часть представленных в данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3. Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории упругости близко связан с аналогичным выводом теории потенциала [I, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения в теории упругости выражаются системой векторных уравнений в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являющихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории упругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала. Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться системой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где приводятся необходимые пояснения. [c.100]

Чтобы решить задачу об упругопластической полуплоскости, нагруженной постепенно возрастающим давлением на границе (в условиях плоской деформации), использовалась симметрия относительно прямой, проходящей через середину участка приложения нагрузки перпендикулярно границе. Четверть плоскости представлялась затем 40 граничными элементами и 64 треугольными ячейками, расположенными в окрестности участка нагружения. [c.359]

В основе методов граничных элементов, рассматриваемых в этой книге, лежат понятия напряжений, деформаций и линейной упругости. Мы будем полагать, что читатель знаком с этими понятиями, которые излагаются, например, в курсах механики деформируемого твердого тела. Тем не менее для того, чтобы ввести принятые нами обозначения и правила знаков, дадим сводку этих сведений. [c.16]

Хотя метод граничных элементов, описанный в этой главе, ограничен небольшим классом задач (а именно, задач о плоской деформации полуплоскости < О при произвольной нормальной нагрузке на поверхности), он содержит те же характерные черты, которые имеют и другие методы, рассматриваемые в этой книге. Поэтому представляется необходимым суммировать основные моменты изложенного выше подхода. [c.48]

В целом элементы высшего порядка обеспечивают и другие преимущества. Одно из них состоит в том, что смеш,ения и напряжения во внутренних точках рассматриваемой области вблизи границы можно вычислить более точно, чем при использовании обычных методов граничных элементов, рассмотренных ранее. Например, в прямом методе граничных интегралов с кусочно-постоянными смещениями и усилиями на границе (гл. 6) численное решение обычно ненадежно в точках внутри круга радиуса, равного длине одного элемента, и с центром в средней точке граничного элемента, за исключением самой этой точки. Если смещения и усилия между граничными узлами изменяются по линейному закону (как принято в этом разделе), получаемое решение оказывается надежным вплоть до расстояний, составляющих по крайней мере одну десятую часть расстояния между узлами (ср. [35]). Вместе с тем, как отмечено ранее, линейные изменения смещений между двумя соседними граничными узлами вызывают постоянные тангенциальные деформации (и, следовательно, постоянные касательные напряжения) между этими узлами. Если принять квадратичное изменение граничных смещений и усилий, то можно получить более детальное распределение тангенциальных напряжений вдоль границы (см. [5]). [c.154]

Рис. 7.10. Энергия деформации трещины под внутренним давлением, вычисленная при использовании различных типов граничных элементов. 1 — аналитическое решение 2 — обычные элементы 3 — специальные элементы на концах трещины 4 — квадратичные элементы.

Метод граничных элементов оказался в совершенно ином положении. Его идеи лежат в стороне от технических дисциплин, изучаемых в вузах. Естественно, что они не могли сразу овладеть массами и предпочтение при расчетах напряжений и деформаций в твердых телах было отдано МКЭ. Поэтому широкая численная [c.270]

Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов, решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и многие элементы программ, реализующих любой вариант, одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель ощутил единый модульный характер вычислительных программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой — тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а также в контактных задачах, подобных рассмотренным в 8.2, 8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются вычисления на заключительном этапе — при нахождении напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по найденному решению ГИУ. [c.274]

Решением системы уравнений (3.75) является матрица фиктивных нагрузок [23] X , согласно которой могут быть рассчитаны поле отклонений перемещений у(г), введенное разложением (3.6), и действительные поля перемещений и(г), деформаций е(г) и напряжений сг(г). Например, напряжения <Т(/) в центре 1-го граничного элемента на межфазной поверхности могут быть рассчитаны по формуле [c.141]

Что касается внешних сил, приложенных непосредственно к поверхности тела (которые и являются обычно источником деформации), то они входят в граничные условия к уравнениям равновесия. Пусть Р есть внешняя сила, действующая на единицу площади поверхности тела, так что на элемент поверхности df действует сила Р df. В равновесии она должна компенсироваться силой —действующей на тот же элемент поверхности со стороны внутренних напряжений. Таким образом, должно быть [c.17]

Выражения для деформаций граничного элементе в общем виде можно найти в [12б]. Очевидно, что задаваемые усилия и моменты могут быть правильно предстевлены только тогда, когда соответствующие им граничные деформации достаточно точно воспроизводятся эада-ваемыми перемещениями U . При этом наиболее важными являются независимые постоянные деформации, соответствующие постоянные усилиям и моиентам. [c.228]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Наряду с рассмотренным вьппе вариантом метода упругих решений могут быть использованы и другие, например, метод дополнительных деформаций и т.п. [1, 4]. Также возможно и более сложное по сравнению с кусочнопостоянным представление функций к,- и />, в пределах граничных элементов [1, 4, 29]. [c.105]

Замечание 14.4. Обращаем внимание на то, что t я т в системе (14.75) являются столбцами истинных усилий и моментов,, по которым напряжения определяются с помощью обычных для теории оболочек формул. Следовательно, 8 и н являются столбцами упругах (а не полных) деформаций. Соответствующие им деформационные граничные величины дк связаны с полными значениями параметров деформации бокового элемента оболочки формулой (14.76). Например, в случае абсолютно жесткого края граничные условия имеют вид (р+Г) о jjjjg —0 [c.474]

Первый вариант является чисто геометрическим — в нем задается конфигурация граничного элемента после деформации. Третий вариант можно назвать деформационным, поскольку согласно формулам (2.10), (2.11) входящие в него величины определяются через характеристики деформированной срединной поверхности. Второй вариант является промежуточным в него входят деформационная величина At и неявно содержагциеся в Qt углы поворота. Его, следуя Л. М. Зубову, будем называть дисторсионным. Отметим, что наиболее важным вариантом деформационных граничных условий является условие жесткого края [c.87]

Чтобы юспроизвести результаты Цзю, свободная от усилий поверхность дискретизировалась с использованием 34 квадратных граничных элементов. Симметрия задачи учитывалась тем, что использовались неизвестные только для одного квадранта и предполагались те же самые распределения в оставшихся квадрантах. Построена зависимость рассчитанных значений вертикальных смещений точки свободной поверхности, находящейся над кубом, обусловленных начальными напряжениями и соответствующих трем значениям пластической деформации, от расстояния куба от поверхности (рис. 12.17). Можно видеть, что численное решение находится [c.360]

В настоящее время большое внимание уделяется созданию адекватных моделей нелинейных процессов деформирования, связанных с большими деформациями, неупругим поведением материала и нелинейными динамическими волновыми явлениями в слоистых и композиционных материалах. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки достаточно простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных или ведущих параметров рассматриваемых процессов деформирования и созданием экономичных программ их численной реализации. При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР) в различных вариантах и сочетаниях с другими методами. В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современных ЭВМ с дискретным способом обработки информацш, включая вычислительную технику новой архитектуры с векторными и параллельными процессорами. В механике, в частности в строительной, дискретное представление тел или конструкций в виде набора простых элементов имеет глубокие исторические корни, которые в свое время и послужили отправной точкой развития и обобщений МКЭ. [c.5]

Учитывая успехи в развитии машин дискретного действия, Ш. Массоне в 1957 г. предложил решать с их помощью последовательными приближениями полученное им ГИУ для пространственной задачи теории упругости [17]. Доминирующая идея Массоне о необходимости перевода расчетов на индустриальные рельсы сделала его пионером использования ЭВМ для систематического решения ГИУ в задачах теории упругости. Уже к I960 г. эта идея была им реализована в докладе [181 детально описана процедура численного решения ГИУ плоской задачи теории упругости на ЭВМ последовательными приближениями и приведены примеры, иллюстрирующие высокую эффективность расчетов. Обобщая предыдущие работы по численному решению ГИУ на компьютерах, Ш. Массоне опубликовал в 1965 г. итоговую работу [19], в которой сочетаются простота изложения, высокий теоретический уровень и практическая направленность. Он рассмотрел сходимость последовательных приближений, отчетливо выделил алгоритмические черты метода граничных элементов в его каноническом виде и ярко проиллюстрировал его на примерах задач о кручении и плоской деформации. Любопытно, что в этой заме- [c.268]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

При выводе уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) мы не делали различия между положением и формой элемента до и после нагружения. Как следствие, полученные уравнения (н соответственно сделанные из них выводы) справедливы только до тех пор, пока малые перемещения при деформировании не влияют существенно на действие внешних сил. Однако в ряде случаев деформацию приходится принимать во внимание. Тогда приведенный выше принцип суперпозиции теряет силу. Примером такого рода является балка, испытывающая одновременное действие продольной и поперечной нагрузки. Много других ирид геров появляется в связи с исследованиями устойчивости тонкостенных конструкций. [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...