Свободные колебания с трением

Свободные колебания с трением. Уравнения свободного движения имеют теперь вид [c.243]

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ с ТРЕНИЕМ 245 [c.245]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Эти условия отличаются от условий (8.3) тем, что вместо частоты вынуждающей силы со здесь фигурирует неизвестная пока частота со свободных колебаний с соударениями предполагается далее, что виброгасящий элемент ввиду отсутствия сил трения движется с постоянной скоростью. Кроме того, здесь сохранена размерная форма записи. [c.294]

Практическая ценность уравнения (11.66) состоит не столько в том, что, с его помощью без труда можно построить огибающую виброграммы свободных затухающих колебаний при известных значениях постоянных Ь и п, сколько в том, что, опираясь на это уравнение, можно вычислить значения Ь и п по опытным виброграммам. Эти постоянные могут быть далее использованы для расчетов вынужденных колебаний с трением. [c.56]

Автоколебаниями называются колебания систем, происходящие при отсутствии внешних периодических сил. Поддерживающие автоколебания периодические силы возникают в системе в процессе самих колебаний. Возникновение автоколебаний упругой системы рассматривается как процесс свободных колебаний с отрицательным затуханием, которое приводит к нарастанию амплитуды колебаний до установившейся величины, определяющейся нелинейными свойствами системы. Такие условия получаются, например, при колебании тела, увлекаемого в движение силами трения, которые увеличиваются при малых скоростях и уменьшаются при больших. [c.346]

Исследовать малые свободные колебания груженой платформы веса Р, опирающейся в точках Л и S на две рессоры одинаковой жесткости с. Центр масс С платформы с грузом находится на прямой АВ, причем АС = а и СВ = Ь. Платформа выведена из положения равновесия путе л сообщения центру масс начальной скорости Va, направленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать. Момент инерции платформы относительно горизонтальной поперечной оси, проходящей через центр масс платформы, равен /с =j [c.420]

Влияние вязкого трения и гироскопических сил на свободные колебания твердого тела с двумя степенями свободы. В пункте 1 этого параграфа было рассмотрено влияние гироскопических сил на свободные колебания системы с двумя степенями свободы. При этом не учитывались диссипативные силы, которые в виде вязкого сопротивления среды, сухого трения и внутреннего трения в материале всегда сопутствуют движению. Из всех разновидностей диссипативных сил, учитывая сравнительную простоту математических выкладок и значительное распространение этих сил в технике, мы рассмотрим только силы вязкого трения. [c.613]

Замечая, что всегда п а , что следует из (8), заключаем, что координаты нижнего конца шпинделя убывают с течением времени. Свободные колебания шпинделя под влиянием вязкого трения затухают. [c.615]

Лучистое трение. Как мы видели, при свободном колебании осциллятора благодаря излучению электромагнитная волна уносит с собой энергию, в результате чего колебания осциллятора становятся затухающими и его энергия убывает со временем согласно закону (2.46). Аналогичная картина встречается в механике, при рассмотрении распространения упругих волн в различных средах в процессах, связанных с электрическими колебаниями. При механических колебаниях в вязкой среде из-за противодействия силы вязкого трения наблюдается затухание колебаний, так как часть колебательной энергии превращается в тепло. [c.35]

В связи с действием сил сопротивления свободные колебания будут затухать. Основными силами сопротивления крутильным колебаниям являются силы внутреннего трения материала вала. [c.200]

Если в автоколебательной системе потери энергии на трение малы по сравнению с общей энергией колебаний, то и энергия, необходимая для компенсации потерь, также мала. Поступающая в систему малыми порциями энергия компенсирует потери энергии, происходящие при колебаниях, но при этом очень мало изменяет ход всего процесса. Колебания происходят почти так, как если бы отсутствовали и потери энергии в системе, и поступление энергии в систему. В этом случае автоколебания по форме близки к гармоническим. Вместе с тем и период автоколебаний близок к периоду тех собственных колебаний, которые совершала бы система, если бы потери энергии не компенсировались. Если же потери на трение велики, а значит, велика И энергия, поступающая от источника, то автоколебания могут по форме заметно отличаться от гармонических, и их период может заметно отличаться от периода собственных колебаний. Поэтому, например, в хороших часах, в которых потери на трение малы, маятник совершает колебания, по форме почти не отличающиеся от гармонических и с частотой, почти точно совпадающей с частотой собственных колебаний маятника (этим и обеспечивается точность хода часов). В простых ходиках, в которых потери на трение велики, колебания маятника даже на глаз отличаются от гармонических, и период этих колебаний уже заметно отличен от периода свободных колебаний маятника. [c.603]

С этим связано то обстоятельство, что сами по себе диссипативные колебательные системы, не содержащие источников энергии, имеют только одно стационарное состояние покой. В самом деле, любые начальные условия, любой исходный запас энергии служит исходной причиной, вызывающей начало затухания свободных колебаний, которые через достаточно большой промежуток времени в реальных системах прекратятся или (в случае идеализированных законов диссипации, например, линейное трение) их амплитуды станут меньше любых наперед заданных малых величин. [c.42]

В случаях, когда степенная функция, аппроксимирующая зависимость силы трения от скорости, содержит лишь нечетные степени, весь диапазон возможных изменений исследуемых величин описывается одним выражением с коэффициентами, общими для всей области значений переменных, и поэтому решение для свободных колебаний годится без модификации для всех значений хну. [c.44]

Теория колебаний. Как мы видели, эта теория позволяет найти спектр собственных частот свободных колебаний упругой системы. Если частота возмущающей силы совпадает с одной пз собственных частот свободных колебаний, наступает резонанс. Для линейно-упругого тела в постановке линейной теории упругости амплитуды вынужденных колебаний становятся бесконечно большими. На самом деле так не бывает. Во всех материалах существует внутреннее трение. Теория упругих колебаний с затуханием, пропорциональным скорости, рассматривается в курсах теоретической механики, основной качественный результат состоит в том, что резонансная амплитуда конечна. В реальных материалах внутреннее трение подчинено более сложным законам, даже если его можно считать линейным (см. гл. 17), но качественный результат остается тем же. Поэтому резонансы на высоких гармониках, как правило, не страшны. Для турбинных лопаток, например, гармоники выше пятой-шестой во внимание не принимаются. Но резонанс на основном тоне или на первых гармониках может считаться причиной неминуемого разрушения. Отмеченные два аспекта мы зафиксировали, но далее развивать не будем. [c.652]

Для борьбы с этими колебаниями необходимо знать в первую очередь частоты свободных колебаний системы и возбуждающих сил. При увеличении трения в системе резонансная амплитуда в большинстве случаев не достигает бесконечно больших значений. Однако для гашения колебаний целесообразно иметь силы трения, пропорциональные скорости, в этом случае достигается наибольший э ект гашения без увеличения потерь на трение в механизмах при их нормальной работе. [c.104]

В реальных упругих системах всегда присутствует трение, поэтому с течением времени свободное колебание успокаивается, как это показано на рис. 8.23, и прогиб приходит к своему статическому значению о- [c.233]

Все наши рассуждения были до сих пор не вполне реальными, так как мы не учитывали диссипативных сил (сил трения). В большинстве физических систем эти силы пропорциональны скоростям движущихся точек и поэтому могут быть получены с помощью диссипативной функции З (см. 1.5). Рассмотрим сейчас влияние этих сил на свободные колебания. [c.370]

Повесьте карманные часы с балансом на гладкий гвоздь таким образом, чтобы они могли свободно, по возможности без трения, качаться. Легким прикосновением пальца или платка приведите часы в состояние полного покоя это их состояние мы примем за начальное. Часы немедленно придут в движение и будут совершать колебания с возрастающей амплитудой около вертикального положения равновесия. Однако амплитуда этих колебаний возрастает лишь до известного максимума, после чего она вновь убывает до нуля, и весь процесс повторяется снова. [c.154]

Если мы продолжительное время не будем прикасаться к часам, то заметим, что биения их прекратились. Причиной этого является, очевидно, трение (в подвесе и в воздухе), которым мы до сих пор пренебрегали. Трение вызывает затухание колебаний маятника, что же касается колебаний баланса, то трение, как мы уже знаем (ср., например, рис. 33), лишь несколько уменьшает их амплитуду. Мы можем рассуждать следующим образом в начальном состоянии вынужденное колебание возбуждено до своей полной величины, а свободное колебание маятника — до такой величины, что оно в момент времени = О как раз компенсирует вынужденное колебание, в соответствии с начальными условиями ср = ф = 0. В действительности же, когда мы [c.156]

Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решение соответствую-ш его однородного уравнения (23.10.2) определяет свободные колебания. Однако они не представляют для нас интереса, поскольку в механической системе практически всегда имеется трение, и потому свободные колебания затухают. Частное решение, которое стремится к периодической функции с периодом 2п р, выражает вынужденное колебание. Вынужденное колебание малой амплитуды всегда суш ествует если же р п, то существуют два вынужденных колебания конечной амплитуды. [c.481]

Площадь, заключенная на диаграмме а = ст (е) внутри петли гистерезиса, численно равна необратимой удельной энергии (работе), превращающейся при выполнении каждого цикла деформации в тепловую энергию. Отставание деформаций от напряжений и порождаемая им петля упругого гистерезиса связаны с так называемым внутренним трением материала. В главе XVH при рассмотрении упругих колебаний систем показано, что наличие петли гистерезиса, порожденной внутренним трением, является причиной затухания свободных колебаний и стабилизации величин амплитуд вынужденных колебаний в районе резонанса. При каждом цикле колебания происходит поглощение удельной работы, равной площади, заключенной внутри петли гистерезиса. С этой точки зрения, [c.153]

В качестве примера свободных колебаний диссипативной системы можно рассмотреть свободные колебания системы с сухим трением. Имеется тело массы ш, прикрепленное к неподвижной стене пружиной (рис. 17.94). Если в пружине нет усилия, центр тяжести тела находится на вертикали, отмеченной штриховой линией. Выведя тело из этого положения в горизонтальном направлении некоторой силой и, далее, устранив ее, возбудим движение тела в виде колебаний, которые вследствие наличия трения будут затухающими. [c.222]

Характер влияния различных видов диссипативных сил на динамическое поведение механической системы неодинаков. Роль внутреннего неупругого сопротивления в материале, конструкционного демпфирования, вязкого сопротивления и кулонова трения ограничивается в основном рассеянием энергии при колебаниях. Влияние этих сопротивлений на характер движения системы заметно сказывается при свободных колебаниях, проявляющихся в реальных условиях при переходных режимах работы машинного агрегата. Наличие диссипативных сил приводит к затуханию свободных колебаний, возникающих в результате нарушения равновесных состояний системы при сбросе и набросе нагрузки, при запуске двигателя, при переходе с одного эксплуатационного режима на другой. Особенно важно знание диссипативных сил для оценки максимального уровня резонансных колебаний. Уровень этих колебаний определяется в основном [c.13]

Свободными колебаниями схематизированной механической системы называют процессы, характеризующие ее динамическое поведение при отсутствии внешних сил, однозначно определяемые начальными условиями значениями смещений и скоростей сосредоточенных масс динамической схемы системы и начальный момент времени (/ = 0). Простейшей схематизацией привода является его линеаризованная, недиссипативная динамическая модель, использование которой позволяет существенно упростить исследование свободных колебаний привода и получить важные качественные выводы о поведении реальных систем. Линеаризованные характеристики упругих сил являются достоверной схематизацией соответствующих нелинейных зависимостей при изучении малых колебаний. Закономерности, характеризующие поведение недиссипативной динамической модели, правдоподобно описывают поведение реальной системы с малым трением в течение ограниченных промежутков времени. [c.153]

Свободные колебания в линейных системах с учетом внутреннего трения [c.161]

Общее решение матричного дифференциального уравнения, описывающего свободные колебания неконсервативной системы с малым трением в координатах фу (/ = 1,2,..., и), можно получить в виде [c.164]

При свободных колебаниях системы с собственными частотами Рх и Ра уравнение (1. 30) определяет расширенное соотношение ортогональности для собственных функций у,, и у", которое при условии независимости коэффициентов вязкого трения от частоты совпадает с соотношением, полученным Фоссом [И]. [c.29]

Если в схеме, относящейся к звену № 2 (табл. VII.2), заменить упругий элемент С, R призматическим упругим элементом с распределенными постоянными, а массы Mj и УИа считать соответственно амортизированным объектом и его фундаментом, то при расчетной оценке эффективности амортизации в полученной принципиальной схеме амортизатору могут быть приписаны характеристические коэффициенты (VII. 175). Для случая, когда трение отсутствует (х = 0), теоретическая кривая виброизоляции представлена на рис. VII.9. Первый (слева) провал этой кривой приходится на низшую частоту свободных колебаний системы. Все последующие провалы обусловлены волновыми резонансами в призматическом упругом элементе амортизатора. Каждому такому резонансу соответствует частота, при которой на длине I призматического упругого элемента укладывается целое число полуволн продольных колебаний. [c.328]

Вычисленные выше шесть частот свободных колебаний преобразователя как твердого тела на амортизаторах расположены в диапазоне от 3,3 до 8,8 Гц. В наихудшем случае, относящемся к самой высокой из этих частот, коэффициент передачи фундаменту гармонической силы, имеющей частоту 50 Гц, в соответствии с формулой (VII. 185), будет (если пренебречь трением) [c.347]

Основываясь на идее использования вообрая аемой системы без трения, можно подвести итог полученных результатов. Частоты и формы свободных колебаний системы определяются значением и распределением масс и жесткостей каждой собственной форме соответствует определенная собственная частота. В любой реальной системе можно возбудить свободные колебания с частотой и формой, близкими к найденным частоте и форме свободных колебаний воображаелшй системы (небольшие различия этих характеристик связаны с наличием треиия). [c.51]

Все это выглядит несколько таинственно. Дело же заключается в том, что динамическая индивидуальность системы в значительной степени определяет ее поведение при возбуждении колебаний. Механические системы ведут себя так, как если бы они стремились непрерывно совершать свободные колебания по собственным формам с соответствующими собственными частотами. В нормальных условршх это невозможно из-за наличия трения, однако при действии некоторого возбуждения колебания будут поддерживаться. Как мы увидим, здесь имеются две возможности система может либо получать возбуждение извне, либо сама обеспечивать необходимое возбуя -дение за счет стремления совершать свободные колебания с собственной частотой. [c.53]

В предыдущем изложении мы предполагали, что колебательное движение не сопровождалось трением. В действительности между частицамк деформирующегося вала в подшипниках и на поверхности поршней возникают силы трения. Благодаря силам трения свободные колебания с течением времени затухают — заглушаются , а при очень большом трении могут вообще не возникать. [c.111]

Диссипативные системы характеризуются рассеянием энергии за счет сопротивлений, что при отсутствии поступления энергии извне обусловливает затухание колебательного процесса. Мы рассмотрим здесь две наиболее существенные нелинейные задачи свободные колебания системы с сухим, или кулоновым трением и свободные колебания с квадратичным сопротивлением. В обоих случаях ограничимся линейной восстанавливающей силой. В заключение рассмотрим графический метод, предложенный французским инженером Льенаром и одинаково эффективный в применении к диссипативным системам и к системам автоколебательным, которым посвящен следующий параграф. [c.121]

Определить круговую частоту k свободных колебаний механической системы, состоящей из неподвижного блока массы М, катка массы т, который может перекатываться без проскальзывания по наклонной плоскости, и переброшенного чергз блок невесомого нерастяжимого каната, один ршнец которого связан с центром катка, а второй прикреплен к вертикальной пружине жесткости с. Массой пружины и трением пренебречь блок и каток считать однородными сплошными дисками ск.ольжение каната отсутствует. [c.156]

Виброустойчивость. Увеличение рабочих скоростей в различных машинах приводит к появлению вибраций. Под в и б р о у с -тойчивостью понимают споссбность машины или прибора работать в заданном режиме вибрации. Поэтому увеличение жесткости деталей и конструкции механизма с целью уменьшения деформаций должно осуществляться с учетом явления вибрации. Вибрации влияют на точность механизма, вызывают размыв стрелки приборов, изменяют величину потерь на трение, а иногда приводят к усталостным поломкам деталей. Особую опасность представляют случаи резонанса, когда частота внешних периодических сил совпадает с собственной частотой свободных колебаний механизма, и амплитуды деформаций значительно возрастают. [c.210]

Молекулы атмосферного воздуха не совершают свободных колебаний. Сказывается влияние трения не исключено, что возбужденная молекула потеряет энергию при столкновении с другой молекулой прежде, чем произойдет вторичное излучение, или же оно будет иметь более низкую частоту. Кроме того, распределения зарядов, поглощающих электромагнитное излучение, подвержены воздействию внешней силы F = 67E = Eo os i)/ при этом частота возбуждения ш, как правило, отличается от частоты свободных колебаний о. Тогда фактическое уравнение движения будет иметь вид [c.292]

Поэтому расход энергии будет максимальным при = т. е. когд период накладываемых колебаний в точности совпадает с периодом свободных колебаний при отсутствии трения. [c.256]

Нахождение комплексных корней характеристического уравнения и модальных векторов неконсервативной системы представляет собой весьма трудоемкую операцию. Линеаризованные, реконсер-вативные модели механических крутильных систем приводов машин являются обычно определенно-диссипативными системами с малым трением [81], расчет свободных колебаний которых может быть упрощен. Рассмотрим нормальные координаты 8у (у = 1, 2,. . ., п) [c.163]

Пусть с осями координатной системы Oxyz совмещаются в положении равновесия главные центральные оси инерции амортизированного объекта, масса которого М, а главные центральные моменты инерции Jy, J . При наличии матрицы жесткостей (Vn.52), отнесенной к указанной координатной системе, свободные колебания амортизированного объекта на амортизаторах будут в случае отсутствия трения описываться системой шести дифференциальных уравнений [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...