Сложение тензоров

Так как формулы преобразований (1.39) и (1.40) линейны относительно компонент тензоров, можно распространить аналитический закон сложения тензоров первого ранга (векторов) на тензоры второго ранга, а также на тензоры высших рангов. [c.46]

Подчеркнем, что сложение применяется лишь для тензоров одинаковых рангов, так как лишь при этом условии результатом сложения тензоров является тензор. [c.46]

Примером результата перестановки индексов является переход от тензора а-Ь к тензору Ь-а . Сложение тензоров мы рассматривали выше, пользуясь ортогональной системой координат. Свойства формул преобразования показывают, что можно складывать тензоры лишь одинакового ранга и строения. [c.56]

Пользуясь определенными ранее операциями сложения тензоров и умножения их на скаляр, составим тождество [c.123]

Операция сложения тензоров эквивалентна сложению их одноименных компонентов, в результате чего компоненты суммарного тензора Тц определяются по равенствам [c.59]

Операция сложения тензоров инвариантна относительно преобразований систем координат. [c.59]

Следствием операции сложения тензоров является возможность разложения тензора на симметричную и антисимметричную части, симметрирования и альтернирования тензоров [46]. [c.60]

Можно было бы ограничиться линейными преобразованиями координат (это делается весьма часто). Однако в нашем анализе неоднородного напряжения и неоднородной деформации такое ограничение неприемлемо. Одной из главных причин применения в реологических приложениях понятия телесного поля является то, что при пользовании ими отпадает необходимость в сложении тензоров в двух или более различных точках одного и того же многообразия (необходимость сравнивать тензоры в соседних точках все же остается, так как этого требует ковариантное дифференцирование). [c.385]

Сложение тензоров. Если имеются два тензора ранга п [c.21]

Алгебра тензоров в криволинейной системе координат такая же, как и в декартовой. Необходимо помнить, что при сложении тензоров суммируются только компоненты одного строения индексов. [c.42]

Сложение тензоров. Складывать можно лишь тензоры одной и той же валентности. При этом, если нас интересуют компоненты суммы, слагаемые следует представить в терминах компонентов одного и того же типа. [c.14]

Сложение тензоров. Сложение соответствующих компонент двух тензоров одинакового ранга дает третий тензор того же ранга, который называется суммой первых двух тензоров [c.202]

Замечание. Сложение тензоров разных рангов не имеет смысла (например, бессмысленно говорить о сложении скаляра и вектора). [c.203]

Сложение тензоров] при этом складываются компоненты с одинаковыми индексами, т. е. тензор Т - - Т имеет составляющие а,у-у. [c.70]

Свёртывание, сложение, симметричность, альтернирование, идеи, понятие, частный случай, свойства, поле, определение, компоненты, элементы, главные значения, главные оси. .. тензора. Умножение вектора. .. на тензор. Действия. .. над тензором. Скалярное произведение. .. тензоров. [c.88]

Покажем теперь, что произвольный тензор второго ранга можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Действительно, введенное нами выше действие сложения позволяет написать [c.46]

Тензор Оп для анизотропной среды найден в указанной на с. 43 статье. Этот тензор, вообще говоря, очень сложен. В случае прямолинейной дислокации, когда мы имеем дело с плоской задачей теории упругости, может оказаться проще непосредственно решать уравнения равновесия, [c.153]

Операции сложения и вычитания тензоров, а также умножения их на скаляр те же, что и у векторов [c.117]

Сложение, умножение и свертывание тензоров. Признак тензора [c.10]

Операции сложения и умножения могут быть распространены на любое число тензоров. [c.10]

Так как в числе предпосылок и допущений линейной теории упругости лежит принцип независимости действия сил, то и в общем случае линейно-деформируемых анизотропных сред любой компонент тензора деформации может быть представлен в виде сложения одиночных влияний отдельных компонентов тензора напряжений. [c.43]

Сложение и вычитание тензоров. Эти операции применимы лишь к тензорам одинакового ранга. [c.393]

Сложение (вычитание), умножение, свертывание тензоров и любая комбинация этих операций приводит, вообще говоря, также к тензорам. Следовательно, тензорный характер какого-либо объекта можно распознать, подметив, что он определяется совокупностью чисел, которая образуется в результате операций над известными тензорами. В работах по тензорному исчислению [29] доказывается следующая теорема, которая именуется обратным тензорным признаком. [c.396]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Операция сложения. Эта операция имеет смысл и может применяться лишь для тензоров Рц и Qn одинаковой структуры и одинакового ранга, имеюш,их соответственно компоненты 3,-/ и уц. Операция сложения приводит к возникновению нового тензора Тц такой же структуры и такого же ранга с компонентами а , т. е. [c.59]

Симметрированием тензора по группе нижних индексов называется сложение этого тензора с теми, которые из него получаются всевозможными перестановками индексов данной группы сум.му обозначают [c.236]

Координатный метод в геометрии, наряду с величинами существенно геометрическими, дает и величины случайные, связанные с выбором системы координат. Тензорное исчисление развивает такие вычислительные приемы, которые позволяют отличать геометрически существенное от привнесенного выбором координат. Такими приемами являются операции сложения, умножения тензоров, операция свертывания тензора эти операции инвариантны по отношению к преобразованию координат. [c.237]

Сложение тензоров. Складывать можно только тензоры одинакрвого ранга и одинакового строения т. е. с одинаковым числом верхних индексов и с одинаковым числом нижних индексов. Например, при сложении тензоров и B .ki) получим тензор также четвертого ранга и того же строения с компонентами. [c.411]

Тензор/г/.. представляет собой геометрический объект, который обладает строго определенными трансформационными свойствами при преобразовании координат, например при преобразовании Лоренца (переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе, совершающей относительно первой равномерное поступательное движение). Число индексов называется рангом тензора. Нижние индексы называются ковариантными, верхние — контравариант-ными. Если операция сложения тензоров должна быть кова-риантна, то складывать можно только тензоры с одинаковой картиной индексов. [c.109]

Pi) = А <7 р + р -г) = = С.Тем самым нами доказана известная теорема. Л. Пуансо о том, что винтовую систему или соосный бивектор всегда можно заменить другой ей эквивалентной, а также двумя непересе-кающимися в пространстве векторами (крестом). На фиг. 100 указано преобразование нескольких крестов sin 01 и РзР 2 sin 02 в эквивалентные бивекторы PiMi и Р2М2 и сложение последних в результирующий бивектор РМ. Складывая в плоскости приведения xOz заданные векторы Р , Р . Рз и Р4, по тензорам сдвига получим амплитуду бивектора [c.188]

При феноменологич. описании считают р = <хЕ, где а — тензор поляризуемости рассеивающей частицы, а Е — напряжённость электрич, поля действующего на реё излучения. Бели заряды рассредоточены, рассеянное излучение получается в результате сложения пар-(гиальных полей, генерируемых элементарными дипольными моментами элементов объёмов. р = P(r)d r, где Р поляризация в точке г, определяемая тензором дизлектрической проницаемости е среды [c.278]

Позднее были опубликованы работы Сан Жуана (1947 г.), Флейшмана (1951 г.) и Пэйджа (1952 г.) [4—7]. Этими работами была подтверждена возможность выполнения действий умножения и деления над величинами, подобно тому, как эти действия в элементарной алгебре производятся над обычными числами. К величинам одного и того же рода применимы действия сложения и вычитания. Все эти операции, производимые над величинами, получили название исчисление величин (quantity al ulus). Обычно геометрический характер (скалярный, векторный, тензорный) при исчислении величин не принимается во внимание, хотя в работах последнего времени [8, 9] эти свойства величин также рассматриваются. В настоящей статье предполагается, что векторы и тензоры представлены их составляющими. [c.37]

Операции иад тензорами. Тензоры одной и той же валентности образуют линейное пространство по отношению к сложению и умножению на число, которые в любой системе координат выполняются покомпонентно, причем складываться могут лишь одинаковое число раз ковариантиые (контравариантные) компоненты. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...