Множители в теории уравнений движения

В уравнения движения время t явно не входит. Исключая имеем пять уравнений, для которых найдены четыре первых интеграла. Согласно теории последнего множителя ) задача сводится к квадратурам. С. В. Ковалевская доказала, что кроме четырех случаев — Эйлера, Лагранжа, полной кинетической симметрии А = В = С и ее — нет случаев, когда общее решение уравнений движения является мероморфной функцией в комплексной плоскости переменного t. [c.197]

Приложение теории последнего множителя Якоби к уравнениям динамики в независимых координатах. Применим полученные результаты к уравнениям движения. Положим, что все связи рассматриваемой материальной системы конечны ( 161), а приложенные к ней силы не зависят явно от скоростей тогда гамильтоновы уравнения движения будут следующие [формула (33.21) на стр. 346] [c.434]

Следует отметить, что из скалярного уравнения, каковым является уравнение (44), могут быть получены приравниванием коэффициентов при и а V в левой и правой частях и другие формулы для X и У. Необходимость именно последних формул и, в частности, множителя в формуле для X и множителя Кг в формуле для У можно обнаружить, применив теорему количества движения. По этой теорема импульс результирующей аэродинамической силы Л можно приравнять изменению количества движения прис единенной массы, взятому с обратным знаком (сила Л приложена к телу) [c.338]

Вместо условий на ускорения, которые можно получить из уравнений связей, для устранения неопределённости реакции обратимся к принципу наименьшего действия. Иначе говоря, будем решать задачу определения реакций как задачу оптимального управления движением. В качестве критерия оптимальности примем действие, а в роли управлений будем рассматривать неопределённые множители. Неопределённые множители входят в уравнения движения линейно, поэтому здесь применимы методы теории особых оптимальных управлений [23. [c.235]

Поскольку движение систем с дифференциальными связями нередко описывают уравнениями, содержащими реакции этих связей или неопределенные множители Лагранжа, то применение теории Рауса к таким системам требует особой внимательности [14, 20]. Дело в том, что указанные выше уравнения систем с дифференциальными связями не могут быть представлены в виде (1), так как для реакций связей или неопределенных множителей Лагранжа нет соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для применения теории, изложенной в предыдущих параграфах, к неголономным системам, необходимо исключить зависимые скорости из выражений всех первых интегралов указанных уравнений движения системы с помощью уравнений неголономных связей. При этом полученные функции будут представлять собой первые интегралы уравнений движения рассматриваемой системы, записанных в форме Чаплыгина (см. следующий параграф), Воронца, Больцмана-Гамеля и др., которые не содержат реакции связей и неопределенные множители Лагранжа и представимы в виде (1), а сами первые интегралы примут вид (2). [c.436]

По сложившейся традиции в курсы аналитической механики включают общие уравнения движения голономных и неголономных систем, вариационные принципы, теорию канонических преобразований, канонические уравнения с теорией интегрирования их (теорема Гамильтона — Якоби), интегральные инварианты, теорию последнего множителя и т. П. основные законы механики считаются известными и не подвергаются обсуждению. [c.9]

В третьей главе излагается аналитическая механика неголономных систем. Излагаются различные формы уравнений движения неголономных систем и вносится ясность в вопрос об использовании перестановочных соотношений. Рассматриваются импульсивные движения неголономных систем, выводятся условия существования первых интегралов и излагается теория приводящего множителя Чаплыгина. [c.2]

В своей работе [2 ] С. А. Чаплыгин изложил теорию приводящего множителя применительно к уравнениям в истинных координатах. Однако, уже в примере о плоском неголономном движении, иллюстрирующем теорию приводящего множителя, он использовал переменную, которая фактически является квазикоординатой. Хотя это обстоятельство не было отмечено Чаплыгиным и все обоснование теории приводящего множителя было проведено им лишь для истинных координат, примеры Чаплыгина верны. Более того, не представляет труда обобщить теорию приводящего множителя Чаплыгина на случай квазикоординат. В настоящем параграфе эта теория излагается именно в таком обобщении. [c.203]

Связи третьего и четвертого рода не отражаются на уравнениях движения в переменных поля первого и второго рода, что, по-видимому, не противоречит указанному выше положению континуальной теории дефектов. Эти связи влияют в форме множителей на поле тензора деформаций, что соответствует общему смыслу теории, указанной Эшелби [113]. [c.44]

Исследования Брунса относятся к ряду (6), в то время как фактически в теории возмущений ряды имеют форму (5) или (4 ). Из сходимости ряда (6) следует, что (5) также сходится, но ряд (5) не обязательно должен расходиться для тех значений v, которым соответствуют точки расходимости ряда (6). Действительно, тригонометрические множители в ряде (4) способствуют тому, чтобы решение этого дифференциального уравнения можно было представить аналитической функцией отношения средних движений п и п ). [c.510]

Уравнение (XV.32) есть дифференциальное уравнение движения жидкой фазы газированной жидкости при соблюдении условий (п. п. 1—6). Оно отличается от дифференциального уравнения теории упругого режима (XII.14) тем, что множитель при в левой части уравнения не постоянный, а переменный. [c.331]

Возмущенные значения скорости и давления также пропорциональны множителю Q p ikx - /со О- Описание возмущенного движения осуществляется на основе полных уравнений Навье—Стокса при сохранении во всех соотношениях тех членов, в которые возмущенные величины входят лишь в первой степени (отсюда название линейная теория ). С точностью до линейных по возмущениям величин записываются и граничные условия на стенке и свободной поверхности пленки. Последние учитывают действие силы поверхностного натяжения (из-за искривления поверхности). Предполагается также, что трение на свободной поверхности пленки равно нулю. Линейная теория описывает полностью (с точностью до абсолютного значения амплитуд возмущенных величин) возникающее движение и позволяет установить значение частот со при известных волновых числах к и остальных параметрах задачи. Исследование этой зависимости и составляет центральную задачу линейной теории устойчивости. [c.166]

Изложенная теория позволяет определить движение в общем случае. Уравнения (2.2.10) и (2.2.9) показывают, что величины X, Х ,. . ., Х могут быть выражены с помощью L множителей Я, [c.37]

Приложение теорий последнего множителя к уравнениям несвободного движения, содержащим множители связей. Задача интегрирования уравнений несвободного движения, содержащих множители связей, значительно сложнее подобной же задачи, относящейся к уравнениям в независимых координатах тем не менее, теория последнего множителя Якоби может и здесь оказать свою помощь. По предыдущему, для того чтобы упомянутая теория могла быть приложена с пользою, нужно знать наперёд, до окончания интеграции, хотя одно значение множителя данной системы. Во избежание длинных выкладок- мы ограничимся [c.436]

Несжимаемые шела. Известно, что многие упругие при конечных деформациях материалы деформируются без заметного-изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов. Кроме того что все движения несжимаемых материалов происходят без изменения объема, их характерной особенностью-является то, что тензор напряжений не полностью определяется деформацией. Действительно, ясно, что к напряжениям в деформированном несжимаемом материале можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т. е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное приложение гидростатического давления к несжимаемому упругому телу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или, для гиперупругих материалов, энергию деформации. Поскольку изохорическим движениям соответствует равенство единице третьего главного инварианта /д, уравнение состояния для несжимаемых материалов имеет вид [c.249]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями применяются главным образом для исследования движений систем с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных координат оказывается затруднительным. Подробное изложениг теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с множителями, относится к специальному курсу аналитической механики ). [c.420]

Задача о движении системы с го-лономными связями формально всегда может быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых координат. Однако для задач с неголономными связями общего метода решения не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения и тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При формальном изложении классической механики почти всегда предполагается, что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной практике нередко встречаются неголоном-ные связи. Причина этого состоит в том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в макроскопических задачах. Но современных физиков интересуют главным образом микроскопические системы, в которых все объекты (как внутри системы, так и вне ее) состоят из молекул, атомов и еще более мелких частиц, порождающих определенные силы. Понятие связи становится в таких случаях искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь как математические идеализации, полезные при описании [c.25]

Чтобы показать ириложенвя теории множителя, мы рассмотрим сначала случай, в котором, в отличие от всех оста.аьных примеров, к которым относится это исследование, Х Y , будут не только функциями от координат, но будут также содержать скорости, где таким образом М не будет постоянной. Это будет случай планеты, которая движется вокруг солнца в сопротивляющейся среде. Если не принимать во внимание сопротивления, то уравнения движения планеты, как известно, будут [c.110]

В этих двух уравнениях и скрыт ключ к пониманию того основного в теории снегоотложения обстоятельства, что усиленное отложение снега наблюдается всегда в местах затигаья. Когда компоненты скорости ветра U ж V велики, то при тех малых значениях массы снежной частицы, с которыми приходится встречаться на практике, мы имеем право пренебречь в написанных выгае уравнениях теми членами, в которые входит множителем весьма малая величина т. Таким образом, инерция снежной частицы и сила тяжести отходят на задний план по сравнению с влиянием на движение снежной частицы скорости ветра, и мы получаем вывод, что в этом случае компоненты скорости снежной частицы равны компонентам скорости ветра, благодаря чему и траектории снежных частиц совпадают с линиями тока воздуха. Этот вывод будет тем более близок к истине, чем больгае будут компоненты скорости ветра и чем меньгае масса т снежной [c.107]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Рассмотрим случай, когда потенциал V(а, /3, 7) квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно [18, 19, 20, 21, 146]. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволю-тивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в п-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О. И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи. [c.212]

Подробное исследование нелинейного аспекта аналитической механики сплошной среды выходит за пределы программы настоящей работы. Отметим лишь, что отделение равенств (2.100) указывает на причину игнорирования поля множителей [д, при рассмотрении вопросов механики сплошной среды в линейном приближении. Если оставаться в пределах этого приблилсения, то порядок системы уравнений движения существенно снижается. Не будем останавливаться на этом, так как результаты линейного приближения хорошо известны из различных разделов классической механики сплошной среды, например из теории упругости, гидродинамики и т. д. [c.50]

Предполагая в предыдущем разделе существование независящего от начальных условий отклика системы на действие внешней силы, мы неявно постулировали наличие процессов релаксации. Эти процессы приводят к забыванию системой ее начального состояния, к установлению стационарного отклика при воздействии гармонического возмущения и к возвращению системы к тепловому равновесию после выключения силы. Релаксация вводится в динамическую теорию с помощью термостата — второй системы, имеющей бесконечное число степеней свободы и, следовательно, бесконечную длительность цикла Пуанкаре , т. е. периода повторения состояния. В классические теории релаксация легко вводится феноменологически — добавлением в уравнение сил трения, пропорциональных скорости. В дина-мичес1ше квантовые модели бесконечно слабая релаксация и необратимость уравнений движения вводится с помощью адиабатического множителя е при энергии возмущения (2.3.23). [c.74]

И представляет сумму двух волн произвольной формы, из которых одна расходящаяся от центра, а другая сходящаяся к центру. Эго решение, за исключением наличия множителя ( // ), совершенно подобно уравнению (8.1) для волн в струне, а также уравнению для плоских звуковых волн, выведенному в 23. Таким образом, сферические волны более похожи на плоские волны, чем на цилиндрические волны. Плоские волны во время движения не изменяют своей формы и амплитуды сферические волны при распространении не изменяют своей формы, но амплитуда их уменьшается благодаря множителю (1/г) что же касается цилиндрических волн, то они при распространении меняют и форму и амплитуду, оставляя за собой след . Фиг. 40 и 41 показывают, что если цилиндр излучает звуковой импульс (пакет волн), то распространяющаяся волна имеет резкое начало, но не имеет резкого конца давление на расстояние г от оси равно нулю до момента Ь = (г/с) после начала имп льса, но оно не принимает снова равновесного значения после прохождения импульса. При плоских и сферических волнах волновой импульс обладает резким началом и концом, причём давление снова принимает равновесное значение после прохода импульса. Эти свойства служат примером общего закона (доказываемого в курсах по теории волнового движения), согласно которому волны при нечётном числе измерений (один, три, пять и т. д.) не оставляют за собой следа, тогда как при чётном числе измерений (два, четыре и т. д.) они оставляют след. [c.343]

Но для аналогичной задачи теории упругого режима результат решенвя известен. Можем воспользоваться этими готовыми формулами для решения задачи настояш его параграфа. Следует только помнить, что в задаче по движению газированной жидкости роль коэффициента пьезопроводности пласта х играет постоянный множитель / poto/mjijK, в чем легко убедиться, сравнив уравнения (XII.14) и (XV.36). [c.332]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Приведенная выше простая теория содержит предположение, что образец подчиняется закону Гука и что перемещение его конца пропорционально приложенной силе. Если образец ведет себя вязко-упругим образом, то в уравнении (6.5) будет еще один дополнительный член, содержащий выражение dxjdt, и, хотя уравнение (6.6) сохраняет силу, уравнение (6.7) будет теперь содержать экспоненциальный множитель демпфирования. Значит, симметричная форма будет медленно затухать, тогда как асимметричная форма будет незатухающей (если исключить сопротивление воздуха). Если при этих условиях один маятник приведен в движение, то колебания не прекращаются полностью, а будут проходить через минимум. Отношение минимальной амплитуды к максимальной дает меру вязких потерь в образце это было использовано Коваком [76] для измерения внутреннего трения пластиков. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...