Квадратичные формы, приведение

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

Квадратичные формы, приведение к каноническому виду 367 Кеплер 183, 199 [c.428]

Квадратичная форма (4.18), приведенная к главным осям, имеет вид [c.117]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Воспроизведя буквально приведенные выше рассуждения для линейного случая, убеждаемся, что решение единственно тогда, когда квадратичная форма [c.247]

Хотя условие (4.8.6) требует лишь стационарности Z. можно легко доказать, что в данном случае стационарность всегда, без каких-либо дополнительных условий, означает наличие минимума. Это следует из того факта, что функция Z, будучи суммой существенно положительных членов, должна иметь где-то минимум. Следовательно, если условие стационарности имеет единственное решение, то это решение должно давать минимум величины Z. Единственность решения показывается следующим образом. В приведенном выше примере 2 получилась в виде линейной функции. ji и г/. В общем случае, независимо от конкретного характера заданных кинематических условий, их двукратное дифференцирование всегда приводит к линейным соотношениям между ускорениями. После исключения при помощи этих условий лишних ускорений результирующее выражение для Z останется квадратичной формой от остальных ускорений, которые уже варьируются свободно. Следовательно, мы приходим к системе линейных уравнений, которая имеет единственное решение. [c.133]

Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Начнем с повторения следующей теоремы из алгебры ). Пусть даны две квадратичные формы с п переменными [c.367]

С помощью действительного неособого линейного преобразования квадратичные формы (9.1.9) и (9.1.10) можно одновременно привести к суммам квадратов с положительными коэффициентами. Одновременное приведение двух квадратичных форм к суммам квадратов всегда возможно, если по крайней мере одна из форм определенно-положительная. (То обстоятельство, что [c.142]

Из теоремы приведения получается специальный случай квадратичных форм или вообще форм р-го измерения. Для этого нужно систему функций [c.609]

Приведенному методу трудно следовать, если вековое уравнение (101.7) имеет кратные корни кроме того, мы достигаем значительно более глубокого проникновения в математическую структуру проблемы, представленной уравнениями (101.4) и (101.5), начиная с начала и используя геометрию пространства Q. Предполагаем, что кинетическая энергия — положительно определенная функция (что и имеет место в случае всех естественных систем) тогда квадратичная форма [c.359]

Переход от Я = 1. .. дь) к < = с 1. .. < м выполняется в процессе одновременного приведения двух квадратичных форм Т и и к линейной комбинации квадратов соответственно обобщенных скоростей и обобщенных координат. Таким образом, все сводится к отысканию такой матрицы 5, которая привела бы одновременно матрицы [c.145]

Используя формулы, приведенные в 19, можно установить, что если а-, -линии на срединной поверхности совпадают с линиями кривизны, то на эквидистантной поверхности они ортогональны, а коэффициенты первой квадратичной формы [c.242]

Приведенные выше краткие сведения из теории матриц и квадратичных форм используются при дальнейшем изложении динамических свойств рассматриваемых приводов. Более подробные сведения по указанным вопросам можно найти в специальной литературе [32 39 57 59 76]. [c.48]

Свободные колебания систем с циклическими координатами. Понятие о циклических координатах было дано в гл. П. Приведенная выше теория свободных колебаний в линейных консервативных системах неприменима к системам, содержаш.им циклические координаты. В таких системах квадратичная форма потенциальной энергии (13) не будет содержать членов с циклическими координатами. Поэтому в положении q = О потенциальная энергия не будет обладать изолированным минимумом, т. е. не будут выполнены условия (1) Между гем системы с циклическими координатами часто встречаются в технике. Примером могут служить свободно вращающиеся в опорах роторы (циклическая координата — угол поворота ротора как твердого тела), неуправляемые летательные аппараты (если не учитывать влияния внешних сил, то все шесть обобщенных координат, описывающих движение аппарата как твердого тела, будут циклическими). [c.67]

Нормальные координаты диссипативных систем существуют только при некоторых ограничениях, накладываемых на матрицы А, В и С. Это является отражением алгебраического факта — невозможности одновременного приведения трех произвольных квадратичных форм к сумме квадратов посредством линейного преобразования переменных. [c.93]

Внутренняя геометрия (метрика) недеформированной поверхности приведения полностью определяется ее первой квадратичной формой [c.84]

В случае ортогональных систем координат йху = 0 п первая квадратичная форма недеформированной поверхности приведения может быть записана в виде [c.84]

Внешняя геометрия (форма) недеформированной поверхности приведения задается второй квадратичной формой [c.84]

Пользуясь известными соотношениями дифференциальной геометрии поверхностей, для поверхности приведения оболочки вращения нетрудно получить выражения компонент тензоров первой Оов и второй бав квадратичных форм и ненулевых символов Кристофеля (Г12 , Гм ). [c.278]

Вычисление интеграла D (2.29) как функции констант Uq и if может быть выполнено приведением входящей в (2.39) квадратичной формы к сумме квадратов или на основе упрощений матрицы 1к// в случае парных потенциалов. Более сложный вопрос уточнения физического смысла параметров М (И ) как характеристик деформации кристаллической решетки монокристалла в равновесном состоянии ( /=0) в простейшем случае решается на основе понятия аффинной деформации окрестности точки сплошной среды (гл. И), [c.47]

Так как и А - две симметрические матрицы, причем квадратичная форма положительно-определена, то можно воспользоваться теоремой линейной алгебры о приведении двух квадратичных форм, согласно которой можно найти вещественную невырожденную матрицу С такую, что [c.437]

Введение главных координат равносильно одновременному приведению двух квадратичных форм Т и и к каноническому виду. Действительно, Т и и в случае произвольных независимых координат задаются с помощью двух симметричных матриц [c.275]

Общей процедурой отыскания главных осей инерции является известный алгебраический процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду. Наиболее просто диагонализация осуществляется в тех случаях, когда тело обладает симметрией в распределении масс, или, как говорят, материальной, сим-мет р и е й. [c.351]

На рис. 2 приведен пример использования предложенной методики оптимизации сложности. При п = 12 осуществляется выбор п членов (смежных произведений по два) квадратичной формы из я имеющихся. Как видно из приведенного рисунка, для коэффициента 6 = 5, являющегося оптимальным по модулю р = 13, выбранные точки распределены наиболее равномерно по двумерной решетке, в то время как при произвольно выбранных коэффициентах ( = 1, ft = 6) этого не наблюдается. [c.263]

В более общем случае, когда симметрия произвольна, но по-прежнему Рд, = 0, получаем вместо р положительную квадратичную форму. После приведения к главным осям она выглядит следующим образом [c.30]

Приведенные выше утверждения приводят к заключению, что знакоопределенность квадратичной формы d H должна быть достаточным условием устойчивости рассматриваемого стационарного течения. Это заключение не вытекает формально из теорем 7, 8, 9, так как применение всех наших формул в бесконечномерном случае требует обоснования. [c.301]

Резюмируя, мы можем сказать, что типичное однопараметрическое семейство эллипсоидов или квадратичных форм в евклидовом пространстве) не содержит эллипсоидов вращения квадратичных форм с кратным спектром). Применительно к эллипсоиду инерции получаем приведенный выше вывод о необходимости двух юстировочных масс. [c.396]

Приведенное рассуждение о собственных числах двупараметрических семейств квадратичных форм объясняет странное поведение собственных частот при изменении одного параметра вообще говоря (исключая случаи совершенно особые) при изменении одного параметра собственные частоты могут подходить близко друг к другу, но не могут обгонять друг друга, а должны, сблизившись, снова разойтись в разные стороны. [c.398]

Так как, согласно теореме жнерцин квадратичных форм, число положительных и отрицательных коэффициентов в квадратичной форме, приведенной с помощью вещественного линейного невырожденного преобразования к каноническому виду, гге зависит от выбора этого преобразования и среди множества таких преобразований, как уже отмечалось, существует такое, которое приводит [c.94]

Здесь Ьц, bi2, Ъц, й], 2 не зависят от выбора нормального сечения I, а зависят лишь от координат той точки, через которую проведено нормальное сечение. В то же время эти величины зависят от выбора направлений координатных линий, проходяш,их через данную точку. На поверхности суш,ествуют два взаимно ортогональных направления Tj, To, для которых k принимает соответственно минимальное min и максимальное йтах значения. Из курса математики известно, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, который содержит лишь квадраты переменных. Это приведение эквивалентно преобразованию одних ортогональных координат в другие ортогональные координаты, в которых квадратичная форма обретает канонический вид. Пусть координатные оси aj и совмеш,ены с теми ортогональными осями, в которых упомянутая вторая квадратичная форма приводится к каноническому виду, т. е. в этих осях = О и [c.421]

Использованное здесь преобразование переменных, соответствующее переходу от переменных к переменным применяется обычно в теории квадратичных форм для приведения (по методу Лагранжа) квадрати ной формы к сумме квадратов. Действительно, применив несколько раз подобные преобразования, мы представим квадратичную форму от п переменных в виде суммы п квадратичных форм, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. равна произведению квадрата этой переменной на некоторый вещественный коэффициент. [c.275]

Для расчета размеров элементарной ячейки используем квадратичную форму сингонии кристаллической решетки анализируемого вещества, приведенную в табл. 2.1.1. Для а-кварца сингония гексагональная и квадратичная форма для оп131еделе-ния размеров элементарной ячейки имеет вид [c.57]

Все уравнения конической оболочки (рис. 23.1) могут быть получены из общих уравнений, приведенных в.первой части книги, еслй в них подставить коэффициенты первой квадратичной формы и кривизны [c.277]

Квадратичная форма (2.3.2) знакопостоянна. В этом случае 0 = квадратный трехчлен (2.3.3) имеет кратный корень ti 2 = —У 1г1У 22 Для вменения характера особ<ж точки необходим анализ высших членов разложения и более тонкий анализ уравнения ветвления. Примеры такого анализа для плоских кривых даны, например, в [339], а анализ возможных случаев приведен в [453, 524, 129]. Здесь особая точка может оказаться [c.75]

С помощью поворота координат (это преобразование называется приведением квадратичной формы к главным осям) всегда можно найти новую систему главных осей. Размеры и ориентация эллипсоида (7.2.3) зависят, разумеется, от направления приложенного поля, а также от 18 матричных элементов. Выще мы уже доказали, что в кристаллах, обладающих центром инверсии (центросим-метричностью), = 0. Вид тензора (но не его величина) может быть получен из соображений симметрии, которые позволяют установить, какие из 18 коэффициентов равны нулю, и найти соотношения между остальными коэффициентами. В табл. 7.2 представлены электрооптические тензоры для всех нецентросимметричных кристаллических классов, а в табл. 7.3 перечислены электрооптические коэффициенты для некоторых кристаллов. [c.244]

Максимумы квадратичной формы (2.2.3) вычислялись путем введения координатной сетки и сравнения значений рассматриваемых величин в ее узлах. При вычислениях использовалась аппроксимация бесселевых функций, приведенная в [288 ]. Расчеты выполнены на ЭВМ БЭСМ-б. [c.142]

Замечание. Из приведенного вывода легко заметить, что в случае знакоопределенной отрицательной квадратичной формы [c.774]

Приведением квадратичной формы V к каноническому виду по методу Якоби А. Д. Г0рбу110в (1950) и Б. С. Разумихин (1957) из неравенства (12.1) вывели оценку [c.63]

Для того чтобы получить частоты нормальных колебаний, необходимо преобразовать (2,182) к координатам симметрии (в этих координатах потенциальная функция попрежнему имеет квадратичную форму), составить соответствующее выражение для кинетической энергии и решить вековое уравнение. Однако мы ограничимся приведением результатов, полученных Деннисоном [276], Яуманом (см. Шефер [763]) и Радаковичем (см. Кольрауил [13]). В данном случае имеется одно невырожденное колебание VJ типа Л,, одно-дважды вырожденное колебание типа Е и два трижды вырожденных колебания Уз и У4 типа (см. стр. 159). Их частоты определяются формулами [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...