Решение с помощью рядов

Непосредственное решение системы двух (4.13) и (4.18) нелинейных дифференциальных уравнений не является простым делом, но к настоящему времени предложен ряд непрямых методов решения типа решения с помощью рядов или энергетических методов. Подобные нелинейные случаи конечного прогиба, так же как и улучшения в рамках малых прогибов классической теории пластин (которые позволяют удовлетворить более полным граничным условиям, чем те, что обсуждались выше и формулировались относительно равнодействующих сил и моментов, а также прогибов срединной поверхности), будут рассмотрены в гл ве 5. В оставшейся части данной главы будут рассматриваться некоторые практические задачи, для которых могут быть использованы линейные решения для малых прогибов, получаемые по классической теории пластин. [c.232]

Решение с помощью рядов. Зададим новые функции d( , у) и s( , у) как решения следующих определяющих уравнений [c.549]

Решение с помощью рядов (1.23) серии конкретных задач газовой динамики [4-7, 9, 10, 13] обнаружило несколько полезных свойств рядов. Прежде всего, оказалось, что они весьма быстро сходятся в достаточно широких областях исходного физического пространства. В частности, для задач об истечении в вакуум уже четыре члена ряда (1.23) позволяют при 7 < 3 получить хорошие количественные результаты вплоть до границы с вакуумом, несмотря на то, что характерная скорость гщг истечения газа достаточно велика (в плоском одномерном случае г и/ = 2 q/(7 1), где q — скорость звука в исходном покоящемся газе). [c.243]

Регистрация и обработка экспериментальных данных па ЭВМ 58 Режим номинального отклонения 44 Решение с помощью рядов 171 — 173 Решетка активная 33, 59, 72 [c.388]

Гамильтонов подход к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами существенно проще классического метода интегрирования с помощью рядов. [c.330]

С помощью ряда (5.30) можно получить решение, если на рассматриваемой кривой известны значения функции ф и ее производные любого порядка 5"ф/(3х , и т. п. Так как обычно на этой кривой заданы значения производных первого порядка 5ф/(3х, дц> ду, то необходимо дополнительно найти производные более высокого порядка. При решении газодинамических задач обычно достаточно знать производные второго порядка, т. е. д дх , 6 I(дхду), д ду . Следовательно, решение задачи Коши в рассматриваемом классе задач связано с определением дополнительных условий, позволяющих определить указанные производные потенциальной функции ф более высокого порядка, входящие в (5.30). [c.146]

Рассмотрим решения нескольких задач устойчивости стержней энергетическим методом. Исследуем устойчивость шарнирно опертого стержня при двух вариантах закрепления верхнего конца в осевом направлении (рис. 3.12, а и б) 1) верхний конец может свободно смещаться в осевом направлении 2) верхний конец закреплен неподвижно. Очевидно, и в том и в другом случае решение можно получить с помощью ряда [c.95]

Вебер пишет уравнения относительного движения вязкой жидкости и соответствующие граничные условия. При этом, вследствие малости возмущений поверхности и пульсаций давления, а также их производных, Вебер пренебрегает произведениями и высшими степенями указанных величин. Это дает возможность при написании уравнений относительного движения вязкой жидкости для малых колебаний пренебречь конвективными членами. В результате вместо полной производной от скорости по времени получаются частная производная и система линейных уравнений. Решение этих уравнений слагается из отдельных частных решений, например, с помощью рядов Фурье. [c.29]

Выбор уплотнения. Выбор уплотнения для конкретных условий применения требует рассмотрения ряда факторов. Поскольку сильфонные торцовые уплотнения применяются при возникновении сложных проблем, недоступных для решения с помощью обычных осевых механических уплотнений, то и условия работы носят более критический характер. Следует принимать во внимание такие факторы, как окружающую среду, температуру, давление, скорость скольжения, наличие вибрации, располагаемое место для размещения, необходимую длительность службы. [c.106]

Эти уравнения решаются с помощью ряда, коэффициенты которого представляют собой функции от параметра теплоотдачи Sq. Методы численного интегрирования решения могут быть распространены за область радиуса сходимости ряда. Детально рассмотрены два частных случая случай малой интенсивности теплоотдачи, когда температура поверхности тела весьма незначительно отличается от температуры изолированного тела (So O), и случай интенсивного теплообмена, когда температура поверхности тела имеет тот же порядок величин, что и температура внешней границы пограничного слоя (So l). [c.101]

Зависимость или д от времени нагрева представляется с помощью ряда по степеням критерия Ро = а1/52 (а — коэффициент температуропроводности материала, лй/час 8 — характерный размер тела, ж). Коэффициенты степенного ряда находятся из общего решения задачи при указанных выше технологических условиях, после чего [c.318]

Подставим (4.47) в уравнения (4.46), записанные с учетом (4.45) и согласно правилам решения с помощью степенных рядов положим в этих уравнениях z = 0. Система (4.46) даст два линейных и одно нелинейное уравнение для определения функций il)i, <1>а [c.133]

Оно выражает обратное преобразование Фурье (нахождение оригинала по изображению). При решении линейных дифференциальных уравнений изображение неизвестной функции находится чрезвычайно просто и задача сводится к отысканию оригинала по изображению. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа играют большую роль в современных математических методах. Перейдем теперь к представлению стационарных случайных функций с помощью рядов Фурье. [c.175]

Решение с помощью уравнений равновесия задачи о больших прогибах свободно опертых пластин. Для прямоугольных свободно опертых по краям пластин отыскивать решение можно начать с задания прогиба w и поперечной нагрузки р в форме (4.21) и (4.22), которая ранее использовалась для линейного случая, т. е. в виде двойных рядов по функциям синуса от х и у [c.292]

В настоящее время разработано несколько практических способов численного обращения преобразования Лапласа, которые основываются на определении численных значений оригинала по соответствующим значениям изображений в равноотстоящих точках на действительной оси [73]. Для решения рассматриваемой задачи используется метод численного обращения преобразования Лапласа с помощью ряда Фурье [125]. Сущность его состоит в том, что известный интеграл Лапласа [c.290]

Лаплас, к сожалению, не имел обыкновения давать точные указания источников, так что, повидимому, немногим из его читателей было знакомо первоначальное изложение ) кинетической теории именно там дано решение этого случая в очень убедительной, хотя и несколько иной форме. Пытаясь сначала получить приближенные решения с помощью конечного ряда [c.433]

В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел или сред определяют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния. Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится Б механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений. Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда методов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова. [c.385]

Причина такого абсурдного результата в том, что действительная скорость на теле конечна. Поэтому при г/о(0)=0 существенную роль в решении должно играть следующее приближение, которое, однако, нельзя получить с помощью рядов по целым степеням к. В самом деле, из уравнения Бернулли или из уравнения (5.1.22) на теле с помощью формулы Ньютона получим [c.162]

Итак, были приведены несколько иллюстраций методов решения с помощью рядов с использовмием аналогичных случаев, с тем. чтобы полученные результаты можно было сравнить с известными. Для практических задач правильный ответ, разумеется, не будет известен, но, как можно видеть из сравнения результатов, полученных с использованием достаточно большого числа членов ряда, при этом можно получить ясное представление [c.99]

Решение соответствующей задачи было получено и для других форм отверстий, я также для круглого отверсгия в полубесконечном теле <). Кроме того, с помощью рядов была рассмотрена осесимметричная задача о сферической полости ). [c.479]

Широкое развитие ЭВМ, появление языков программирования высокого уровня, приспособленных для решения инженерных задач (ALGOL, FORTRAN, PAS AL и т. д.), делает возможным перевод ряда классических гидравлических задач повышенной трудоемкости на ЭВМ. Задачи, представленные в предыдущих главах, целесообразно решать с помош,ью микрокалькуляторов и некоторых традиционных графических методов, так как время на составление и отладку простой программы будет одного порядка с временем, затрачиваемым на ее решение с помощью более простых вычислительных средств. По мере усложнения алгоритма решения задач или в случае необходимости проведения массовых однотипных расчетов становится целесообразным проводить работу на микро- и мини-ЭВМ со стандартной структурой. Разумеется, появление ЭВМ позволило ставить и решать задачи такой сложности, которые ранее не могли быть решены, однако мы считаем необходимым в настоящей главе привести достаточно известные типы задач, которые с применением ЭВМ могут быть решены значительно быстрее. [c.136]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

Рассмотрена стадия процесса коррозии одно- и двухфазных металлических покрытий в расплавах щелочных металлов, для которой лимитирующим процессом является диффузия металла покрытия. Получены аналитические решения, с помощью которых можно прогнозировать долговечность рассматриваемых покрытий для ряда конкретных условий зксплуатации в расплавах щелочных металлов. Проведенная экспериментальная проверка на примере коррозии двухфазного хромового покрытия на армко-железе в конвективном потоке натрия показала удовлетворительное соответствие между расчетными и зкспери-нентальными данными. Дит. — 2 назв., ил. — 3. [c.260]

В работе [76] по формальным методам синтеза контактных схем А. Г. Лунц ввел операции над логическими функциями, в результате которых на основе матриц Л и В одинаковой размерности тХп можно получить новую матрицу С той же размерности. Элементы матрицы С получаются через элементы матриц А и В применением различных логических функций. Покажем, что геометрическая интерпретация операций над скелетными матрицами дает возможность эффективно решать некоторые наиболее употребительные прп автоматизированном проектировании геометрические задачи. Рассмотрим решение с помощью рецепторных матриц ряда задач, которые были решены выше аналитическими методами. [c.251]

Интересна и прямо противоположная попытка описания неоднородного псевдоожижения как сугубо детерминированного процесса, лишенно1 о всяких элементов случайности. Такой подход предложен в Л. 120]. Авторы его справедливо подчеркивают привлекательность соединения экспериментальных исследований и аналитического аппарата. Затем, полагая, что профили локальных скоростей газа могут быть получены из эксперимента, они аналитически исследуют движение твердой фазы неоднородного псевдоожиженного слоя. Сделав ряд упрощающих допущений, авторы получают уравнения движения частицы и исследуют их решения с помощью качественной теории дифференциальных уравнений. В результате исследования дается физическая интерпретация, объясняющая возникновение разрывов слоя и статистически стационарных зон повышенной концентрации твердой фазы. [c.13]

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении-задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели-к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже-в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими мегодами с помощью рядов Фурье или Фурье — Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения, ее стандартность дают методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами. [c.82]

Вначале с помощью ряда допущений попытаемся решить эту задачу аналитически для относительно тонкой пыли, когда влиянием вторичных явлений можно пренебречь. Представим, что в пылеконцентраторе с Гк=0,5 )к, длиной Lk и Гсбр=0,5/)сбр движется пылинка размером S, начальный радиус ввода которой в пылеконцентраторе равен Гр=0,5Др. Примем, что пылинка движется равномерно относительно потока только в радиальном направлении, а радиальная составляющая скорости газа отсутствует (Шг=0). Слёдует отметить, что сделанные допущения являются обычными при подобного рода аналитических решениях. [c.75]

I) справедливо и для системы (2), однако в последнем случае для разрешимости обратной задачи рассеяния требуется накладывать ряд дополнит, условий на данные рассеяния. Помимо стандартных методов для системы (2) существует метод построения решения с помощью преобразования Беклунда — Шлезингера. А именно, если Qo и Го—решения (2), то [c.473]

Формула (11.15), применяемая к решетке кругов при. заданнь1х комплексных коэффициентах С, дает семейство 2 (./V 4-1)-параметри-ческих теоретических решеток, форма профилей которых, очевидно, зависит от густоты решетки, т. е. от параметра -/.. Г. С. Самойло-вич, развивая с помощью ряда (11.15) решение основной прямой задачи теории гидродинамических решеток [63], решил одновременно и наиболее общую задачу построения теоретических решеток с любой густотой и углом установки наперед заданных профилей. [c.102]

Г. Н. Дубошин в 1926—1930 гг. опубликовал серию статей О форме траекторий в задаче о двух телах с переменными массами . Эта задача сводится к изучению интегро-диффереицпальпого уравнения, решение которого выражается с помощью рядов, располо кенных по степеням малого параметра. [c.299]

Перейдем к рассмотрению кручения стержня прямоугольного поперечного сечения с произвольным отношением сторон hfb (рис. 8.21). Решение этой задачи получается с помощью рядов. Ограничимся рассмотрением конечных результатов. Анализ показывает, что в угловых точках сечения напряжения равны нулю. Наибольшие по абсолютной величине напряжения, возникаюпще в серединах длинных сторон прямоугольника (в точках А и В), могут быть найдены по формуле [c.177]

В заключение отметим, что фундаментальное решение для упругой тонкой круговой цилиндрической оболочки, полученное с помощью ряда Фурье по окружной координате и использования интеграла Фурье, впервые получено С. Юанем [87] в 1946 г. при дей- ствии радиальной сосредоточенной силы и использовании теории пологих оболочек. Это решение обобщено В. М. Даревским [22] на случай нагрузок общего вида, равномерно распределенных по малым прямоугольным площадкам. Причем В. М. Даревский использовал теорию непологих оболочек в варианте А. Лява [74]. Формальное отличие приведенного здесь решения от указанных и, в частности, от данного в работе Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [14] состоит в использовании тригонометрической формы записи [c.265]

При малых перемещениях такие колебания с различной частотой могут быть наложены друг на друга, а математически это можно описать с помощью ряда (2.18) (выражающего признак суммирования), приравняв, как это делалось в соотношении каждый коэффициент ряда, стоящего в левой части равен-втва (2.19), соответствующему коэффициенту ряда, стоящего вправа, как это было сделано с уравнением (2.9). Однако по существу это означало бы скорее наложение отдельных явных решений, чем решение в рядах типа обсуждавшегося ранее, где 1фвбуется, чтобы все члены ряда вместе давали одно решение. [c.76]

При любых вычислениях, проводимых с помощью рядов, необходимо удерживать какое-то конечное число членов ряда. Если начать с определенного числа членов ряда (т. е. определенных значений р и д), то число членов будет значительно увеличиваться каждый раз при перемножении рядов, но в данном случае достаточно удержать в каждом ряде по десять членов, используя значения рд, представленные в матрице (6.13). Этд значения достаточно хорошо описывают развитие высших гармоник в направлении оси X и отражают тот известный факт, что член с номером 20 явдяется более существенным, чем член с номером 02. Эти члены использовал в своем окончательном решении Б. Элм-роз, который любезно предоставил значеция параметров кип, а также коэффициентов W q, которые были юлучены в его реше- [c.412]

Другой прием построения матрицы фундаментальных решений с помощью матричных рядов можно найтн в [13]. Для расчета оболочек вращения этот прием совместно со стыковкой элементов впервые использовался в работе [12]. [c.33]

На протяжении XVIII—XIX столетий были составлены различные варианты дифференциальных уравнений задачи п тел, установлены методы их редукции посредством найденных первых интегралов, изучены частные решения, указаны приближенные методы решения задачи с помощью рядов, рассмотрены вопросы устойчивости соответствующих систем дифференциальных уравнений, предложены качественные методы изучения задачи. Созданная на рубеже XIX и XX столетий качественная теория дифференциальных уравнений открыла новые возможности в исследовании проблемы п тел, которые в значительной степени реализованы в трудах ученых XX в. [c.87]

Вопрос о схематизации реальных конструкций является одним ии главных. Точность расчетов на основе предложенных схем в большой степени зависит от принятых допущений. Ряд технологических задач, возникающих на сборке сложных деталей, может быгь решен с помощью метода конечных элементов, а также экспериментальными методами. [c.846]

При помощи двух ЭВМ-программ, основанных- на методе ГИУ, было получено численное решение в случае нормальных напряжений, действующих вдоль оси симметрии короткого бруса. Этими программами были PESTIE и сходная с ней программа, использующая линейную аппроксимацию граничных значений. Численные результаты сопоставлены с решением, полученным при помощи рядов Фурье [8], что показано в табл. 2(a). Для обеих программ во всех точках наблюдается сравнительно хорошее совпадение с решением при помощи рядов. Решение в рядах испытывает колебания при изменении от 6 до 10. Можно предположить, что при этом было взято [c.141]

Как будет видно из дальнейшего изложения, решение задачи получается в виде бесконечных рядов, сходимость которых зависит от расстояния до излучателя. Для точек, расположенных вблизи излучателя, получаются слабо сходящиеся ряды. Для удаленных точек можно найти решение с помощью интегралов Френеля или рядов Ломмеля. Для очень удаленных точек пространства можно пользоваться асимптотическими приближениями. В соответствии с изложенным выше поле излучателя можно разделить на несколько областей непосредственно примыкающую к поверхности излучателя, френелевой дифракции, переходную и дальнего поля. [c.270]

Кроме рассмотренных кинематических схем лифтов, в зависимости от предъявляемых требований к лифтовой установке, применяют схемы с полиспастным подвесом кабины противовеса или только противовеса. Имеется ряд кинематических решений, с помощью которых увеличивается сцепление каната с канатоведущим ш кивом. [c.10]

Эта формула описывает так называемый линейный вихревой диполь, или просто вихревой диполь, с моментом т. Легко показать, что линии тока и эквипо-тенциали представляют собой окружности, касающиеся начала координат. Причем центры окружностей для линий тока и эквипотенциалей лежат соответственно на осях X и у. Напомним, что для обычного диполя, состоящего из источника и стока, комплексный потенциал имеет вид = т/2яг. Из сравнения с (2,26) следует, что различие между вихревым и обычным диполями заключается в том, что линии тока и эквипотенциали меняются местами. Выше была описана прямолинейная вихревая нить в безграничном пространстве (или точечный вихрь на неограниченной плоскости). При наличии твердых границ в ряде частных случаев можно найти аналитическое решение с помощью метода отражений. В частности, для точечного вихря в области, ограниченной вещественной осью, отраженный вихрь имеет равную по величине и противоположную по знаку циркуляцию (рис, 2.6). Комплексный потенциал системы и индуцированное поле скоростей имеют соответственно вид [c.94]

Рассмотрение в рамках балансовых уравнений показывает, что лазер является устойчивой динамической системой, которая возвращается к положению равновесия (стационарному состоянию) при любом отклонении от него. Это явно контрастирует с реальной пичковой структурой излучения, наблюдающейся в эксперименте. Такое различие, оживленно дискутировавшееся в литературе, связано с рядом обстоятельств, главным из которых является чрезвычайно большая чувствительность лазера к внешним возмущениям его параметров [9, 10] уровня инверсии из-за флуктуаций мощности накачки, потерь в резонаторе, его длины. Рассмотрим для определенности влияние гармонических колебаний добротности С(/)= (1—Ql os 2/) на частоте Q с амплитудой Ql. Подстановка этого выражения в балансные уравнения и их решение с помощью теории [c.199]

Для плоских установившихся движений газа Л. И. Седов предложил использовать в качестве независимых переменных давление р и функцию тока г , а в качестве искомой функции — угол 0 наклона вектора скорости к оси X. Для функции 0 р, г ) также получается уравнение, линейное относительно ее вторых производных. Л, И. Седов (1950) и М, П. Михайлова (1949) рассмотрели решение задачи Коши для этого уравнения с помощью рядов р1азличного вида и изучили его характеристики, Седов нашел точные решения уравнения для 0, в том числе решение, обобщающее решение Прандтля — Майера на некоторый класс вихревых течений, а также установил свойства монотонности изменения газодинамических параметров вдоль характерных линий в области течения эти свойства обобщают аналогичные предложения для безвихревых течений, установленные А, А. Никольским и Г, И, Тагановым (1946), Седову удалось найти частные примеры точного решения задачи сверхзвукового обтекания тела со смешанным течением за скачком, но для неоднородного набегающего потока. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...