Уравнения сохранения для волн

Уравнения сохранения для волн на воде 535, 536 [c.612]

Это — уравнение количества движения. Инвариантность лагранжиана 2 относительно произвольных постоянных изменений величин 0 и 1 приводит к вариационным уравнениям (35). Для волн на воде оказывается, что второе уравнение (35) соответствует уравнению сохранения массы. [c.30]

Модель раздельного течения представляет собой нечастый случай, при котором реальная картина газожидкостного течения воспроизводится в модели достаточно точно. Взаимодействие газового (парового) потока со стекающей пленкой жидкости, кольцевые двухфазные потоки, в которых преобладающая часть жидкости течет в виде тонкой пленки по стенке, а в ядре потока движется газ, расслоенные течения в горизонтальных каналах — это те задачи, для которых модель раздельного течения вполне уместна. В рамках этой модели уравнения сохранения записываются отдельно для газовой и жидкой фаз, при этом форма границы раздела предполагается известной (плоской или цилиндрической). Реальная картина и в этих видах течений, как правило, намного сложнее той, что принимается в модели (в ней обычно не учитывают наличие жидких капель в потоке газа, волны на межфазной поверхности), но модель раздельного течения здесь, конечно, значительно ближе к реальности, чем гомогенная. [c.17]

В настоящей работе представлено основанное на численном методе исследование распространения плоских продольных волн в одном классе нелинейных вязкоупругих материалов. Определяющие уравнения и уравнения сохранения в форме Лагранжа аппроксимируются системой уравнений в конечных разностях при помощи явной схемы первого порядка. В разд. 2 обсуждаются определяющие уравнения, используемые в данной работе. Поведение материала описывается при помощи переменных состояния и ориентации и соответствующих дифференциальных уравнений [4, 5]. Такой способ описания весьма удобен для применения численных методов, поскольку легко допускает переход к конечным разностям. [c.150]

В основу теории распространения упругих волн в жидкостях и газах положены уравнения состояния жидкости, уравнения движения Эйлера, уравнение непрерывности для плотности жидкости и уравнение, выражающее закон сохранения энергии, — всего шесть уравнений относительно давления р, плотности р, скорости v и температуры Т. Все перечисленные величины характеризуют свойства и состояние движения жидкости в том смысле, что они являются численными выражениями свойств элемента объема А У вещества, настолько малого по своим линейным размерам, что в пределах этого объема они не зависят от изменения координат точек пространства, ограниченного этим объемом. [c.154]

Основываясь на уравнениях Максвелла (2.6) — (2.9) для средних полей в веществе, можно показать, что плотность потока энергии и в этом случае характеризуется вектором Пойнтинга (1.50), хотя выражение для закона сохранения энергии электромагнитного поля в среде имеет иной вид, чем выражение (1.49) или (1.51) для вакуума. Для волны с определенным направлением вектора к (т. е. при параллельных к и к") вектор Пойнтинга направлен вдоль к. Интенсивность (среднее по времени значение плотности потока энергии) пропорциональна квадрату амплитуды напряженности поля, и в поглощающей среде, характеризуемой комплексным показателем преломления п + Ы, убывает вдоль направления волны по закону [c.81]

В работах [139, 140] развит эмпирический метод построения замкнутого уравнения состояния конденсированного вещества, основанный на измерениях ударной сжимаемости с варьированием начальной плотности образцов. Уравнение сохранения энергии для ударной волны в веществе с начальным удельным объемом имеет вид [c.314]

Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—1, 40b, 43а—Ь, 44Ь, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения. [c.245]

Детонационные волны. Детонационная волна, т. е. ударная волна, на фронте которой выделяется энергия, имеет вполне определенную амплитуду, соответствующую калорийности взрывчатки (нормальная волна). На фронте такой волны звук движется со скоростью фронта, т. е. и с = В (условие Жуге), чему соответствует минимальная скорость волны, совместимая с уравнениями сохранения. Однако это справедливо лишь для расходящихся и плоских волн, а для сходящихся это оказалось не так по мере схождения давление на фронте такой волны растет, условие Жуге нарушается и звук может догонять фронт (и- -с >/>). [c.326]

Это решение относится к случаю, когда с одного конца кюветы 2 = О в нее направляется волна с частотой а с другого конца—слабая волна с частотой = = ь — fv Полученная зависимость была проверена путем измерения усиления, причем определялась также характерная для вещества величина gв/(S(fL 0)). В области малых усилений было получено хорошее согласие между измеренными и рассчитанными величинами. Вне области малого усиления должно учитываться уменьшение интенсивности лазерного света, обусловленное вынужденным рассеянием Бриллюэна. Из системы уравнений (4.3-5) вытекает закон сохранения для величины [c.219]

Обобщение соотношений Рэнкина — Гюгоньо. Из условий Рэнкина — Гюгоньо можно установить связь величин р, v, р и т. д. по обе стороны от скачка уплотнения без исследования структуры возмущения (см. гл. 2). Для получения этих соотношений достаточно использовать лишь уравнения сохранения (12.91), (12.92) и (12.95). Выберем систему отсчета, в которой скачок находится в состоянии покоя в точке а = О, и рассмотрим процесс сжатия, например ударную волну, скорость которой v совпадает по направлению с положительным направлением оси х (см. фиг. 12.2). Условия вверх по потоку от скачка (при а = — оо) будем обозначать индексом 1, аналогичные величины вниз по потоку от скачка (при а = -f- оо) будем обозначать индексом 2. При [c.440]

Целью применяемых здесь преобразований является получение уравнения сохранения энергии в виде, удобном для интегрирования при переходе через фронт сферически симметричной ударной волны и в области за волной. Независимыми переменными являются г и зависимыми переменными — У и Г. Уравнение (А.16) необходимо преобразовать следующим образом. Пусть [c.506]

Наряду с вязкостью и теплопроводностью диффузия влияет на структуру фронта ударной волны. Чтобы описать эту структуру, следует составить уравнения плоского стационарного режима, подобно тому как это было сделано в 2, при рассмотрении вязкого скачка уплотнения. Уравнения сохранения массы и импульса, первое и второе из уравнений (7.3), остаются, очевидно, без изменений (под ц теперь следует понимать коэффициент вязкости смеси). В уравнение сохранения энергии (третье из уравнений (7.3)) нужно добавить молекулярный поток тепла, связанный с диффузией, и вместо молекулярного потока, обусловленного теплопроводностью S, писать сумму 5 -f- В систему уравнений теперь войдет диффузионный поток i, которому пропорционален поток тепла q, т. е. войдет новая неизвестная функция, концентрация а. Поэтому к системе должно быть добавлено еще одно уравнение. Это — уравнение непрерывности (сохранения массы) одного из компонентов (при наличии уравнения непрерывности для всей массы газа сохранение второго компонента обеспечивается автоматически). [c.375]

Большинство читателей узнает в уравнении (13) волновое уравнение — уравнение, типичное для любого явления с сохранением энергии, в том числе и для распространения волн через однородную среду с единственной возможной скоростью волны с, не зависящей ни от формы волны, ни от направления ее распространения. Этому уравнению удовлетворяют, например, компоненты электромагнитных полей в вакууме, если с — скорость света, равная 3-10 м/с. Как будет показано ниже (разд. 1.2), скорость звука с, определяемая формулой (14), на несколько порядков меньше этой величины. [c.17]

Вся гл. 2, за исключением изложенного в разд. 2.7 учета обусловленной трением диссипации и кратких исследований ее влияния в других местах, основана на приведенных выше обш,их уравнениях для продольных волн в жидкостях (2)—(4) и уравнении сохранения энтропии для частицы жидкости (разд. 2.6). В разд. 2.1 и 2.2, однако, следствия из этих уравнений выводятся, во-первых, только при условии, что свойства жидкости, включая ее энтропию 8, а также свойства трубы (или канала) считаются продольно однородными, так что уравнения (2) принимают вид [c.121]

Однако даже если никакого невозмущенного течения нет, закон сохранения волнового действия ясно показывает, каково влияние нелинейности на дисперсию волн. Здесь мы приведем только одно такое указание. Раскрывая значения производных в уравнении (66) для случая, когда со и А удовлетворяют соотношениям (64), мы получаем уравнение второго порядка для фазы а [c.553]

При этом величина р удовлетворяет уравнению (11) автоматически, причем р < Р2, так как состояние 1 находится перед падающей ударной волной, которая, по предположению, рассчитана по состоянию 1 и ее скорости О. Поэтому уравнение (11) служит для определения давления Рз > р2- После того как рз найдено, остальные величины определяются обычным путем, В частности, для скорости Во отраженной ударной волны с помощью уравнения сохранения массы (17,12) выводится формула [c.182]

В вопросах акустики гармоническая зависимость от времени имеет аналогичные преимущества для сред, в которых волны удовлетворяют линейным уравнениям (а таковы практически все среды для волн малой амплитуды), синусоидальная зависимость от времени сохраняется при распространении волны, при ее отражении и преломлении, при рассеянии от препятствий и т. п. Волны с другой зависимостью от времени таким свойством не обладают. Так как, кроме того, для линейных уравнений акустики справедлив принцип суперпозиции, то волну с практически любой зависимостью от времени можно представить в виде суперпозиции гармонических волн разных частот. Такое представление позволяет вместо волн с любой зависимостью от времени изучать волны с одной-единственной зависимостью — гармонической, что удобно именно ввиду сохранения этими волнами своей временной зависимости. Такое разложение волн на гармонические составляющие называют, как и в случае колебаний, спектральным разложением Фурье. В зависимости от того, периодична или нет исходная волна, приходим соответственно к ряду или к интегралу Фурье. Обратное преобразование позволяет восстановить исходную волну по ее спектру. [c.66]

Уравнения сохранения в форме (6.25) — (6.27) соответствуют законам в интегральной форме (6.2) — (6.4) и понадобятся при рассмотрении ударных волн. Но для других целей эти уравнения можно упростить. Удобно ввести оператор [c.156]

Уравнения сохранения и скачки. Если осредненные уравнения являются гиперболическими, то некоторые решения будут рваться в том смысле, что непрерывное вначале решение будет становиться многозначным. Это явление аналогично возникновению ударных волн в газовой динамике. Однако в данном рассмотрении волн на воде это явление соответствует просто наложению двух частей цуга волн и не требует разрывов. Предсказание возникновения такого явления, в случае когда начальная форма близка к одиночному периодическому цугу волн, представляет самостоятельный интерес. Разумеется, после того как такое наложение произойдет, развитые здесь осредненные уравнения уже становятся неприменимы.ми. Здесь уже требуется обобщенная теория с возможностью появления более чем одной главной моды. По-видимому, такую теорию можно построить, причем в связи с этим может оказаться полезным рассмотрение взаимодействий для почти линейных мод. [c.29]

Соответствующие уравнения сохранения выводятся в следующем параграфе. В 3 находятся определяемые ими расположение ударной волны и величина скачка фазы при переходе через ударную волну, используемая для нахождения разности между числами гребней волн, входящих и выходящих из области скачка. Находится возможный вид свободной поверхности вблизи скачка фазы в сечениях, перпендикулярных линии скачка. Его наблюдение было бы довольно точным способом проверки теории. Наконец, в 4 приводятся оценочные физические соображения, которые достаточно интересны в том отношении, что позволяют довольно хорошо предсказать линию скачка фазы, хотя и не дают возможности определить его положение на этой линии. [c.218]

К уравнению (10.45) применима теория, изложенная в г.п. 2. Волны, переносящие возрастание (ф), могут опрокидываться (см. обсунхдение формулы (2.72)). и потребуется введение ударных волн. Эти ударные волны будут разрывами системы I, и условия на разрыве выводятся стандартным образом из соответствующей системы уравнений сохранения. Для > О даже при наличии ударных воли возмущение обычно затухает и основное возмущение фактически переносится волиами низшего порядка. [c.342]

В этом параграфе на основе результатов предыдущей статьи, полученных по обе стороны области неопределенности, находится линия скачка фазы в задаче о волнообразной стенке. Уизем [9] установил, что в нелинейных задачах рассматриваемого типа требуемое число условий на скачке всегда меньше числа уравнений сохранения. Существенно, однако, помнить различие между теми уравнениями сохранения, которые остаются справедливыми в неосредненном виде, т. е. и при переходе через скачок, и теми, которые справедливы лишь для плавно изменяющихся цугов волн. Так, например, выбор уравнений сохранения числа волн (2.6) для решения задачи был бы неверным. В то же время уравнения сохранения энергии и количества движения [c.220]

Выпишем систему гидродинамических уравнений для рассматриваемого движения. Будем отмечать значения величин в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений в волне — штрихом. Тогда уравнение сохранения энтропии s = sq + s напишется с точностью до величин первого порядка малости в виде [c.63]

Как будет показано ниже, даяге в ударных волнах могут быть не существенны эффекты поступательного движения пузырьков относительно жидкости, и вместо решения уравнения импульса для скорости пузырьков можно принять односкоростную схему (vi = V2 = v). Тогда уравнения сохранения массы смеси и числа пузырьков имеют вид [c.103]

В ударно-волновых экспериментах наиболее надежно и точно измеряются кинематические характеристики нормальных ударных воли, а именно скорость ударпо1"[ волны D и массовая скорость вещества за волной v отпосительпо вещества перед волной. Другими словами, величина v— скачок скорости на ударной волне, и она определяет интенсивность этой волны. Измерения D п v при разных ннтенсивностях волны позволяют построить ударную адиабату вещества в виде D v). Иптересио, что для конденсированных веществ завнснмость D v). как правило, линейная, а при наличии фазовых переходов имеет изломы. Уравнения сохранения па скачке, соответствующем ударной волне, позволяют из ударной адиабаты в виде D(v) получить ударную адиабату в виде зависимости давления от плотности за волной р(р). Действительно, уравнения на нормальном скачке в системе координат, связанной с веществом, перед скачком имеют вид (ср. с (1.1.62)) [c.243]

Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции, кроме использования уравнений Максвелла и граничных условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным условиям. Одно из них — это принцип излучения на бесконечности Зоммерфельда, согласно которому количество энергии от источников, проходящей через конечную площадку, находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более сильный он утверждает, что источники должны излучать, а не поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и требует включения волн не только с действительными волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновыми числами, т. е, затухающих волн, или же в общем случае неоднородных волн с комплексными волновыми числами, поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных амплитуд ортогональны друг другу. В рптцке чаще всего встрв чаются именно неоднородные во.дны. [c.37]

Таким образом, напряжения в конце распространяющейся трещины изменяются во времени осциллирующим образом, и для их точного расчета необходимо учитывать распространение волн. Каннинен [14], Шмуэли и Перец [15], а также Уилкинс (частное сообщение) применяли одно-, двух- и трехмерные модели распространения волн соответственно для геометрии образца ДКБ. В данной работе распределение напряжений в образце во все моменты времени вычислялось с использованием T00DY3 [16], использующей двумерное описание распространения волн в переменных Лагранжа. Принимались условия плоской деформации. Эта программа дает решение уравнений сохранения массы, количества движения и энергии в случае двух пространственных переменных при последовательных малых шагах времени (t),5 мкс) и позволяет рассчитывать таким образом двумерное напряженно-деформированное состояние. Простейшая форма определяющего уравнения материала была построена на основе данных, полученных на нестандартном круглом образце, испытывавшемся в условиях растяжения и изготовленном из разрушенных половинок образца ДКБ. [c.128]

Уравнение (П.III.18) представляет собой уравнение сохранения энергии. Оно соответствует обычно используемым в нелинейной оптике укороченным уравнениям поля [4,5], Такие уравнения продуктивны для задач нелинейной электродинамики, в которых фазовые соотношения между различными волнами определенным образом фиксированы. С другой стороны, если фазы беспорядочны, то возможны дальнейпше уточнения. [c.317]

Если в задаче 242 мы примем глубину конечной и равной Л, то, при отсутствии сил трения, задача будет неопределенной или определенной, смотря по тому, будет ли скорость потока с меньше или больше, чем ( Л) , т. е. максимальной скорости волны для данной глубины см. 229. В первом случае получающиеся затруднения могут быть избегнуты введением малых сил трения но, согласно прежним исследованиям, мы можем уже заранее предвидеть, что главный эффект этих сил трения будет состоять в том, чтобы уничтожить возвышение поверхности на некотором расстоянии в направлении, обратном течению, от области распределенного давления поэтому, если мы примем это с самого начала, то не будет необходимости усложнять наши уравнения сохранением членов, зависящих от трения 2). [c.506]

При I = 5, т.е. для эптропии, закон сохранения на ударной волне не имеет места. Значение энтропии за ударной волной 8ь выражается при помогци уравнений сохранения (1.3) через параметры набегаюгцего потока и дН/дxj. Для совершенного газа [c.324]

Воспользуемся выппсаннымп пнтегральнымп соотношенпямп, граничными условиями (1.3) и (1.5) на ударной волне и граничным условием ъи = О на, обтекаемой поверхности для онределения коэффициентов . .. В 7У-х ириближениях искомых функций. В качестве исходных пяти независимых уравнений системы (1.1) возьмем уравнение неразрывности, проекции уравнения импульсов на оси х и у, уравнение сохранения энтропии и уравнение сохранения полного теплосодержания в проинтегрированном виде. Для совершенного газа последнее уравнение (интеграл Бернулли) имеет вид [c.326]

Здесь Q — средняя плотность газа за ударной волной. Как видно, относительная толщина слоя o/r< l при p Qoo. Выпишем интегральное уравнение сохранения импульса. Поскольку в случае осевой и сферической симметрии суммарный импульс равен нулю, то при v=l, 2 это уравнение выпишем для объемов, за ключенных в малом меридиональном (телесном) угле d , с массой rriidi . Ускорение возмущенного тонкого слоя создается перепадом давлений на поршне, поэтому, полагая скорость газа б [c.158]

Необходимый для вычисления Е /Е профиль энтальпии во взрывной зоне можно получить, интегрируя уравнение адиабаты Y fi ln/i=(y — )dhip вдоль траектории частиц r=rm t, fn) с каким-либо приближенным распределением давления и начальным профилем энтальпии при малом значении М. Одновременно с помощью соотношений (10.3.13) определяется и закон движения ударной волны. Пример такого расчета для наземного сферического взрыва вместе с данными других работ приведен на рис. 10.5. Коэффициент ослабления взрыва E ,fE имеет минимум, соответствующий максимуму функции Z на рис. 1.7. При Ps— Роо отношение E E 0,8, что объясняется сохранением (для иетеплопроводного и неизлучающего газа) высоких температур в центре. [c.249]

При этом предположении из уравнения (3.15-10) следует, что математические ожидания временных изменений чисел фотонов сигнальной и холостой волн равны другими словами, разность этих математических ожиданий постоянна во времени. Эти заключения являются частным случаем соотношений Мэнли — Роу, выражающих общие законы сохранения для средних чисел фотонов при нелинейных оптических процессах (ср. классическое представление в ч. I). [c.346]

Таким образом, найдя истинное значение ионного тока при t = b (что соответствует максимальному значению, линейно растущего напряжения), можно определить концентрацию электронов в плазме по выражению (1). При этом делается существенное и вполне достоверное для изотермической плотной плазмы в ударной трубе предположение о равенстве электронной температуры и температуры газа. Газодинамические параметры, в частности, температура и плотность, вычисляются при условии термодинамического равновесия численным решением уравнений сохранения на фронте ударной волны с учетом ионизации. Г1ри эгом пренебрегают тепловыми потерями, вязкостью и возбуждением атомов и ионов [13]. В заключение следует сделать некоторые замечания. [c.42]

Такой расчет был проведен для волн в СН4-Ь202 и СН4 + 4О2. Вычисление производилось методом последовательных приближений. Уравнения сохранения замыкались условием Чепмена-Жуге. [c.166]

Плотность поглощенной в конденсированной среде мощности (вычисленная в 2.2 для случая плазмы) может, как и в 2.2, бьггь вычислена исходя из стационарного уравнения сохранения и превращения энергии электромагнитной волны [c.135]

Эволюция медленной компоненты движения на временах подчиняется хорошо известному уравнению сохранения квазигеострофического потенциального вихря для возвышения Ло- Асимптотический алгоритм позволяет определять начальные условия для быстрой и медленной компонент в любом приближении теории возмущений по е. Для периодических и ступенчатьк начальных условий полная масса медленной компоненты сохраняется. Для локализованных начальных условий эта масса не сохраняется соответствующий дефицит массы уносится волной Кельвина. [c.506]

Пусть в потоке имеется возмущение продольной компоненты скорости порядка а. Такое возмущение можно создать, например, располагая на обтекаемой поверхности малое препятствие высотой порядка у = 0(Re a). Обозначим характерный масштаб длины волны возмущений через /, тогда из уравнения неразрывности следует порядок возмущения вертикальной компоненты скорости v = 0(Re a/ ) в основной толще струи при Y = 0(1). Приравнивая порядки членов уравнения сохранения вертикальной компоненты импульса Эр/ду U(fd и/дх Re аГ , легко оценить возмущение давления Ар = 0(Re a/"2). с другой стороны, вблизи стенки, где возмущение скорости и порядка самой скорости, уравнение сохранения продольной компоненты импульса дает dpi дх uduldx, т.е. Ар = 0(S ). Сравнивая две оценки для Ар, получим порядок длины волны возмущения / = = <9(Re /2(x->/2) Данные оценки позволяют представить решение уравнений Навье-Стокса в основной толще струи в виде [c.91]

В качестве примера другого рода в эту общую схему можно включить понятие групповой скорости. Как было уже указано в связи с формулой (1.26), для линейных диспергирующих волн существуют осциллирующие решения с локальным волновым числом к (ж, I) и локальной частотой со (ж, (). В этом случае к — плотность волн, т. е. число волновых гребней на единицу длины, а со — расход, т. е. число волновых гребней, проходящих через точку х за единицу времени. Если предположить, что чис.ло во.лновых гребней в процессе распространения сохраняется, то имеем дифференциальное уравнение сохранения [c.34]

В действительности существует бесконечно много уравнений сохранения. Однако только уравнения (15.2), (15.3), (15.26) и (15.27) имеют очевидный смысл. Наша система, по существу,— система второго порядка (равенство (15.1) не является дифференциальным уравнением), так что два уравнения сохранения должны быть выбраны для обеспечения двух условий на раэрыве. Этот выбор связан с тем, что по нашему мнению представляют из себя ударные волны. Если они рассматриваются как приближения к решениям, еще охватываемым исходным подробным уравнением для ф, то следует выбрать условия на разрыве, исходя из уравнений (15.26) и (15.27). Причина состоит в том, что энергия и импульс сохраняются при более подробном описании ф и, следовательно, должны сохраняться в приближении, основанном на предположении о медленном изменении. При этом условия на разрыве записываются так [c.502]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...