Ортогональные преобразования системы координат

Ортогональные преобразования системы координат [c.41]

Рассмотрим преобразование компонент вектора а при ортогональном преобразовании системы координат Х . [c.41]

Пример. Докажем, что скалярное произведение а-Ь — инвариант ортогонального преобразования системы координат, т. е. является абсолютным скаляром. [c.42]

При ортогональном преобразовании системы координат Х компоненты тензора приобретут вид [c.44]

Совокупность этих моментов характеризует некоторый тензор второго ранга по отношению к ортогональному преобразованию системы координат. [c.41]

Это равенство означает, что ни в пространстве, ни в среде не существует исключительных направлений, или, иначе говоря, что заданная деформация независимо от ее ориентации вызывает одни и те же напряжения. Точнее, равенство (59.2) означает инвариантность соотношения (59.1) относительно всех ортогональных преобразований системы координат. [c.196]

Число констант для каждого частного типа кристаллов или вообще частного вида анизотропии уменьшается в соответствии с имеющейся симметрией. Из (15.20)1 следует, что если мы произведем ортогональное преобразование системы координат (хО, по отношению к которой написана связь (15.20) ь то для (], тп получим тензорный закон преобразования. Пусть преобразование координат XI имеет вид х/=1цх,-. В новых осях [c.205]

Две ортогональные декартовы системы координат в (2.12) связаны матрицей преобразования (1ц). [c.44]

Проекции вектора ускорения полюса иа осп подвижной системы координат можно найти, пользуясь формулами преобразования компонент вектора при ортогональных преобразованиях системы декартовых координат, а также выражениями коэффициентов этих преобразований через функции углов Эйлера (II.10.5b). [c.129]

Вектор — следующий по слол<ности объект. Это — физическая величина,, которой помимо ее численного значения приписывается некоторое направление. Таковы скорость, ускорение, сила. Для обозначения вектора используется жирный шрифт и преимущественно строчные буквы латинского алфавита. Действия векторной алгебры предполагаются известными скалярное произведение векторов а и 6 обозначается а-Ъ, векторное а X Ь. Но для последующего необходимо напомнить правила преобразования проекций вектора при преобразовании поворота ортогональной декартовой системы координат только такие системы применяются в дальнейшем, пока не оговорено противное. Заметим еще, что во всем последующем рассматриваются величины в трехмерном пространстве Евклида ( з). [c.799]

Именно эти условия гарантируют, что преобразование является допустимым. Если мы потребуем также, чтобы после преобразования правая система координат оставалась правой, т. е. наше преобразование было бы также соответственным, то для этого / должен быть всюду положительным (например, для простейших преобразований между ортогональными декартовыми системами координат / = + 1). Далее мы регулярно будем использовать лишь несколько основных операторов преобразований они приведены ниже, причем символы со штрихами относятся к функциям в пространстве Z, а без штрихов — в X. [c.208]

Теперь мы можем применить изложенные выше идеи к преобразованиям ортогональной декартовой системы координат X в косоугольную декартову систему Z, что позволит нам определить базисные функции для целого класса элементов, вдоль границ которых изучаемые параметры изменяются линейно (так называемых линейных элементов). [c.211]

Преобразования к ортогональным криволинейным координатам. Во многих приложениях изложенной здесь теории необходимо иметь выражения для компонентов напряжений и переме-ш ений в ортогональной криволинейной системе координат (I, т]), которую будем определять с помош,ью конформного преобразования Z = ш ( ), где = I -t- щ. Рассмотрим сначала прямоугольные оси Рп, Ps, образованные нормалью п [c.92]

Глобально покоящаяся система, конечно, не является системой покоя для каждой частицы системы в отдельности, т. е. она не является сопутствующей системой типа рассмотренной в 10.8. Очевидно, существует целый класс таких систем координат, поскольку любые преобразования вида (11.171) и любые ортогональные преобразования пространственных координат (х, у, z) дают новый экземпляр глобально покоящейся системы. Члены О3 и высшие степени 1/г не обязательно должны быть не зависящими от времени. [c.330]

Это равенство дает линейное (с коэффициентами ") преобразование от компонент вектора п к компонентам вектора р > Оно было получено с использованием ортогональной декартовой системы координат, и, следовательно, р были определены в произвольных ортогональных декартовых системах координат. Равенство (2.10) является соотношением между векторами р и п и поэтому может быть написано в любой криволинейной системе координат. Отсюда следует, что не только в ортогональных декартовых осях, но и в произвольных криволинейных системах координат с помощью равенства (2.10) можно ввести величины которые следует рассматривать как контравариантные [c.144]

Активная интерпретация преобразования координат состоит в том, что преобразование и — и(х, у), у — у (х, у) рассматривается как закон некоторого точечного преобразования плоскости х,у ь другую плоскость с ортогональной (декартовой) системой координат и,у к соответствующей деформацией фигур. [c.52]

При образовании замкнутых циклов последовательных преобразований координат используются не только ортогональные декартовы системы координат, но и косоугольные системы координат, а также криволинейные координаты цилиндрические, сферические и др. [c.199]

Покажем, что при ортогональном преобразовании координатной системы числа С преобразуются, как компоненты вектора. Чтобы. это доказать, рассмотрим некоторые вспомогательные соотношения. Предположим, что взаимная ориентация осей не изменяется при преобразовании координат, т. е., например, правая система координат переходит в правую новую систему. [c.47]

Примером результата перестановки индексов является переход от тензора а-Ь к тензору Ь-а . Сложение тензоров мы рассматривали выше, пользуясь ортогональной системой координат. Свойства формул преобразования показывают, что можно складывать тензоры лишь одинакового ранга и строения. [c.56]

Любое линейное преобразование (4.12), удовлетворяющее условиям (4.15), называется ортогональным, а сами условия (4.15) известны под названием условий ортогональности. Таким образом, переход от неподвижной системы координат к системе, жестко связанной с твердым телом, совершается посредством ортогонального преобразования. Записывая коэффициенты преобразования (направляющие косинусы) в виде таблицы [c.115]

Рис. 40. Поворот плоской системы координат, осуществляющий ортогональное преобразование.

Рис. 41. Интерпретация ортогонального преобразования с помощью поворота вектора г в неизменной системе координат.

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с w, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями (Оф = ф, со0 = 0, = Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трех отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы <0ф, <ое, расположены несимметрично вектор Шф направлен вдоль неподвижной оси 2, вектор (00—вдоль линии узлов, а — вдоль подвижной оси г, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. 4.4). [c.153]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Инвариантность формы уравнения относительно преобразований Лоренца не является единственной инвариантностью, накладываемой на законы физики. Ясно, например, что физическое содержание любого закона не должно изменяться при изменении ориентации выбранной системы координат. Следовательно, законы физики должны также быть инвариантными и относительно поворотов системы координат, т. е. относительно ортогональных преобразований пространства. Эта инвариантность является более простой и исследование ее сделает более ясным тот метод, которого следует придерживаться при исследовании инвариантности- относительно преобразований Лоренца. [c.218]

В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения между переменными действие — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0. (Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных (J, w) не является ортогональным.) [c.344]

Полярными векторами являются, например, скорость, ускорение, сила, радиус-вектор и т. д. Они наглядно изображаются направленными отрезками со стрелкой на конце. Их прямоугольные слагающие преобразуются при вращении системы координат как сами координаты, т. е. по схеме ортогонального преобразования (определитель = +1). При инверсии координатной системы (замена ж, z на —ж, —у —z определитель = —1) слагающие изменяют свои знаки на противоположные. [c.161]

Введем следующее определение. Назовем бесконечно малое смещение какой-либо системы материальных точек составленным из нескольких бесконечно малых смещений системы, если изменение координат каждой точки равно сумме изменений координат соответственных слагающих смещений. Это определение относится к ортогональной системе координат, которую нужно ввести но формулы преобразования ортогональной системы координат, которые мы уже неоднократно употребляли, показывают, что смещение, которое можно считать составленным из нескольких других, является таким же относительно любой другой системы координат. Они показывают также, что два смещения точки складываются как две силы, действующие на точку, а именно, согласно теореме о параллелограмме. [c.41]

При более изящном методе описания, принадлежащем Минковскому, событие определяется четырьмя координатами XI, Ха, Хз, Х4 = гс/. Четыре величины Хц образуют компоненты четырехмерного тензора первого ранга в декартовой системе координат или четырехмерного вектора ), и формулы преобразования Лоренца представляют ортогональное, т. е. сохраняющее длины, преобразование таких компонент. Отсюда следует, что [c.137]

Из формул (7.50) и (7.51) формально следует, что любое выражение для Wg является инвариантным к ортогональному преобразованию координатной системы, так как Wg выражается через инварианты к этому преобразованию. Указанная инвариантность энергии совершенно очевидна и из простых физических соображений, а именно величина потенциальной энергии системы не должна зависеть от того, в какой из систем координат ее вычисляют. Количество удельной энергии в окрестности некоторой точки следует рассматривать как объективную реальность, не зависящую от субъективного подхода исследователя, выбираю-щего ту или иную систему координат. [c.510]

В качестве системы координат ниже принята ортогональная система d, q, О с осями, вращающимися с произвольной угловой скоростью (0 . Указанное преобразование означает приведение реального трехфазного двигателя к эквивалентному двухфазному. [c.19]

Простейшим примером такого тензора является тензор преобразования координатных систем. Пусть одна система координат определяется тройкой взаимно ортогональных ковариантных векторов Xi, Xj, Xg, другая — тройкой взаимно ортогональных векторов контравариантных xj, х , Хд. Известно, что преобразование первой системы координат во вторую осуществляется по равенствам [c.58]

Рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат (xi) в ортогональную криволинейную систему координат [c.8]

Векторы аналитически определяются системой трех чисел, которые при ортогональном преобразовании системы координат преобразуются по формулал1 (1.35) или (1.36). [c.42]

Проекции скорости По . оц. связаны с Оох, оу и Voz формулами преобразования компонент вектора при ортогональном преобразовании системы координат (ч. I). Коэс )фнциенты преобразования — косинусы углов между направлениями осей старой и новой систем координат. Их выражения через функции углов Эйлера — фор.мулы (П.105Ь). [c.128]

Представление зависимой переменной на элементе не должно зависеть от используемой системы координат нли, точнее, должно быть геометрически инвариантным для ортогональных преобразований системы координат. Позднее стало более распространенным называть это пространственной, или геометрической, изотропией. Кроме инвариантности, ееометрическая изотропия также гарантирует вдоль любой границы или ребра элемента полноту полиномиального представления того же порядка, что а внутри элемента [24]. [c.179]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Таким образом, преобразования, ие меняющие физического смысла матрицы параметров, оказываются аналогичными тем преобразованиям которые используются обычно для приведения квадратичной формы к главным осям за счет ортогонального поворота системы координат разница состоит лишь в том, что в последнем случае обе ортогональные матрицы были бы взаимно обратны гр => —ф. Зато наша матрица параметров отличается от матрицы квадратичной формы тем, что ие обязана быть симметричной, Pi = аг. Лишняя степень произвола в допустимых преобразованиях идет как раз на уничтожение лишнего коэффициента первоначальной матрицы, и ререзультат оказывается тем же самым — описанные допустимые преобразования всегда позволяют привести матрицу параметров к виду [c.233]

При исследовании различных физических систем часто удается представить обнаруженные свойства и закономерности в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (независимости вида) уравнений движения рассматриваемой физической системы относительно некоторых определенных преобразований. Если, например, уравнения движения инваркантны относительно ортогональных преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве, то можно сказать, что в данном случае симметрия проявляется в эквивалентности определенным образом ориентированных Друг относительно друга систем отсчета при описании движения соответствующей физической системы. Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы, в которых тождественные 5шления протекают одинаковым образом, если для них созданы одинаковые начальные условия. Наоборот, если в физической теории постулируется эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения движения должны бьпъ инвариантны относительно преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, например, постулат теории относительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, выражается в инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет место для симметричных молекул, кристаллов и т. д. [c.8]

Ранее было отмечено, что взаимосвязи между силой У и потоком Ji может и не быть. Ограничения взаимовлияния потоков и сил устанавливает принцип Кюри, согласно которому в изотропной системе потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Формально принцип Кюри можно понять из следующих расуждений. В изотропной системе взаимосвязь между потоками и силами не должна изменяться при ортогональных преобразованиях координат. Но при указанных преобразованиях потоки и силы скалярного, векторного и тензорного типов преобразуются по-разному. Следовательно, инвариантность относительно ортогональных преобразований координат будет иметь место только для величин одинаковой тензорной размерности. [c.200]

Метод интегральных преобразований применяют при расчете распределения потенциала в бесконечно протяженных областях, ограниченнь х координатными поверхностями какой-либо ортогональной системы координат (в простейшем случае двумя взаимно-перпендикулярными плоскостями или одной плоскостью). [c.43]

Когда тело начнет двигаться, то оно будет переносить с собой вектор р, поворачивая его вокруг точки О. Через какое-то время t вектор р перейдет в вектор г = A t)p. Последняя формула определяет преобразование пространства, в котором выбрана система координат OXYZ. Матрица A t) ортогональна, т. е. АА = Е. Отсюда и из правила нахождения определителя произведения квадратных матриц следует, что (det А) = 1. Следовательно, det А может принимать только два значения +1 или —1, но, так как det А в начальный момент равен единице, стать равным —1 при каком-либо t он не может в силу своей непрерывности по t. [c.52]

Яз. Аналогично, в равенствах (1) преобразования компонентов тензора первого ранга (вектора) при переходе от одной системы ортогональных осей к другой системе, правые части представляют собой линейные функции (функции первой степени) относительно направляющих косинусов /i, т ,. ... з- Учитывая неизменность числа а, определяющего тензор нулевого ранга (скаляр) в любой системе координат, формулу преобразования для скаляра при ререходе от одной системы ортогональных осей к другой, аналогичной, можно представить в виде [c.772]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...