Пфаффа уравнения

Пуанкаре сфера 366 Пфаффа уравнения 155, 160 [c.914]

Для голономных связей система (7) должна быть по определению интегрируемой. Для того чтобы система Пфаффа (7) была вполне интегрируемой, необходимо, чтобы все производные oj уничтожались в силу уравнений системы 1, [c.290]

Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) — (2.3), 5Q равно сумме полного дифференциала dU и неполного дифференциала Ы и, следовательно, форма Пфаффа для Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы. Имеет ли эта дифференциальная форма интегрирующий множитель и что это физически означает, решается вторым началом термодинамики. Как следует из (2.1) — (2.3), уравнение первого начала позволяет определить внутреннюю энергию U[ai,. .., а Т) в состоянии [а , а , й Т) только с точностью до аддитивной постоянной U a°,. .., а° Т°), зависящей от выбора начального состояния (й ,. .., Г°). Для термодинамики этого вполне достаточно, так как в устанавливаемые ею соотношения входят лишь изменения энергии. [c.39]

Из уравнения (2.4) видно, что дифференциальное выражение для SQ представляет собой линейную форму в полных дифференциалах независимых переменных Т, ai,. .., ап, т. е. форму Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) —(2.3) 6Q равно сумме полного дифференциала dE и неполного дифференциала 8W, и, следовательно, форма Пфаффа для 5Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы, Как следует из (2.1) —(2.3), уравнение первого начала позволяет оп- [c.32]

Естественно, что все предыдущее сохраняет свое значение также и в частном случае, когда все связи системы будут голономными, не исключая и того случая, когда эти связи выражаются дифференциальными уравнениями Пфаффа (76), которые должны поэтому представлять собой интегрируемую систему. Но в этом предположении кинематические характеристики можно выбрать некоторым частным образом, который необходимо разъяснить. Так как связи, наложенные на лагранжевы координаты q (если число координат превышает число степеней свободы), являются голономными, то конфигурацию системы в любой момент можно определить, выражая q в функциях от других v независимых лагранжевых параметров Га(а=1, 2,. .., V) в виде [c.323]

Ясно, что одно какое-нибудь многообразие оо элементов, перечисленных выше, обладает тем свойством, что в нем два каких угодно бесконечно близких элемента сопряжены в том смысле, что гиперплоскость одного проходит через центр другого. Это условие сопряженности между двумя бесконечно близкими элементами z, q, р и z-]-dz, q- -dq, p dp выражается уравнением Пфаффа [c.266]

Пуассона — Якоби тождество 274 Пфаффа союзная система уравнений 253 [c.549]

Система союзная уравнений Пфаффа 253 [c.550]

В приведенных примерах левая часть уравнения связи Пфаффа является точным дифференциалом, но это обстоятельство ни в коей мере не является существенным для общего понятия о связях. Уравнение может содержать любую форму Пфаффа, не обязательно такую, которая допускает интегрирующий множитель. В общем случае уравнение связи мы будем записывать в следующей форме [c.30]

Практически уравнения Пфаффа (1.7.1) и (1.7.2) обычно более удобны, чем уравнения (1.7.3) и (1.7.4). [c.30]

Голономные и неголономные системы. Если уравнение связи Пфаффа (1.7.1) интегрируемо (после умножения на соответствующий интегрирующий множитель), то система называется голономной ). Уравнение связи в этом случае можно записать в конечной форме [c.31]

Приведенное рассуждение носит общий характер, несмотря на то что рассмотренное уравнение связи имело специальный вид (1.8.4). Общее неинтегрируемое уравнение Пфаффа с помощью подходящей подстановки может быть приведено к форме (1.8.4) ). [c.32]

Система уравнений Пфаффа вполне интегрируема, т. е. эквивалентна двум уравнениям вида [c.32]

В простейшем и наиболее распространенном случае система уравнений Пфаффа (2.2.4) вполне интегрируема, т. е. эквивалентна L уравнениям вида [c.36]

Уравнение (3.8.8) является условием существования интегрирующего множителя для формы Пфаффа (3.8.1). (Прим. перев.) [c.50]

Эти I уравнений Пфаффа не допускают интегрируемых комбинаций. Посколь-92, ) [c.80]

Легко видеть, что уравнения Пфаффа (5.9.13) и (5.9.15) не допускают интегрируемых комбинаций. Система неголономна и имеет три степени свободы наименьшее число лагранжевых координат, необходимых для определения положения и ориентации системы, равно пяти. В качестве таких координат можно выбрать т), 0, ф, г . В данном примере к = 5, А = 3, 1 = 2. [c.83]

Мы приведем два доказательства этой теоремы первое будет основано на непосредственной проверке, а второе — связано с эквивалентностью системы уравнений Гамильтона некоторому уравнению Пфаффа. [c.284]

Уравнение Пфаффа (16.3.5) в точности эквивалентно 2п дифференциальным уравнениям Гамильтона. Изучение главной функции показало, что решения уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению (16.3.5) остается доказать обратное, что функции [c.287]

В соответствующем месте я распространю все свои исследования по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка на задачу Пфаффа. [c.423]

Канонические преобразования в QTP. Если мы хотим произвести в пространстве QTP преобразования координат, сохраняющие форму уравнений движения, то лучше всего свести все рассмотрение к форме Пфаффа [c.330]

Теорема 4.4.2. Система связей голонолша тогда и только тогда, когда соответствующая система уравнений Пфаффа вполне интегрируема. [c.314]

При расширении пространства (q) число уравнений Пфаффа уменьшается, причем согласно следствию 4.5.3 ни одного интеграла не пропадает. Пусть расширенная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет п -Ь 1 — 1 линейно независимых уравнений, причем к < т. Тогда вновь полученная пфаффова [c.330]

Действительные перемещения. Действительные перемещения системы, на которую наложены голономпые связи, стеснены интегрируемыми уравнениями Пфаффа [c.295]

В первую очередь для получения Hop. ia.ibHoii формы уравнений Пфаффа покажем, что множители для этих у )авиеииГ1 так же. как н для уравиеиий Гамильтона, ра ])биваются на пары Aj, -А,-. [c.100]

Эти коварианты, в силу их знакопеременного характера относл-тельно двух рядов переменных, d a, d"s2, будз т исчезать всякий раз, когда будут совпадать вариации d, d", и они будут обращаться в нуль тождественно, т. е. при всяком выборе d и d", если связи окажутся исключительно голономными (т. е., по существу, если уравнения Пфаффа (77") получаются путем полного дифференцирования стольких же конечных уравнений между переменными). Действительно, в этом случае все q/i являются функциями от v ла-гранжевых независимых параметров а кроме того, возможно, и времени, которое здесь, в согласии с тем, как это было сделано раньше, мы обозначим через г . Принимая за кинематические характеристики Гп(<х=1, 2,..., V), мы должны будем рассматривать вместо зфавнений (77") прн h=l, 2,..., п равенства [c.329]

Эта система я уравнений Пфаффа называется союзной с данным пфаффианом < j легко видеть, что, как и билинейный ковариант, она инвариантна по отношению к преобразованию переменных. [c.253]

Теперь вспомним, что уравнения (76 ) при заданных значениях и t определяют между р , q° к р, q каноническое преобразование. Это значит, как это напоминалось также и в конце предыдущего пункта, что два пфаффиана [c.300]

Уравнения связи могут быть представлены в форме одного конечного соотношенпя и одного уравнения Пфаффа [c.32]

Уравнение Пфаффа (2.1.8) неинтегрируемо, и система неголономна. [c.35]

Пфаффова форма р,. dq — Н dt. Вернемся к теореме об эквивалентности ( 16.3). Мы видели, что уравнение Пфаффа [c.301]

В уравнениях (94.6) мы имеем 2N + 1 однородных уравнений для 2N + 1 дифференциала мы энаем (совершенно независимо от предыдущего доказательства), что они совместны, так как матрица коэффициентов, будучи кососимметричной и нечетного порядка, имеет самое большее ранг 2N (другими словами, ее детерминант обращается в нуль). Имеем тогда новый подход к динамике в пространстве QTP, основанный на форме Пфаффа ) [c.328]

Мы будем рассматривать динамическую систему наиболее общего типа. Она может быть подчинена переменным связям — случай реономной системы. Если связи постоянны, то система называется склерономной. Связи могут быть заданы неинте-грируемыми уравнениями Пфаффа в этом случае они неголо-номны в противном случае связи носят название голономных. Реономная неголономная система представляет собой самый об- [c.10]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...