Системы координат неголономные

Неголономные локальные системы координат [c.151]

Рассмотрим движения систем, на которые наложены неголономные связи. В предыдущей главе уравнения движения систем при наличии неголономных связей подробно не рассматривались. Дело в том, что в этих случаях метод Лагранжа связан с необходимостью применения систем координат, в которых число дифференциальных уравнений движения превышает число степеней свободы системы. Разность между числом дифференциальных уравнений движения и числом степеней свободы системы равна числу неголономных связей, наложенных на точки системы. Основным содержанием настоящей главы является рассмотрение некоторых особых способов преобразования дифференциальных уравнений движения, которые позволяют описать движение материальной системы с неголономными связями системой дифференциальных уравнений, число которых равно числу степеней свободы системы. [c.151]

Иногда это преобразование дифференциальных уравнений движения можно осуществить, применив особые локальные системы координат (системы отнесения), которые далее называются неголономными. [c.151]

Связь между действительными перемещениями в голономной системе координат и в местной — неголономной системе отнесения выражается равенствами [c.153]

Уравнения движения голономных систем со стационарными связями в неголономных системах координат [c.156]

В некоторых случаях отнесение движения голономной системы материальных точек к неголономной локальной системе координат позволяет упростить интегрирование системы дифференциальных уравнений движения. [c.156]

Конечно, упрощение формы уравнений движения посредством введения неголономной системы координат позволяет найти решение лишь в малой окрестности той точки, в которой вводится такая система. Дальнейшее построение решения требует аналитического продолжения решения за границу области его существования. [c.156]

Развернутая форма уравнений движения материальной системы в неголономных системах координат. Обобщение символов Кристоффеля [c.159]

Подставим выражение кинетической энергии в неголономной системе координат в уравнения (П.ббЬ). Предварительно последовательно найдем [c.159]

Рассмотрим теперь канонические уравнения движения голо-номной системы материальных точек в неголономной системе координат. Как и выше, введем обобщенные импульсы [c.161]

Число степеней свободы механизма с неголономными связями. Для механической системы с неголономными связями число независимых возможных перемещений, т. е. число степеней свободы Wh, равно разности между числом обобщенных координат S и числом уравнений неголономных связей /, так как каждое уравнение неголономных связей связывает между собой вариации обобщенных координат [c.48]

Приложение уравнений, выведенных в п. 465. Уравнения, выведенные в п. 465, представляют следующие преимущества 1 они могут быть приложены к системам, подчиненным неголономным связям, без введения неизвестных вспомогательных множителей 2° они допускают использование вспомогательных параметров, связанных с действительными координатами. .....дифференциальными зависимостями. [c.352]

Таким образом, для неголономной системы координаты 1> > Чт могут принимать произвольные значения, но при этом обобщенные скорости qi.....q уже не могут быть [c.67]

Подобно предыдущему, если а, Ъ, с — координаты одной и той же частицы, то система голономна. В этом случае мы имеем твердое тело, одна точка которого совершает заданное движение. Если же, например, а, Ь, с — координаты точки контакта тела с движущейся поверхностью, по которой катится тело, то в различные моменты времени а, Ь, с принимают различные значения, и система оказывается неголономной. [c.82]

Позиционные связи называются также голономными система, все связи которой голономны, называется голономной. Неголономные (или кинематические) связи выражают зависимости между скоростями точек системы, не сводящиеся к зависимостям между ее координатами. Классическим примером системы, подчиненной неголономным связям, является твердое тело, принужденное катиться по поверхности, не допускающей проскальзывания по ней тела в точке контакта. Мы ограничимся рассмотрением неголономных связей, линейных относительно проекций скоростей точек системы. Уравнения таких связей имеют вид [c.12]

Обозначим через ж, у координаты точки А в системе координат, жестко связанной с наклонной плоскостью (ось х направлена вдоль линии наклона вниз), ip — угол между осью х и касательной к лезвию. В этих координатах функция Лагранжа и неголономная связь имеют вид [c.34]

Использование в данном случае уравнений неголономных связей (10.3) вполне законно, так как согласно соотношениям (6.11), отображающим специальный выбор локальной системы координат, теперь йд ,. .., йдп и б , дд ,. .., бдп являются перемещениями, совместимыми с неголономными связями, наложенными на систему, не только на кривой действительного движения, но и в ее окрестности. Нетрудно видеть, что принцип стационарного действия в форме (10.7) приводит к уравнениям (6.3) Воронца, а в случае, когда подынтегральная функция не содержит координат дт+1, дт+2, дп — к уравнениям Чаплыгина (3.17). В самом деле, преобразуем в (10.7) выражение бТ [c.182]

Рассмотрим теперь стационарные движения неголономных систем, ограничившись случаем, когда последние I координат явно не содержатся в выражении функции Лагранжа и функции диссипации. Пусть 2 Яп — обобщенные координаты неголономной системы с функцией Лагранжа [c.297]

Уравнения движения в форме (12) особенно удобны в случае, когда число обобщенных координат п велико и лишь не намного превышает число неголономных связей. Именно такая ситуация имеет место для электрических машин коллекторного типа. Так, например, в случае электрической машины с барабанной обмоткой электрическое состояние в естественной распределенной идеализации характеризуется счетным числом обобщенных координат. Коллектор является устройством, позволяющим фиксировать распределение тока во вращающемся роторе в системе координат,, связанной со щетками. Это приводит к наложению на электрические координаты счетного множества неголономных связей, лишь немногим меньшего числа электрических координат. [c.175]

Связи делятся также на голономные и неголономные. Г тоном-ными (интегрируемыми) называются связи, которые накладывают ограничения на положения точек материальной системы (конечно, после дифференцирования уравнения связи по времени можно получить также зависимость между координатами и скоростями точек системы). [c.337]

Неголономными (неинтегрируемыми) называются связи, которые накладывают ограничения на скорости точек системы. Они выражают зависимость между координатами и скоростями точек системы. Независимо от дифференциальных уравнений движения системы уравнения этих связей не могут быть проинтегрированы. [c.337]

Пусть <7ь < 2, - Qs будут обобщенными координатами механической системы. Пусть на систему наложено d неголономных связей вида [c.180]

В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи. [c.427]

Неголономные связи называют также кинематическими, так как они налагают условия не только на координаты точек системы, но и на их скорости и ускорения. [c.321]

Рассмотрим материальную систему из N точек с голономными связями, обладающую числом степеней свободы, равным п. Следовательно, геометрическая конфигурация системы определяется обобщенными координатами qi, число которых равно п. Так как неголономные связи [c.335]

Величины Уаб образуют геометрический объект , который называется объектом неголономности ). Закон их преобразования при изменении системы координат не рассматривается. Отметим лишь, что он отличается от закона преобразования компонент тензорных величин. [c.156]

Эти уравнения являются распространением уравнений Лагранжа второго рода на случай отнесения движения материальной системы к неголономной системе координат. Если выполняются условия (11.62), уравнения (П.ббЬ) превращаются в уравнеийя Лагранжа второго рода в голономной системе координат. [c.158]

По поводу применения уравнений Вольтерры и Больцмана — Гамеля к системам с неголономными связями необходимо указать также на не которые обстоятельства, вызвавшие обсуждение ряда вопросов в научной литературе. Во-первых следует отметить проблему так называемой перестановочности операций дифференцирования по времени и варьирования. Дело в том, что при выводе уравнений движения в неголономных переменных удобно исходить из общего уравнения, предложенного Е. Бельтрами и содержащего билинейные коварианты от декартовых координат, обобщенных координат и неголономных координат, т. е. выражения вида с1бг—бйг, (16п—6с1п и т. д. Вольтерра, переходивший при выводе уравнений движения от декартовых координат непосредственно к неголономным координатам, применял перестановочность варьирования и дифференцирования для декартовых координат при наличии неголономных связей. Данное обстоятельство вызвало в нашей литературе отдельные возражения. Но, Гамель, в вышеупомянутой его работе, убедительно показал равноправность того и другого подхода, проделав вывод уравнений движения в неголономных координатах и придя к од- [c.6]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Векторы в криволинейной системе координат 26 Евклидово пространство (26). Дифференциал вектора (30). Взаимный базис (31). Взаимный базис в криволинейной системе координат (34). О неголономности координат X. (35). Произвольная ортогональная система координат (37). Преобразование координат (38). [c.5]

Можно было бы попытаться и в случае неголономной системы произвести исключение лишних координат и их производных при вычислении кинетической энергии системы и обобщенных сил с тем, чтобы получить уравнения движеиия вида (1) 128, содержащие только независимые координаты. Однако, если бы это и удалось, то, как показывает более подробное рассмотрение вопроса, мы получили бы уравнения, не соответствукЗщие истинному движению системы. Для неголономной системы исключение лишних координат при составлении уравнений движения оказывается операцией незаконной 1). [c.364]

Связи называют неголономными, если их уравнения нельзя проинтегрировать и свести к виду, содержащему только координаты точек и время (отсутствует интегрирующий множитель). Механическая система, на которую наложены только голономные связи, называется голономной системой. Система называется неголономной, если на нее наложена хотя бы одна него-лономная связь. В учебной литературе обычно рассматриваются только линейные относительно скоростей неголономные связи. [c.131]

Если на систему наложены только голо-номные связи, то число обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. Заметим, что к неголономным системам это правило не относится. В прикладной механике большое значение имеют полносвязные системы, т. е. механические системы с одной степенью свободы. К числу таких систем относится большинство механизмов. Чтобы определить положение полносвязной системы, достаточно одной обобщенной координаты. [c.429]

Неголономными называют связи, выражающиеся неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, т. е. уравнениями, содержащими не только координаты точек системы, но и их производные по времени. Дифференциальные уравнения неголоном-ных связей не интегрируются ни по отдельности каждое, ни в целом. [c.321]

Таким образом, выявляется существенное различие между системами с голономными связями и с неголономными. При голономных связях в системе все обобщенные координаты являются независимыми между собой переменны. и величинами. Между их приращениями ие суищствует никаких заранее данных зависимостей. Могут существовать любые комбинации этих приращений, например можно мыслить такое возможное иере.мещение системы, которое происходит вследствие того, что одна толь о координата 1 получает приращение 6q , а приращения остальных координат равны нулям [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...