Случай неголономной системы

Составленные уравнения позволяют распространить операцию абсолютного дифференцирования на случай неголономной системы отнесения. Как и в 46 первого тома, обозначим абсолютный дифференциал векторной функции равенством [c.160]

Случай неголономной системы. Тот же метод применим к такой системе точек, для которой возможные перемещения, допускаемые связями, определяются h соотношениями вида [c.236]

Варианты 2) и 3) легко обобщаются на случай неголономной системы. [c.202]

Мы будем рассматривать случай неголономной системы с I степенями свободы в определяющих координатах (г = 1,..., п), стесненных как интегрируемыми уравнениями [c.29]

Более корректный подход к исследованию системы в примере Аппеля — Гамеля приводит к движениям, которые не описываются уравнениями, полученными Гамелем. Дело в том, что неголономная система с нелинейными связями, приведенная Аппелем, является предельным случаем неголономной системы с линейными связями. При этом предельном переходе происходит понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения и оказывается, что предельные движения не совпадают с движениями предельной системы. [c.216]

Рассмотрим, следуя С. А. Чаплыгину, частный случай движения системы с неголономными стационарными связями. Предположим, что уравнения неголономных стационарных связей можно представить в следующей форме [c.162]

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей. [c.34]

Первым опубликовал в 1897 г. уравнения движения для систем с неголономными связями С. А. Чаплыгин. Уравнения Чаплыгина не содержали неопределенных множителей Лагранжа они были выведены для частного случая неголономных систем, вполне циклических по современной терминологии, т. е. таких, для которых кинетическая энергия системы, силовая функция заданных сил и уравнения неголономных связей обладают одним и тем же числом одних и тех же циклических координат. Подобные системы практически встречаются часто, и поэтому уравнения Чаплыгина приобрели широкую известность, несмотря на некоторые затруднения вычислительного порядка, связанные с тем, что кинетическая энергия системы входит в уравнения Чаплыгина в двух видах. Приводим уравнения Чаплыгина [c.4]

Обычно устойчивость диска исследуется на основе линеаризованных уравнений малых колебаний вблизи невозмущенного движения, прямолинейного или в более общем случае кругового. Однако, поскольку диск представляет собою консервативную систему, корни характеристического уравнения при этом оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают движение устойчивым. Однако такой вывод является незаконным. В самом деле, если мы изучаем движение диска как движение консервативной неголономной системы, последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. [c.61]

Наконец, рассмотрим случай, когда исходными уравнениями движения неголономной системы являются уравнения (3.19) Чаплыгина, в которых функция L = (д , Ят, Яъ [c.149]

Убедимся в этом непосредственно. Для получения уравнений импульсивных движений неголономной системы рассмотрим два случая [c.162]

А. Случай заданных импульсивных воздействий. Пусть положение неголономной системы определяют п координат 71,. .., связанных неинтегрируемыми соотношениями [c.162]

Рассмотрим теперь стационарные движения неголономных систем, ограничившись случаем, когда последние I координат явно не содержатся в выражении функции Лагранжа и функции диссипации. Пусть 2 Яп — обобщенные координаты неголономной системы с функцией Лагранжа [c.297]

Замечание 6. Аналог случая Гесса при движении твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости (неголономная система) до сих пор не найден. Тем не менее обобщение задачи Лагранжа о качении осесимметричного тела по плоскости существует и проинтегрировано С. А. Чаплыгиным [122]. [c.253]

В предшествующих главах движение системы материальных точек рассматривалось чаще всего в предположении, что оно не стеснено какими-либо связями, и только в конце предыдущей главы было показано, каким образом можно аналогично исследовать движение системы со связями. В этой главе рассматривается один важный частный случай наложения связей изучается движение твердого тела, т. е. системы, состоящей из любого (конечного или бесконечного) числа материальных точек, движущихся так, что во время движения расстояние между точками не меняется. Условия неизменности расстояния между точками естественно накладывают на систему голономные связи, и поэтому при отсутствии внешних неголономных связей изучение движения твердого тела сводится к изучению движения системы, состоящей из любого числа материальных точек с голономными связями. [c.167]

Таким образом, система дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода при отсутствии неголономных связей является следствием принципа М. В. Остроградского. Это подтверждает общность упомянутого принципа, не уступающую общности принципа Даламбера — Лагранжа для случая отсутствия неголономных связей. [c.199]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Чтобы понятие о виртуальном перемещении распространить также и на случай, когда имеют место и неголономные связи, следуют критерию, по которому виртуальным является всякое воображаемое перемещение, способное перевести систему из конфигурации С во всякую другую бесконечно близкую конфигурацию С, совместимую о состоянием связей в тот же момент при этом, однако, такое воображаемое перемещение должно быть подчинено тем же связям подвижности, которые наложены на действительное движение системы. [c.289]

Под моментом сил Остроградский подразумевал работу сил. Итак, здесь ученый развивает мысль о распространении метода возможных перемещений на системы с освобождающими связями, поставив условием равновесия требование, чтобы полный момент сил был равен нулю или меньше нуля. Этот же метод был применен Остроградским для вывода дифференциальных уравнений движения, причем эти уравнения были выведены Остроградским и для случая голономных освобождающих связей, и для дифференциальных (неголономных) связей линейного вида. [c.221]

Отметим только качественные отличия в движении систем с интегрируемыми и с неинтегрируемыми (неголономными) связями. Кинематические связи в обоих случаях не изменяют конфигурационного многообразия системы, и система может находиться в любой точке многообразия. Однако если в случае неголономных связей систему можно из любой точки многообразия перевести подходящими силами в любую другую, то для случая вполне интегрируемых связей система из точки q° может быть переведена в точку только, если [c.131]

В этих беседах я задался целью изложить только самые первые основания механики системы, устраняя все те усложнения, которые редко встречаются в приложениях. Поэтому я не касаюсь вовсе таких вопросов, как, например случай связей, содержащих в своем выражении время явным образом случай связей неголономных и т. д. [c.9]

Пример 2. Сани на наклонной плоскости. Рассмотрим частный случай плоского неголономного движения, когда центр масс лежит на прямой, проходящей вдоль лезвия, на расстоянии а от точки (х, у) прикосновения лезвия к плоскости. Согласно обозначениям рис. 3.3 кинетическая энергия системы записывается в виде [c.105]

Б. Случай мгновенного наложения неголономных связей. Пусть до наложения связей система имела т степеней свободы и в момент времени /о при отсутствии заданных внешних импульсов на систему мгновенно накладывается т — / идеальных неголономных связей вида [c.164]

Эти уравнения являются распространением уравнений Лагранжа второго рода на случай отнесения движения материальной системы к неголономной системе координат. Если выполняются условия (11.62), уравнения (П.ббЬ) превращаются в уравнеийя Лагранжа второго рода в голономной системе координат. [c.158]

Очевидно, что это доказательство можно без изменения распространить также и на случай неголономных связей. Итак, мы действительно имеем дело с новым общим началом механики , как гласит заглавие статьи Гаусса. Это начало механики равноценно принципу Да-ламбера и, подобно последнему, представляет собой дифференциальный принцип, потому что оно трактует о поведении системы только в настоящий (но не в будущий или прошедший) момент времени. В соответствии с этим, здесь нет необходимости применять правила вариационного исчисления, а можно обойтись правилами обычного дифференциального исчисления для определения максимумов и минимумов. [c.281]

После этого выразим остальные связи (которые, если исключить случай голономной системы, будут или все чисто кинематическими (неголономными), или частью голономными и частью кинематическими (неголономными), накладывая на координаты q , q , некоторое число s условий в виде лине1шо независимых уравнений вида (т. 1, гл. VI, п. 10, 17) [c.322]

Чтобы ответить на вопрос о том, в чем состоит основное различие между голономиыми и неголономными системами, достаточно рассмотреть катаста-тические системы, ограничившись простым случаем, когда коэффициенты а, Ъ, с не зависят от t. [c.31]

Мы будем рассматривать динамическую систему наиболее общего типа. Она может быть подчинена переменным связям — случай реономной системы. Если связи постоянны, то система называется склерономной. Связи могут быть заданы неинте-грируемыми уравнениями Пфаффа в этом случае они неголо-номны в противном случае связи носят название голономных. Реономная неголономная система представляет собой самый об- [c.10]

Обобщенный на неголономные системы с двумя свободными лангранже-выми параметрами, принцип Гамильтона — Остроградского в форме Чаплыгина 4 содержит в подынтегральном выражении корректирующий множитель (приводящий множитель, по терминологии С. А. Чаплыгина). В связи с принципом Чаплыгина возникла проблема его обобщения на системы с произвольным числом степеней свободы и на случай неголономных координат. [c.91]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Аналогичные результаты несколько иным путем были получены И. Г. Малкиным (1937), рассмотревшим, кроме того, случай, когда порядок формы больше т и правые части присоединенной системы имеют переменные коэффициенты, являющиеся ограниченными непрерывными функциями времени. В этой работе Малкин дал обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости в особенном подслучае случая одного нулевого корня на случай к нулевых корней, когда уравнения возмущенного движения допускают семейство установившихся движений, зависящее от к произвольных постоянных. Впоследствии М. А. Айзерман и Ф. Р, Гантмахер (1957) показали, что эта теорема Ляпунова — Малкина может быть использована для исследования устойчивости положений равновесия неголономной системы. [c.56]

Вопросы устойчивости неголономных систем специальному рассмотрению, по-видимому, впервые подверглись Э. Т. Уиттекером, высказавшим соображения о том, что при исследовании устойчивости состояния равновесия неголономные связи могут быть линеаризованы и превращены в голономные. Эти, казалось бы, бесспорные утверждения были подвергнуты сомнению О. Боттемой, который показал, что при исследовании устойчивости состояний равновесия неголономных систем имеет место так называемый критический случай теории устойчивости движения и что характеристический определитель в случае консервативной неголономной системы в общем случае несимметричен. После этого стало ясно, что теория устойчивости неголономных систем требует дополнительного рассмотрения. [c.177]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наи-меньщего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. [c.12]

Случай наличия дифференциальных неголопомных связей требует дополнительного рассмотрения.. Задача определения реакций в этом случае может оказаться неопределенной, так как уравнения неголономных связей вырождаются в случае равновесия системы. [c.114]

Все сказанное позволяет утверждать, что составленные выше уравнения движения неголономных систем со стационарными связями непосредственно распространяются на случай наличия нестационарных связей. При этом, на основании равенства (11. 108Ь), можно положить, что количество дифференциальных уравнений движения равно N, где N — количество степеней свободы системы. [c.171]

Пример вьппеприведенной классификации показан на рис. 7.3.16. Тяжелое тело, например цилиндр, находится на недеформируемой зубчатой цилиндрической поверхности и удерживается от движения влево при помощи упора - аналога храпового механизма. Условие связи имеет вид (1д/(1т>0 или, после интегрирования, ( 2) - ( 1) о при /2 > t . Таким образом, связь является неголономной. В случае 1 состояние системы субравновесно и, следовательно, устойчиво, в случае 2 оно равновесно и устойчиво. Случай 3 соответствует равновесному нейтральному состоянию, случай 4 - равновесному неустойчивому состоянию. В случае 5 имеем неравновесное й, следовательно, неустойчивое состояние. Данный пример аналогичен иллюстрации к теореме Лагранжа (тяжелый цилиндр на гладкой цилиндрической поверхности - см. рис. [c.485]

Интегральные вариационные принципы механики в форме Гельдера — Фосса подверглись критике со стороны М. Рети , который заметил, что они выражают лишь необходимое, а не достаточное условие действительности движения. Рети обобщил принцип Гельдера — Фосса таким образом, чтобы он представлял и достаточное условие действительного движения неголо-номной системы. Он установил также новый общий интегральный принцип неголономной механики (принцип Рети), из которого принцип Гельдера — Фосса вытекает как частный случай. Рети подверг критике и исследования Журдена, относящиеся к интегральным вариационным принципам динамики неголономных систем. Ф. Журден получил новый общий интегральный 92 принцип неголономной механики, отличный от принципа Рети (принцип Журдена), и показал, что он эквивалентен принципу Гельдера — Фосса. Между Рети и Журденом возникла дискуссия, в результате которой выяснилось, что в исследованиях Фосса и Рети понятие вариации трактуется не точно в смысле Гельдера. Развивая последовательно и систематически неклассический вариант Гельдера, Журден показал, какую форму в действительности должен иметь принцип Гельдера в лагранжевых координатах. [c.92]

Г. Брелль доказал, что при рассмотрении движения несвободной механической системы с идеальными удерживающими линейными неголономными связями принципы Гаусса и Гельдера — Фосса эквивалентны. Исходя из центрального уравнения Лагранжа, Г. Гамель показал, как принцип Гамильтона— Остроградского в смысле Гельдера — Фосса может быть выражен в квазикоординатах. Он показал также, что из установленного им принципа как частный случай вытекает принцип Воронца — Суслова. [c.92]

А. Пшеборский для нелинейного случая, но при линейных относительно ускорений неголономных связях второго порядка вывел уравнения типа Маджи, выраженные в декартовых координатах. Последнее обстоятельство создает определенные неудобства и в известном смысле ограничивает общность его метода. Для рассматриваемого общего случая дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевых координатах в форме Воронца — Гамеля, Аппеля — Гиббса и Ценова установил М. Ф. Шульгин 2. Р. Казанину принадлежит любопытная идея преобразования уравнений нелинейных реономных неголономных связей любого порядка в уравнения линейных склерономных связей первого порядка путем введения надлежащих новых параметров. Эта идея, как показывает Казанин, оказывается плодотворной, например, при составлении динамических уравнений движения системы и решении задачи об определении реакций связей. [c.99]

В методе Гамеля иная картина процесс вывода проходит без привлечения уравнений связей, в уравнениях движения фигурирует первоначальная кинетическая энергия, выраженная через все неголономные скорости. При составлении уравнений движения по записи Гамеля дифференцируется первоначальная кинетическая энергия, после чего все зависимые скорости заменяются их выражениями через независимые. Г. Н. Космодемьянская, которой принадлежат некоторые главы в нашей монографии Основы механики неголономных систем , показала, что в случае полной склерономности системы, когда кинетическая энергия представляет собой чисто квадратическую форму второго измерения, уравнения движения составляются в обоих случаях идентичные. Случай реономных систем требует особого исследования на основе современных методов — теории дифференцируемых многообразий. Нами предложен в данном -случае метод нормальных неголономных координат , т. е. использование таких независимых -неголономных -скоростей, при данных неголономных связях, через которые кинетическая энергия выражалась бы в квадратической форме от скоростей, без удвоенных их произведений, -п-р-ичем в левые части уравнений должны все входить тоже только раздельно. Тогда результат дифференцирования будет один и тот же обоих случаях, независимо от того, когда полагаются нулю зависимые [c.7]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...