Декартова система координат обобщенная

Координаты текущей точки С, на конструктивном профиле в полярной системе координат Re, и фо = г(), + Vii в декартовой системе координат Лх" у — хс/, y J (на чертеже рге обозначены). Габаритные размеры Г(), / ,,, S , е принимают заданными или вычисленными ранее. Перемещение толкателя — текущее значение и Н --ход толкателя) заданы в функции обобщенной координаты ф, либо в аналитической форме, либо в форме массива (таблицы) значений. [c.463]

Уравнения равновесия нулевого приближения в декартовой системе координат. Получим уравнения равновесия стержня при малых обобщенных перемещениях ы, и с использованием нелинейных уравнений (1.84) — (1.88). В декартовых осях уравнения (1.84) и (1.85) принимают вид [c.46]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Эти уравнения уже частично соответствуют установленным выше требованиям, чтобы уравнения движения были выражены с помощью двух скалярных функций Т и V. Следующий этап состоит в замене декартовой системы координат системой обобщенных координат. [c.28]

Обобщенные скорости и ускорения. При движении системы ее обобщенные координаты изменяются со временем. Величины qj и qj (j = 1, 2,..., т) называются соответственно обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями. Скорости и ускорения точек системы в декартовой системе координат найдем, продифференцировав сложные вектор-функции времени (21) [c.44]

Уравновешивание двумя вращающимися массами. Представим, что главный вектор сил инерции пространственного механизма является функцией некоторой обобщенной координаты ф е [О, 2я], например угла поворота ведущего звена. Очевидно, проекции его на оси декартовой системы координат 0Х 2 также будут функциями ф, т. е. [c.50]

Такой подход позволил применить мощный аппарат комплексной переменной, который базируется на изображении гармонической функции режимных параметров ЦН (напоров, расходов, мощностей и др.) в виде обобщенного комплексного вектора в полярной или декартовой системе координат. В свою очередь, использование аналогии между гидравлическими и электрическими параметрами создало основу для ввода понятия комплексного гидравлического сопротивления. [c.6]

Такой подход предоставляет возможность применить для моделирования РЦН и анализа режимов его работы мощный аппарат комплексной переменной [45], который базируется на изображении гармонической функции скорости и других режимных параметров насоса (расходов, мощностей и т.д.) в виде обобщенного комплексного вектора в полярной или декартовой системе координат. В частности, в координатах комплексной плоскости (рис.5.3) запись для определения средней скорости в сечении отвода, содержащем точку 2, будет иметь вид [c.69]

При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют тот же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравнения обобщенного закона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия в перемещениях (в декартовой системе координат) будут иметь вид (1.6.9) при следующих значениях коэффициентов [c.72]

Тензорные обозначения. Обобщенное дифференциальное уравнение (3.4) записано в декартовой системе координат. Более компактно оно может быть записано в тензорных обозначениях [c.68]

Именно с такой по величине скоростью движется центр инерции цилиндра в обсуждаемом режиме. Выкладки с использованием формул (1.1) преобразования обобщенных координат в декартовы и параметрических уравнений (7.8), (7.10) траектории центра инерции цилиндра в системе обобщенных координат приводят к следующему уравнению траектории центра инерции цилиндра в декартовой системе координат [c.109]

В п. 2 соотношения ассоциированного закона пластического течения приведены для случая, когда в качестве обобщенных переменных приняты величины главных значений тензоров напряжений и скоростей деформаций, а также направляющие косинусы, определяющие ориентацию главных направлений в декартовой системе координат. [c.38]

Связь компонент обобщенных напряжений в декартовой системе координат с главными компонентами определяется соотношениями [c.503]

В общем случае главные направления 1, 2, 3 и 1, 2, 3 не совпадают между собой. Для компонент обобщенных скоростей деформации в декартовой системе координат и главных компонент обобщенных скоростей деформации имеют место соотношения [c.504]

Система уравнений обобщенной взаимосвязанной динамической задачи термоупругости в декартовой системе координат допускает частные решения — моды, которые зависят от времени и одной из [c.269]

Перемещения системы, совместимые со связями, носят название возможных перемещений. Если тело расположено в пространстве и его движения не ограничены никакими дополнительными связями, то число его возможных перемещений равно шести. Например, в декартовой системе координат это три координаты перемещения центра тяжести этого тела и три Эйлеровых угла его поворотов [2]. Все шесть координат являются обобщенными и число степеней свободы твердого тела тоже равно шести. Вместо Эйлеровых углов (прецессии, нутации и ротации) в качестве обобщенных координат могут быть выбраны корабельные либо самолетные (рысканья, тангажа, крена) углы [2]. [c.837]

В общем случае анизотропии каждая составляющая деформации является линейной функцией всех шести составляющих напряжений. Рассмотрим однородное тело, обладающее анизотропией самого общего вида. Отнеся его к декартовой системе координат, положение которой пока уточнять не будем, запишем уравнения обобщенного закона Гука для этой системы (с очевидными сокращениями) [c.23]

Заметим, что условно, исключительно для простоты изложения, мы можем называть прямолинейно-анизотропным и неоднородное тело, если уравнения обобщенного закона Гука для него задаются в декартовой системе координат А а — заданные функции х, у, г). [c.25]

В настоящей главе рассматриваются частные случаи упругого равновесия тела с прямолинейной анизотропией, ограниченного цилиндрической поверхностью, на которое действуют поверхностные и объемные усилия, нормальные к образующей и не меняющиеся по длине. Если коэффициенты ац, Aij также не меняются по длине и плоскости поперечных сечений совпадают с плоскостями упругой симметрии, то эти сечения остаются плоскими и после деформации и напряженно-деформированное состояние известно под названием плоской деформации. В более общих случаях анизотропии, когда плоскости упругой симметрии пересекают геометрическую ось под углом не равным 90°, или параллельны ей, или совсем отсутствуют, то деформацию уже нельзя назвать плоской ее можно назвать обобщенной плоской деформацией . В главе 4 исследование ведется в декартовой системе координат, т. е. предполагается, что обобщенный закон Гука выражается уравнениями (18.3), где atj — постоянные. Рассмотрен также случай прямолинейно-ортотропного неоднородного тела и ряд частных задач. [c.131]

Как известно, простейшей аппроксимацией, описывающей симметричные относительно срединной поверхности колебания пластин, является обобщенное плоское напряженное состояние. Эта аппроксимация легко получается из трехмерных уравнений теории упругости. Поясним это на примере пластины, ориентированной в прямоугольной декартовой системе координат х, у, г так, что ее срединная плоскость описывается уравнением 2=0, а боковые поверхности — уравнениями г= Н. Уравнения теории упругости записываются в виде уравнений движения малого элемента [c.169]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений q ]1 q ж может быть представлено изображающей фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат q, q, если откладывать по оси абсцисс обобщенную координату q, а по оси ординат — обобщенную скорость q. Такая плоскость называется фазовой. [c.18]

Течение Куэтта является простейшим видом течения. В случае более сложного трехмерного течения жидкости закон Ньютона записывается в обобщенном виде в декартовой системе координат [81] [c.20]

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат 6<7i, в< 2.....(105) также между собой независимы. При этом каждая из величин (105) определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы. Как при всяком переходе от одной системы координат к другой, декартовы координаты Xt , у , Zt любой точки рассматриваемой механической системы можно выразить че ез обобщенные координаты зависимостями вида x =Xk qi, [c.370]

Закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы. Вновь рассмотрим замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле, которое получается в результате взаимодействия точек системы. Как и ранее, в качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и рассмотрим преобразование поворота системы координат вокруг, например, оси г [c.292]

Решение. Задачу будем решать по (262). Направим оси декартовых координат как указано на чертеже (рис. 192). За обобщенную координату примем угол ф отклонения маятника от вертикали, т. е. будем отсчитывать обобщенную координату ф от положения устойчивого равновесия системы. Тогда обобщенная скорость (259) [c.436]

Таким образом, чтобы найти движение данной системы точек, т. е. траекторию, и закон движения по ней каждой точки, достаточно найти сначала в функциях времени все обобщенные координаты р1, а затем по формулам, выражающим декартовы координаты точек системы через обобщенные координаты, можно выразить все декартовы координаты в функциях времени, т. е. установить движение системы. [c.323]

Если применять систему 2N координат х , в которой N координат совпадает с обобщенными координатами у>, а остальные N — с обобщенными импульсами Р), то отмеченные тензорные свойства Р] сохраняются лишь тогда, когда система координат х —декартова. В какой-либо иной системе координаты не являются тензорными величинами. Следовательно, в системе координат X естественная метрика является евклидовой. [c.389]

Рассмотрим теперь плоские задачи теории упругости. В слу- чае плоской задачи при соответствующем выборе декартовой системы координат хОуг существенными аргументами для искомых функций являются только координаты X ж у. Характеристики состояния и движения в плоской задаче вообще не зависят от координаты г или зависят от нее известным простым образом. Теория плоской задачи включает в себя задачи плоского деформированного, плоского напряженного и обобщенного плоского напряженного состояний, определения которых будут даны ниже. [c.481]

Поместим начало декартовой системы координат в произвольной точке торцового сечения и направим ось параллельно образующей стержня, как показано на рис. 6. Тогда плоскйсть является плоскостью упругой симметрии, а матрица коэффициентов жесткости в обобщенном эаконе Гука имеет форму (20). Граничные условия запишем в виде на боковой поверхности [c.28]

Переход от одной декартовой системы координат к другой может быть выполнен посредством трех последовательных поворотов, совершаемых в определенном порядке. Тогда углы Эйлера определятся как три последовательных углг соответствующих поворотов. Прежде всего начнем с поворота начальной системы xyz вокруг оси z. Повернув ее на некоторый угол ф против хода часовой стрелки, мы перейдем к координатной системе Полученную промежуточную систему мы повернем затем вокруг оси совершив этот поворот против хода часовой стрелки на некоторый угол 0. Тогда у нас образуется новая промежуточная система — система Ось будет при этом идти по линии пересечения плоскостей ху и ц. Эта линия называется линией узлов. Повернув, наконец, оси вокруг оси против хода часовой стрелки на угол ijj, мы получим требуемую систему x y z. На рис. 42 эти повороты показаны в различных стадиях. Таким образом, углы Эйлера 9, ф, полностью определяют ориентацию системы x y z относительно системы xyz. Поэтому они могут быть выбраны в качестве обобщен-ных координат ). [c.125]

Основные соотношения плоской задачи термоупругостн. Пусть упругое изотропное тело, находящееся в состоянии плоской деформации, отнесено к декартовой системе координат хОу. На основании обобщенного закона Гука можно записать соотношения [c.226]

В и. 3 рассмотрены общие соотношения теории идеальной пластичности в случае, когда в качестве обобщенных переменных приняты величины среднего напряжения, а также величины двух главных касательных напряжений и величины направляющих косинусов, определяющих ориентацию главных направлений тензора напряжений в декартовой системе координат. По существу, используемый подход эаспрострапяет прием, предложенный М. Леви [2] для линеаризации нелинейных уравнений плоской задачи теории идеальной иластичпо- [c.38]

В случае изотропии тензор модулей упругости является изотропным тензором, т. е. он обладает в каждой декартовой системе координат одинаковыми компонентами. Изотропным тензором второго ранга является тензор Кронекера б//, такой тензор третьего ранга есть тензор Леви-Чивиты zuk- Каждый скаляр также может считаться изотропным тензором нулевого ранга. Однако изотропного тензора первого ранга не существует. Тензоры 4-го ранга ЬцЬы и ЬшЬц б,гб/ являются изотропными, и обобщенный изотропный тензор четвертого ранга получается их линейной комбинацией. [c.59]

Теперь обобщение тензорного исчисления, развитого в 4.7—4.12 для декартовой системы координат, на общие криволинейные координаты риманова пространства очевидно. Тензором ранга п в 4-пространстве называется величина с 4" компонентами, преобразующаяся по каждому индексу как век- [c.217]

Условимся называть циклическими такие обобщенные координаты системы, которые не входят явно в выражение функци.н Лагранжа. Так, например, если тяжелая точка массы т дви- жется в пространстве, то в случае отсутствия сопротивления среды кинетическая энергия и функция Лагранмса точки в декартовых прямоугольных координатах (ось Oz направлена по вертикали вверх) будут таковы [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...