Направления главные тензора

Направления главные тензора 28, 819 Напряжение касательное 20 [c.936]

Таким образом, если известен тензор инерции для осей Охуг, то можно определить как направление главных осей инерции, так и главные моменты инерции. Для главных осей инерции тензор инерции (25) принимает форму [c.277]

Рассмотрим площадки, равнонаклоненные к главным осям тензора напряжений. Такие площадки называются октаэдрическими. Они образуют геометрическую фигуру октаэдр. Для первого октанта (рис. 2.10, а), образуемого положительными направлениями главных осей, направляющие косинусы внешней нормали V равны и= У2>. Поэтому на основании формул (2.9), (2.30) получаем [c.54]

Помимо ориентации трех главных осей тензора напряжений направляющий тензор определяет также вид напряженного состояния, т. е., например, параметр Лоде либо угол вида напряженного состояния ф. Действительно, для определения главных направлений направляющего тензора согласно (2.43) имеем систему уравнений [c.56]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Следовательно, направляющий тензор деформации определяется заданием четырех величин —трех углов Эйлера, определяющих направление главных осей тензора, и угла вида деформированного состояния (фазы) if. [c.72]

Главным направлением симметричного тензора второго ранга i называется такое направление S, для которого [c.318]

Мы видим, что это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям — главным осям тензора деформации. Каждая из этих деформаций [c.10]

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков [c.12]

Чтобы указать направление главных осей тензора Р, применим систему уравнений (46) и дополнительное условие (47) предыдущей главы к проекциям единичных векторов (ортов) главных направлений е( е< ), на оси х, Ха, Хз. Тогда получим систему уравнений [c.132]

Метод определения направлений главных осей и величин главных значений любого симметричного тензора второго ранга был уже описан ранее ( 35), причем метод этот носил чисто [c.286]

Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую из геометрической интерпретации тензора инерции. Направлениям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эллипсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению значений а, р, 7, связанных соотношением [c.287]

Если тензор напряжений представлен только главными напряжениями, то главные компоненты 51, 5г, 5з девиатора напряжений отличаются от главных напряжений тензора только величиной средних напряжений и совпадают по направлению. Главные компоненты девиатора напряжений определяются кубическим уравнением [c.98]

Общие закономерности, касающиеся диэлектрической проницаемости анизотропной среды, сводятся к возможности представить всю совокупность значений тензора при помощи трехосного эллипсоида. Трем значениям диэлектрической проницаемости (соответствующим осям эллипсоида) соответствуют в кристалле три взаимно перпендикулярных направления, характеризующихся тем, что для них направления векторов В и Е совпадают. Эти направления называются главными направлениями кристалла. Если выбрать за оси координат X, у, 2 главные направления, то тензор диэлектрической проницаемости будет иметь диагональный вид [c.40]

ВИИ достижения пластического состояния. На рис. 36 изображен элемент, ребра которого параллельны направлениям главных осей тензора деформаций. Обозначая главные напряжения Oi, 02, и сгд, будем по-прежнему нумеровать их так, чтобы было [c.53]

Компоненты единичного вектора п в направлении главных осей тензора деформации или, что то же самое, направляющие косинусы вектора -и, которые обозначим через Uj, определяются из уравнений [см. (1 .48)1 [c.18]

Если все три главные значения тензора одинаковы, например в случае тензора (а и), где а — действительное положительное число, то характеристической поверхностью является сфера, а тензор называется шаровым. У шарового тензора все направления главные и, следовательно, его компоненты не меняются при повороте координатных осей, т. е. шаровой тензор является изотропным. [c.401]

При этом тензор напряжений приводится к диагональному. Нормальные напряжения, действующие вдоль главных осей, являются экстремальными и называются главными. Для определения направления главных осей приходим к уравнению [c.201]

В процессе преобразования тензора (6.7) к форме (6.8) определяются углы, задающие направления главных напряжений относительно неподвижной системы координат х, у, г (например, для [c.150]

Наконец, если х, у, 2 — главные направления, то тензор (6.13) приводится к диагональной матрице [c.155]

Xf° — предел прочности при растяжении под углом 45° к направлению главных осей симметрии, а А, ц и р — дополнительные экспериментально определяемые постоянные. Уравнение (70а) справедливо лишь для (ai + аг) 0 если же ( i + 02) О, то предел прочности при растяжении следует заменить пределом прочности при сжатии. Таким образом, для полного описания поверхности разрушения требуется два различных критерия, определяемых в совокупности тринадцатью постоянными. Алгебраическая структура данного критерия не связана непосредственно с первоначальным понятием тензоров прочности, введенных ранее формулами (666). Тем не менее уравнение (70а) по внешнему виду напоминает формулировку критерия через эквивалентные напряжения, если его переписать так [c.446]

Исследовать изменение тензора инерции при смещении точки, относительно которой он рассматривается, на величину, определяемую вектором Го. Показать, что если эта точка является центром масс, а Го направлено вдоль одной из главных осей, то направление главных осей при таком смещении не изменяется. Как изменяются при таком смещении моменты инерции [c.201]

Величины 01, 02, 03 называются главными моментами инерции. Центробежные моменты относительно главных осей обращаются в нуль, что можно рассматривать как определение главных осей инерции. Наша тензорная схема (22.136) становится диагональной , т. е. только ее диагональные элементы 0i, 02, 0з будут отличны от нуля. Если же мы будем рассматривать тензор не в системе главных осей, а в какой-либо другой системе координат, то мы должны будем добавить три параметра, определяющие направление главных осей, и таким образом опять получим шесть величин, характеризующих симметричный тензор. [c.166]

Направляющим тензор Dg назван потому, что он определяет собой направления главных осей. Поверхность Коши, соответствующая ему, называется направляющим гиперболоидом напряжений. [c.424]

Особенно сильные и явные нарушения соотношения (1.1) возникают при наличии трехмерных эффектов, когда становятся существенными все компоненты тензора напряжений Рейнольдса. В этом случае невозможно с помощью указанной простейшей связи компенсировать различие направлений главных осей тензоров напряжения и скоростей деформации. Поэтому естественно попытаться включить в определяющие соотношения для тензора напряжений Рейнольдса дополнительные слагаемые, устраняющие этот дефект. [c.577]

Угол р между первым главным направлением этого тензора и осью X определяется из уравнения [c.44]

Подобно тензору деформации в каждой точке тела поворотом системы декартовых координат тензор напряжений также можно привести к главным осям. На гранях элементарного прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны этим осям, действуют только нормальные напряжения. В общем случае неоднородного напряженного состояния направление главных осей тензора напряжений в различных точках тела различно. [c.12]

Отметим также представления диад главных направлений симметричного тензора. Они следуют из соотношений q — главные значения Q) [c.828]

Так же, как и для тензоров Г и Г, для тензора П в каждой точке пространства, занятой средой, можно выделить три взаимно перпендикулярные направления (главные оси). Тензор напряжений, отнесенный к главным осям, в общем случае имеет отличными от нуля только компоненты, расположенные на главной диагонали. Эти компоненты, являющиеся нормальными напряжениями, называются главными и обозначаются p , р , рц. Можно показать, что [c.11]

Для древесины малые различия между величинами коэффициента теплопроводности а, измеренными для тангенциального и радиального направлений, позволяют утверждать, что и для всех направлений поперек волокон эти различия практически отсутствуют, так как направления главных осей симметрии совпадают для тензора второго ранга с направлениями, для которых величины компонентов тензора являются экстремальными. [c.237]

Пусть известны компоненты тензора инерции в точке О относительно осей координат Oxyz. Для определения направления главных осей инерции в точке О используем уравнение эллипсоида инерции относительно этих осей [c.276]

Возьмем прямоугольную декартову систему координат охи- Направление, определяемое единичным вектором п с компонентами /ife = os (и, Xh), называется главным направлением симметричного тензора напряжений Огк, если вектор ОгкПи параллелен вектору п [c.43]

Тензор инерции принимает наиболее простой вид, когда оси координат совпадают с главными осями тензора инерции. Главные оси тензора инерции перпендикулярны друг другу. В главных осях тензор инерции диаго-нален. Диагональные элементы называются главными моментами инерции молекулы относительно соответствующих осей. Они имеют смысл момента инерции при вращении вокруг соответствующей оси. Нумеруя оси декартовой системы координат, совпадающие с главными осями тензора инерции, индексами / = 1, 2, 3, обозначим момент инерции относительно оси /. Главные моменты инерции и направление главных осей инерции раз гачны для разных точек молекул (как в твердом теле). Если главные оси проходят через центр масс молекулы, они называются центральными главными осями. В этом случае начало декартовой системы координат, оси которой совпадают с главными осями тензора инерции, совпадает с центром масс молекулы. При анализе вращательного движения молекул, так же как и при анализе вращательного движения твердых тел, целесообразно рассматривать вращение в главных центральных осях, что и подразумевается в последующем. [c.318]

Как выше отмечалось, на направлениях главных осей деформация сдвига обращается в нуль. Можно показать (так же, как и для тензора напряжений), что экстремальные деформации сдвига действуют на площадках, проходящих через одну главную ось и делящих угол между оставщимися осями пополам. При этом их величины равны разности между соответствующими главными деформациями. Отметим, что вдоль направления нормалей к этим площадкам относительное удлинение равно полусумме главных деформаций. [c.212]

Заключение о наличии дефекта в объекте контроля выносится по пороговой величине изменения интенсивности принимаемого результирующего сигнала. При диэлектрической или иной анизотропии величина сигнала в приемной антенне зависит от угла между плоскостью поляризации излученнои электромагнитной волны и направлением главных осей тензора диэлектрической проницаемости в данной точке образца. После прохождения анизотропного слоя волной, поляризованной по кругу, мы получаем в общем случае волну, поляризованную по эллипсу, которую представляем в виде суммы двух волн, поляризованных по [c.229]

Во-первых, при осевой деформации призматического, в частности круглого цилиндрического, образца не происходит изменения первоначально прямых углов между линейными элементами, из которых один совпадает по направлению с осью призмы, а второй лежит в поперечном сечении, т. е. в процессе осевой деформации образец, изготовленный из изотропного материала, не перекашивается (такой перекос в случае материала, обладающего, например, общим случаем анизотропии, имеет место). По сути дела, этот факт показывает в данном случае коаксиальность тензоров напряжений и деформаций в изотропном материале, т. е. совпадение в изотропном материале направлений главных напряжений и главных деформаций. [c.496]

Поскольку в изотропном теле имеет место коаксиальность тензоров напряжения и деформации, т. е. в каждой точке напряженно-деформированного тела направления главных напряжений и главных деформаций совпадают, траектории главных напряжений одновременно являются и траекториями главных деформаций. [c.181]

В гл. VII 1 тома при выводе уравнений закона Гука для изотропного материала было принято предположение коаксиальности тензоров напряжений и деформаций, вследствие чего, выделив из тела элементарный прямоугольный параллелепипед, грани которого совпадают с главными площадками, мы считали, что в процессе его деформации не происходит сдвигов, поскольку вследствие коаксиальности и Tg ребра пересечения главных площадок должны совпадать с направлениями главных деформаций. Здесь из энергетических соображений получены уравнения закона Гука для изотропного тела, совпадающие с выведенными в I томе, но без использования предположения о коаксиальности тензоров Тд и Те. Напротив теперь логика рассуждений иная — подобие картин [c.479]

В реальных конструкциях зоны пластической деформации возникают в первую очередь в зонах концентрации цапряжений, где напряженное состояние часто является одномерным или близким к одномерному. Для такого состояния вполне справедливым оказывается применение модели простого нагружения, при котором в каждой точке тела соотношение между компонентами напряжений в процессе нагружения остается неизменным. Модель простого нагружения не приводит к существеннылг погрешностям и в тех случаях, когда главные направления тензора напряжений (или направления главных напряжений) остаются неизменными в процессе нагружения [15, 56]. [c.127]

В кристаллографически анизотропных а-, Р-. у- и б -фазах плутония проявляется также анизотропное тепловое расширение. В у- и й -фазах наиравления главных коэффициентов теплового расширения совпадают с направлениями кристаллографических осей, так что в табл. 6 эти коэффициенты обозначены соответственно а , а,, и а . Однако в моноклинных а- и Р фазах только направление главного коэффициента aj совпадает с направлением кристаллографической оси Ь, так что (i - а . В эллипсоидах тензора теплового расширения для двух моноклинных структур направления главных коэффициентов а, и Оз, конечно, перпендикулярны друг другу и направлению aj, поэтому они лежат в плоскости кристаллографических осей а и с. Основное направленне в а-плутонии, находящееся внутри тупого угла (р = 101,74°) между осями а и с и образующее угол 10 с осью а, обозначается а,. Аналогично в Р фазр направление а, находится в тупом углу (р — 92,13") между осями а и с, образуя с осью а угол 37. [c.531]

Главные деформации. Инварианты тензора деформацви. В каждой точю тела в общем случае имеются три взаимно перпендикулярных направления, по которым относительные удлинения, а следовательно, и линейные деформации имеют экстремальные значения. Указанные направления называют главными направлениями тензора деформации (главные оси), а линейные деформации вдоль главных направлений - главными деформациями. [c.22]

Из соотношений (1.1) следует, что направления главных осей тензоров uiUj) и Sij совпадают. Этот вывод, однако, экспериментально не подтверждается даже для простых турбулентных течений с поперечным сдвигом [1]. Так, например, в пограничном слое и в однородном сдвиговом течении углы направлений главных осей этих тензоров могут различаться в 2 раза. В двумерных сдвиговых течениях в каналах, струях и следах осредненное течение определяется лишь одной компонентой тензора напряжений — (г lг 2) Поэтому отмеченная принципиальная неточность зависимости (1.1) может быть скорректирована удачным выбором эмпирических постоянных, входящих в модель для определения турбулентной вязкости. Однако дефекты соотношения (1.1) все равно остаются при описании анизотропной турбулентности даже в простейших течениях. Так, например, в бес-сдвиговом пограничном слое над движущейся стенкой [2, 3] градиенты скоростей отсутствуют (Sij = 0) и, следовательно, зависимость (1.1) не позволяет учитывать анизотропию турбулентности. Однако эксперименты [2, 3] показывают существенную разницу между компонентами пульсаций скорости. [c.577]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...