Решение нелинейные-Колебания

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Метод усреднения принадлежит к асимптотическим методам исследований в теории нелинейных колебаний. Как уже было упомянуто, теперь эта теория достигла значительного совершенства. Изложенные выше приемы решения задач следует рассматривать как историческое введение к существующим методам, включающим стандартные формы уравнений колебательного движения слабо нелинейных систем, т. е. систем с малыми значениями е, рассмотренными выше, В настоящее время существует обширная литература, относящаяся к этой области механики. Отсылаем читателей к этим работам ). [c.294]

Вопросом о существовании квазипериодических решений дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, в частности автоколебательных движений, занимались Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др. [c.295]

Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает, какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при ближенных методов, доступных для практических вычислений. [c.504]

Решения (VI.26) и (VI.27) уравнений первого приближения представляют собой гармонические колебания гироскопа и не содержат постоянной составляющей собственной скорости прецессии гироскопа. Следуя методу последовательных приближений, найдем второе приближение решения нелинейных дифференциальных уравнений (VI.13) движения гироскопа, определяя его в виде [c.133]

Приближенное решение задачи о нелинейных колебаниях маятника получается теперь из формул (57), (60), (62), выражающих исходные величины ср, рср через новые переменные, в которых записано решение (63). [c.405]

Так же. как и при линейных колебаниях, можно различать нелинейно колеблющиеся системы — консервативные (ни из системы, нн в систему энергия не поступает), диссипативные (с течением времени происходи г уменьшение суммы потенциальной и кинетической энергий системы за счет перехода энергии в другие виды или за пределы колеблющейся системы) и, наконец, системы, в которые при их колебаниях поступает энергия. Различают также свободные и вынужденные нелинейные колебания. Однако вследствие нелинейности последние представлять в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения нельзя. [c.220]

Ниже на некоторых характерных примерах поясняется либо только вывод, либо вывод и результат решения нелинейных уравнений свободных колебаний применительно как к консервативной, так и неконсервативной системам качественная сторона нелинейных колебаний, составляю-называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденные [c.220]

Рис. 13. Графическое решение трансцендентного уравнения вынужденных нелинейных колебаний

Заметим, что приведенное рассуждение должно пояснить лишь смысл линеаризации граничных условий и ее связь с общеизвестными решениями задач о нелинейных колебаниях одномассовых систем. Осуш,ествляемая линеаризация есть не что иное, как осреднение за период колебания нелинейного граничного условия при выполнении условия минимизации разницы между ним и соответствующим линейным граничным условием, дающим ту же частоту свободных колебаний (при данной амплитуде колебаний). [c.14]

Уравнение (I. 97) показывает, что в отличие от решений для вынужденных колебаний балок, имеющих линейные граничные условия, решения для вынужденных нелинейных колебаний балок получаются не однозначными. Одной и той же частоте колебаний со (или а) может соответствовать несколько параметров Л 2, а следовательно, и амплитуд колебаний (при заданной внешней возмущающей силе Ро). Можно думать, что одни решения ij i (х) и 1 32 (л ) будут устойчивыми, а другие нет. На этот вопрос можно ответить, исследуя характер кривых вынужденных колебаний определен- [c.37]

Эти уравнения интересно сравнить с решением, которое получаем в теории нелинейных колебаний. Зависимость между амплитудой вынужденных колебаний, частотой и амплитудой воздействия в первом приближении имеет вид (в принятых обозначениях) [c.173]

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВЫХ ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.42]

Важнейшим элементом анализа системы (1) является исследование бифуркации стационарных решений ири из.менении параметров задачи и соответствующих изменений фазового портрета системы (см. Нелинейные колебания и волны). [c.385]

Ур-ния (2) имеют периодич. решения, к-рым соответствуют предельные циклы, изображённые на фазовой плоскости (рис.). Эти решения описывают периодич. колебания числа жертв и хищников . Возможность таких незатухающих нелинейных колебаний является важным свойством О. с. [c.489]

В качестве методов выявления указанных выше типов решений системы (28) и исследования их устойчивости во многих случаях могут быть использованы классические асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Например, в случае малой объемной концентрации мелкодисперсных фаз движение несущей среды может быть найдено независимо от движения частиц и пузырьков. Динамическое поведение последних удобно исследовать в переменных Лагранжа, после введения которых уравнения движения представляются в виде [4, 5] [c.110]

Итерационный метод уточнения решения уравнений нелинейных колебаний. Для уточнения расчета резонансных режимов, а также нерезонансных режимов от нескольких гармоник момента двигателя может быть применен метод последовательных приближений Ньютона—Канторовича [15]. Для расчетов силовых передач использование этого метода первого порядка наряду с записью уравнений движения в интегральной форме можно признать оптимальным по следующим причинам достигается максимально компактная запись нелинейных уравнений, число которых равно числу нелинейных соединений сходимость метода может быть достигнута при любых параметрах системы за счет выбора начального приближения. Метод Ньютоне— Канторовича обладает максимальной скоростью сходимости для кусочно-линейных функций, какими н являются типичные упругие характеристики силовых передач. [c.342]

Первая часть содержит характеристику общих положений теории нелинейных колебаний, обзор основных нелинейных явлений, а также изложение главных математических методов решения нелинейных задач о колебаниях — аналитических, графо-аналитических, качественных и численных методов. [c.9]

Принципиальное решение указанных задач дает теория А. Пуанкаре. Им было, в частности, показано, что соответствие между решениями систем (40) и (41) имеет место не всегда. В зависимости от характера правых частей уравнений (40) может оказаться, что периодическому решению порох<дающей системы (41) не соответствует периодическое решение исходной системы (40). С другой стороны, возможны случаи, когда решению порождающей системы отвечает несколько и даже бесчисленное множество периодических решений исходной системы. Именно эти особые случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний. [c.52]

В теории нелинейных колебаний метод усреднения использовался в отдельных случаях в неявном виде (например, М. В. Остроградским для решения уравнения с кубической характеристикой и Ньютоном при нахождении формулы для периода колебаний маятника). [c.85]

О частотных методах исследования устойчивости. Как вытекает из изложенного в п. 3 гл. I, а также в т. I и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчивости стационарных движений автономных систем. [c.103]

Аналогичный анализ, выполненный для резонансных соотношений вида Xj = = 2о) (/ = 1,2,. .., 6), приводит к выводу, что в условиях таких резонансов нелинейные колебания не могут возбудиться, решение (44) остается устойчивым. [c.278]

Для решения задач динамики механических систем со многими степенями свободы методы, принятые в классической теории механизмов и машин, оказываются несостоятельными. Эти задачи требуют более мощного аппарата общей механики и математики, в частности применения дифференциальных уравнений движения механических систем в лагранжевых и канонических 1еременных, а также теории линейных и нелинейных колебаний. [c.53]

Исследование проблемы о соответствии между свойствами точных и приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений на бесконечно большом интервале времени было произведено также в работе Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний, Изд-во АН УССР, 1934. [c.296]

Отметим, что методы, нрименяем1ле при решении системы, описывающей нелинейные колебания, могут быть с успехом применены для решения других не--пинейных колебательных сисгем (например, уравнений нелинейной оптики). [c.21]

В заключение этого раздела отметим, что аппроксимация даже линейного уравнения (84) уравнением второго порядка в значи тельной мере условна и не может отразить вполне всех особен ностей частотных характеристик, вытекающих из решения нелинейной системы (55), (65) и (78), особенно при колебательном переходном процессе. Например, моделирование нелинейной системы уравнений при помощи АВМ Аналак-110 показало, что увеличение объема Уцд способствует росту амплитуды вынужденных колебаний и существенно сокращает их резонансную частоту, что не следует из упрощенной трактовки изучаемого вопроса. [c.108]

Формирование на АВМ диаграммы восстанавливающая сила— перемещение как реализации нелинейной восстанавливающей силы при решении нелинейных динамических систем типа (7.62) является одним из самых сложных вопросов в методе аналогового моделирования. Поэтому подробнее рассмотрим методику формирования на АВМ такой диаграммы (см. рис. 77). Здесь Rj- — предельно упругая восстанавливающая сила г/д — остаточная деформация системы за полуцикл колебаний ki = tg i — жесткость упругой системы =tgaa—коэффициент упрочнения. [c.295]

Круг задач, связанныхс исследованием колебаний мащнн и приборов, широк и разнообразен. Стремление в одном сборнике осветить результаты исследований, направленных на решение различных частных задач, было бы неразумно. Поэтому настоящий сборник посвящен относительно узкому кругу наиболее общих проблем, касающихся главным образом нелинейных колебаний. В нем также освещены исследования колебаний в сложных системах, например в силовых гидравлических системах управления машинами. [c.3]

Для решения нелинейного уравнения (7) В. Б. Болотин предложил эффективный метод, основанный на сочетании метода Б. Г. Галеркина и метода усреднений, и получил выражения для амплитуды установивших-/ ся параметрических колебаний. Результаты, вытекающие из аналйза этих [c.9]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Существенным представляется то обстоятельство, что для выявления форм относительного движения фаз не обязательно находить точное решение системы (28), удовлетворяющее всем граничным и начальным условиям. В некоторых случаях весьма плодотворным оказался подход, предложенный в работах [4—8], согласно которому рассматривается задача теории нелинейных колебаний н устойчивости движения многофазной среды, а именно, для установления возможных форм относительного движения фаз находятся частные периодические или почти периодические решения системы (28) с соответствующими граничными условиями и исследуется их устойчи- [c.109]

Для одной нелинейности (от = 1) выражение (29) представляет собой нелинейное интегральное уравнение типа Гаммерштейна. Решение системы (30) осуществляется переходом к системе линейных алгебраических уравнений относительно ординат процессов yh t) k=, п) на основе замены интегралов конечными суммами. Степенью обусловленности этой системы, а также наличием решения системы уравнений высокого порядка (необходимо 30—40 точек на каждую нелинейность) и определяются в основном возможности метода. Если g (О = О, то приведенные формулы позволяют производить уточнение решений свободных колебаний. [c.343]

При фиксированном значении м уравнение (5) может иметь несколько решений (а , ai, аз,. ..), которым соответствует несколько различных периодических движений системы с одинаковым периодом 2п1и). В виброизолированной системе с ограничительными упорами (см. рис. 2) одно из этих решений соответствует колебаниям малой амплитуды, при котором система не выходит за пределы области линейности упругой характеристики. Только при реализации этого периодического режима обеспечивается осуществление виброзащитных свойств системы. Остальные периодические решения соответствуют колебаниям,-сопровождающимся соударениями с упорами. Если в системе возникает один из таких режимов, виброизоляционные свойства системы нарушаются. Возникновение в системе того или иного периодического движения зависит от начальных условий, которые в реальных системах обычно не могут быть заданы с достаточной определенностью. Перескок системы с одного периодического режима на другой становится возможным в результате случайного толчка или удара. Аналогичные явления могут возникать и в системах с гладкими нелинейными характеристиками (см. рис. , а и б). [c.236]

При исследовании нелине 1ных колебаний в системах с одной степенью свободы графоаналитические методы применяют как для общих качественных исследований конкретных систем (путем построения соответствующих фазовых диаграмм, см, п. 2 гл. I), так и для непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих нелинейные колебания. Графоаналитические методы могут быть эс[)фективными в случаях, когда не требуется высокой точности решений дифференциальных уравнений низкого порядка. Точность этих методов зависит от способа построения графиков решений н обычно возрастает при увеличении нх масштаба. [c.47]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Следующий эгап в развитии метода точечных отображений состоял в применении его к новым типам систем, в перенесении на многомерные системы и использовании для решений общих вопросов теории нелинейных колебаний. При этом метод секущей поверхности отступил на второй план, и точечные отображения стали формой описания динамических систем, удобной как для конкретных численных исследований, так и для изучения теоретических вопросов [45]. [c.95]

Метод Бубнова—Галеркина для задач нелинейных колебаний можно представить как прямой метод построения приближенного решения, удовлетворяющего соответствующему дифференциальному уравнению в среднем за цикл колебаний [83]. Действительно, уравнения метода Бубнова—Галеркина вида (182) могут быть получены на основе принципа возможных перемещений [68]. Если считать независимую переменную х временем, выражение (181) для у принять за приближенное выражение установившегося процесса вынужденных колебаний, в котором (х) — координатные функции времени, а,- — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение для у , а также положить х = х + г, vrzx — период внешней возмущающей силы, то уравнения (182) допускают простую механическую интерпретацию. Учитывая, что возможные виртуальные перемещения, соответствующие координатным функциям, Ьy = baiWi x), заключаем, что уравнения (182) для определения параметров [c.118]

Коловский М. 3. О применении метода малого параметра для определения разрывных периодических решений. [Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. т. и. Киев, иэд АН УССР, с. 118 — 128. [c.139]

Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сзоднтся к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование релонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти-пернодических решений, а также к изучению их устойчивости а областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем. [c.267]

О методе исследования простраиствеиных колебаний внутренние и виешиие резонансы. Математические особенности исследования нелинейных пространственных колебаний обусловлены наличием многократных резонансов. Трудности, встречающиеся как при исследовании устойчивости, так и при приближенном построении резонансных периодических (почти-периодическнх) решений, общеизвестны [4, 15]. Укажем на некоторые подходы, общие для излагаемого круга задач о нелинейных колебаниях тел [4]. [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...