Интегральная формулировка задач теплопроводности

Так как под знаки интегралов по объему и поверхности тела в различных вариантах интегральной формулировки задачи теплопроводности входит искомое распределение температуры и компоненты его градиента, достаточно в простейшем варианте МКЭ в качестве кусочно-непрерывных функций w (M) рассматривать линейные функции от координат точки Л/е V , в пределах каждого конечного элемента объемом Vy, имеющего номер у. Тогда в случае трехмерной задачи распределение температуры в пределах конечного элемента однозначно выражается через четыре значения температуры в точках, которые будут соответствовать вершинам тетраэдра, в случае двумерной задачи - через три значения в вершинах треугольника, а для одномерной задачи - через два значения на концах элемента в виде отрезка прямой. [c.207]

Перечисленным вопросам посвящена данная книга. Она имеет инженерную направленность и содержит комплекс необходимых сведений о решении прикладных задач термопрочности, включая численную реализацию эффективных методов решения таких задач на ЭВМ и описание соответствующих алгоритмов- расчета. Определение температурных полей и полей перемещений, деформаций и напряжений в реальных элементах конструкций сложной геометрической формы при упругом и тем более неупругом поведении материала является трудоемким даже с использованием современных ЭВМ. Поэтому особое внимание в книге уделено интегральной формулировке задач теплопроводности, термоупругости, пластичности и ползучести, на основе которой строятся достаточно гибкие и универсальные методы решения таких задач (методы конечных и граничных элементов). [c.5]

З.- Интегральная формулировка задач теплопроводности [c.23]

Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом (в общем случае) зависимости теплофизических характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной (в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена. [c.4]

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения. [c.38]

При приближенном решении задач теплопроводности функции w, (М) в (4.48) или (4.59) не всегда удается задать в виде непрерывной зависимости от координат точки М во всем объеме V рассматриваемого тела. Но математические формулировки задач теплопроводности в интегральном виде (см. 1.3) допускают представление искомого распределения температуры через кусочно-непрерывные функции, определенные не во всем объеме тела, а лишь в пределах его [c.169]

Суммируя (2.43) - (2.46) по n = 1 N, получаем эквивалентную выражениям (2.38) - (2.40) интегральную формулировку нелинейной задачи теплопроводности для неоднородного анизотропного тела произвольной формы [c.39]

Ясно, что истинное распределение температуры в теле, удовлетворяющее выражениям (2.36)-(2.40), обращает интегральное соотношение (2.47) в тождество. Но (2.47) может быть справедливо и для других распределений температуры, которые в некоторых (или даже во всех) точках тела не удовлетворяют выражениям (2.36)-(2.40). Это обстоятельство открывает большие возможности для построения различных способов приближенного решения рассматриваемой задачи теплопроводности. При этом приближенные распределения температуры можно рассматривать не только в классе гладких функций, как этого обычно требует формулировка задачи в виде выражений (2.36)-(2.40), но и в более широком классе непрерывных функций, поскольку в интегральное соотношение (2.47) входят лишь первые производные от распределений температуры Г по пространственным координатам. [c.39]

Большая группа методов приближенного решения задач теплопроводности базируется на интегральной формулировке [например, в виде интегрального соотношения (2.47)]. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок. Их особенность состоит в подборе приближенного решения из условия малого рассогласования (невязки) при его подстановке в дифференциальные уравнения теплопроводности и краевые условия. Один из наиболее распространенных - метод Бубнова-Галер-кина [10] - характерен тем, что искомое приближенное решение представляется как линейная комбинация функций, входящих в интегралы взвешенной невязки в качестве весовых. [c.47]

Интегральную математическую формулировку нестационарной задачи теплопроводности можно свести к нелинейному граничному интегральному уравнению относительно распределения температуры на внешней 5и контактной 5 поверхностях неоднородного анизотропного тела произвольной формы. Для этого примем в (2.42) [c.49]

Наличие двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности на основе функционалов (2.48) и (2.50) позволяет получить интегральную оценку погрешности приближенного решения по разности [12] aJ = J(T) - J(T, q). Чем ближе приближенные распределения температуры Г и компонентов плотности теплового потока к истинным распределениям, тем ближе между собой значения J(T) и J(T, q) и меньше 52 [c.52]

Формула (1.76) не дает решения (1.65) в явном виде, а лишь представляет его в интегральной форме как составную часть математической формулировки задачи, которую следует дополнить граничными условиями (1.66) и (1.67). Явный вид решения возможен, если в каждой точке N S границы рассматриваемой области будут известны значения температуры Т (N) и ее нормальной производной дТ (N)Idn (N) = T,i (N) П N). Однако в задачах теплопроводности в отдельно взятой точке N < S границы можно задать либо Т (N), либо дТ N) dn (TV), либо комбинацию этих величин. Поэтому, чтобы воспользоваться (1.76), необходимо предварительно определить недостающие значения в граничных точках Мо G 5. Эти значения можно найти из решения интегрального уравнения, которое следует из (1.76) с учетом (1.66) и (1.67) [c.25]

Приведенная в 1.4 формулировка задачи стационарной теплопроводности в виде интегрального уравнения (1.76) может быть реализована численно с помощью метода граничных элементов (МГЭ) [6]. Рассмотрим сначала случай, когда объемные источники энерговыделения в теле отсутствуют, т. е. qy (М) = О при М V. Тогда (1.76) примет вид [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...