Перемещения и при простом изгибе

Перемеш,ения при простом изгибе. При изгибе бруса (фиг. 30) ось его искривляется, и поперечные сечения получают линейные перемещения V (прогибы) и угловые 0 (углы поворота). При нагрузках, допускаемых по условию прочности, линейные и угловые перемеш,ения, как правило, являются малыми величинами (линейные перемещения значительно меньше размеров поперечного сечения). [c.326]

Перемещения и деформации 10 — — при продольно-поперечном изгибе — Определение 133 —— при простом изгибе 122 —— при ударной нагрузке 199— 202 [c.964]

Каждая из величин, характеризующих перемещения и и 0 , должна удовлетворять двум граничным условиям в каждом узле. Первое условие накладывается на сами переменные н , 0 , ., а второе— на их первые производные щ, 0 .. Этот тип условий встречался при простом изгибе. Поэтому в данном случае можно использовать представление функций в том же виде, как и для простого изгиба. Имеем [c.406]

Центр сдвига. При рассмотрении чистого изгиба (см. стр. Ш5) было показано, что плоскость изогнутой оси совпадает с плоскостью изгибающих пар при условии, что эти пары действуют в одной из двух главных плоскостей изгиба. В случае изгиба балки копланарной системой поперечных сил задача становится более сложной. Если главная плоскость, в которой действуют силы, не является плоскостью симметрии балки, то такой изгиб обычно сопровождается кручением балки. В последующем изложении будет показано, как можно исключить это кручение и получить простой изгиб надлеЖа щим перемещением плоскости действующих сил параллельно самой себе. [c.200]

Далее, во многих случаях, когда речь идет о колебаниях как о дополнительных движениях, налагающихся на основное движение машины (или механизма), соответствующие перемещения можно считать малыми. Это положение, широко применяемое в строительной механике и в теории колебаний упругих систем, достаточно хорошо подтверждается практикой. Оно не применимо в тех случаях, когда возможны значительные относительные перемещения тел (например, качание маятника с большой амплитудой, движение поршня в цилиндре, перемещения от изгиба весьма гибких элементов). Но оно вполне соответствует тем случаям, когда перемещения связаны с упругими деформациями обычных элементов. Предположение о малости перемещений приводит к простым соотношениям при составлении уравнений колебаний. [c.9]

ДЛЯ случая чистого изгиба показано пунктиром на рис. 20.17 (в зоне действия растягивающих напряжений ширина сечения уменьшается, а в зоне действия сжимающих напряжений — увеличивается). Отметим, что задача определения перемещений точек поперечного сечения и искажения формы контура прямоугольного сечения балки при чистом изгибе относится к простейшим задачам теории упругости. [c.433]

Определение числа степеней свободы т деформируемого сплош-него тела связано с существенными затруднениями. В ферме это число легко определяется как количество возможных (и независимых) перемещений ее узлов (см. рис. 7.4). Нетрудно его определить и в некоторых других случаях. Например, однородный изотропный брус постоянного поперечного сечения при чистом изгибе от носительно оси симметрии сечения имеет только одну степень свободы соображения симметрии приводят к тому, что поперечные сечения должны оставаться плоскими (края не учитываются), а нейтральная ось независимо от характера деформации (упругая, пластическая) — совпадать с центральной. Обобщенным перемещением здесь служит кривизна. Брус при чистом косом изгибе, если сечение имеет не более одной оси симметрии, имеет три степени свободы (две кривизны и деформация осевой линии представляют три обобщенных перемещения). При поперечном изгибе брус имеет уже, строго говоря, бесконечное число степеней свободы для определе-, ния деформаций нужно задать кривизны и положения нейтральных осей во всех сечениях (сдвиг во внимание не принимается). Но для получения приближенного решения, более простого и в то же время [c.161]

Рассмотрим вопрос об определении напряжений и перемещений при косом изгибе. Без ущерба для общности рассуждений и получаемых результатов ограничимся случаем нагружения бруса (простой консоли) одной силой, приложенной в плоскости его торцового поперечного сечения таким образом, что ее линия действия составляет угол р с главной центральной осью Оу (рис. 8.3, а). Разложим эту силу на составляющие [c.335]

В простейших случаях деформации линейно зависят от какой-либо одной из координат. Так, например, обстоит дело при чистом изгибе, когда деформации зависят только от расстояния до нейтральной оси (в направлении радиуса изгиба) и не изменяются в двух других направлениях. При плоской деформации все перемещения происходят параллельно некоторой плоскости. При осесимметричном деформированном состоянии, например, при деформации труб и сосудов, имеющих форму тел вращения, при вдавливании шарика или конуса, зависимость деформированного состояния от двух из трех координат одинакова, что фактически позволяет свести объемную задачу к плоской. [c.49]

Так как трудности, непреодолимые при интегрировании в случае заданных сил, исчезают, когда имеем дело с заданными перемещениями, и значительно уменьшаются, когда принимают заданными одновременно часть сил и часть перемещений или их зависимости, разыскивая остальное, то это приводит к тому смешанному методу, который особенна удобен в изложенном вопросе и который мы применяли в другом месте ). Использовав его в случае простого растяжения ( 12) и вновь напомнив прямое ( 13), но лишь приближенное решение для случая изгиба, которое было предложено двумя блестящими математиками и послужило исходной точкой для наших исследований, мы устанавливаем принимаемые условия для нашей смешанной задачи ( 14) и узнаем путем первого и простого интегрирования ( 16), что ее решение сводится к решению уравнения в частных производных второго порядка при определенном условии, что никакое давление не действует на боковые поверхности призм в продольном направлении. [c.391]

В учебнике изложен простой и весьма эффективный способ определения перемещений при изгибе. [c.3]

Нормальные действующие в контакте нагрузки также могут регистрировать датчики сопротивления, которые наклеиваются на создающие нагрузки плоские пружины. Более простой и достаточно надежной является оценка величины нормального давления по геометрическим признакам, т. е. по величине изгиба пружин, определяемой углом наклона направляющих и величиной перемещения образцов вниз. Последнее же точно определяется длительностью работы машины при испытании, регистрируемой на осциллограмме отметчиком времени. Тарировка пружин производится для малых нагрузок уравновешиванием грузами, подвешиваемыми через блок и передающими усилие к коротким образцам (принцип основан на размыкании электрической цепи), или же с помощью пружинных весов. Тарировка для испытаний с большими, нагрузками производится нанесением непосредственно в приборе отпечатков на длинном образце из мягкого металла (например, меди) твердыми короткими образцами (закаленная сталь) при различных величинах изгиба плоских пружин, определяемых положением подвижной части прибора. Затем зависимость величины размера этих отпечатков от величины изгиба пружин сравнивается с зависимостью величины отпечатка от действующего усилия, полученной при сдавливании с определенными нагрузками этих же образцов в реверсоре этой же испытательной машины. [c.68]

При использовании достаточно густой сетки можно пренебречь искривлением сетки и считать, что ее узлы соединяются прямыми линиями. В этом случае могут быть использованы треугольные элементы. Построение полей перемещений для треугольных элементов не требует никаких отображений. В случае плосконапряженного состояния (а оно является одним из решающих для пологой оболочки) Б качестве поля перемещений для треугольного элемента используется уравнение плоскости, что соответствует однородному напряженному состоянию [4]. В результате полное поле деформаций и напряжений для всей области аппроксимируется ступенчатой функцией, что влечет за собой использование достаточно густой сетки. Если рассмотреть решение простейшей задачи изгиба консольной балки с использованием треугольных и прямоугольных элементов, то можно убедиться, что треугольный элемент, даже при большом числе неизвестных, дает худший результат, чем прямоугольный [4]. [c.222]

Набор или список степеней свободы модели зависит от типа элементов, используемых при моделировании. Так, в узлах элементов работающих на изгиб и кручение (элементы балки и оболочки) определены все шесть компонентов смещений, а в узлах трехмерных элементов - только перемещения вдоль осей координат. Если в модели нет элементов, работающих на изгиб, то список степеней свободы не будет содержать углы поворота элементов в узлах. Это не означает, что их нет, просто углы поворота не оказывают влияние на величину полной Потенциальной энергии конструкции. [c.186]

Перемещения при изгибе в общем случае целесообразно определять, используя интеграл Мора и способ Верещагина (см. курс Сопротивление материалов ). Для простых расчетных случаев можно использовать готовые рещения, приведенные в табл. 15.5. При этом вал рассматривают как имеющий постоянное сечение некоторого приведенного диаметра. [c.323]

Подход к решению задач об изгибе, основанный на решении краевых задач, так же, как при растяжении-сжатии и кручении, может быть применен и к СН балкам. Однако в общем случае он, очевидно, является громоздким, поскольку здесь необходимо использовать уравнение (5.23) четвертого порядка или метод раскрытия статической неопределимости, изложенный в гл. 7. Там же приведены более простые способы определения перемещений. [c.143]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

На рис. 48, а показана простая тонкостенная конструкция открытого профиля, находящаяся под действием кососимметричной нагрузки Р, что характерно для автомобильных конструкций. Жесткость и прочность этой конструкции в основном определяют изгибом боковых панелей, которые находятся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 48,6). На рис. 49, а приведена консольная балка толщиной t, к свободному концу А которой приложена сила Р. Нагружение балки в этом случае аналогично нагружению боковой панели рассматриваемой конструкции. Балка моделировалась элементами четырех типов [11], На рис. 50, а представлены результаты численного эксперимента по определению прогиба свободного конца балки уа в зависимости от числа степеней свободы при идеализации балки треугольными элементами с постоянной деформацией (кривая 1) и линейной деформацией (кривая 2). Треугольный элемент с постоянными деформациями, что равнозначно постоянству напряжений, построен на описании поля перемещений полным линейным полиномом. Этот элемент часто называют С5Г-элементом [11], или симплекс-элементом [20]. Представление поля перемещений элемента полным квадратичным полиномом приводит к линейным распределениям деформаций или напряжений. Такой элемент обычно называют 57 -элемен-том [11], или комплекс-элементом [20]. Как видно из рис. 50, а, характеристики сходимости для треугольных элементов не очень [c.76]

Проводя аналогию с изгибом, просто учесть влияние деформации сдвига на перемещение при стесненном кручении. Получить и решить дифференциальное уравнение с учетом сдвига сложно. Проще воспользоваться интегралом Мора, который можно записать в виде [c.190]

Простейшим примером явной зависимости изгибающей силы от перемещений при изгибе может служить схема на рис. 1.2. В самом деле, расчет перемещений при изгибе здесь сводится к расчету их для половины полоски, рассматриваемой, согласно рис. 1.6, как консольный стержень. Но при этом, задав силу Q (рис. 1.2), значение изгибающей силы Р (рис. 11.6) можно определить по формуле (1.1) только одновременно с расчетом угла Оь Впоследствии будут рассмотрены и другие примеры подобного типа [c.10]

Еще в конце прошлого столетия было замечено, что перерезывающие силы влияют на величину перемещений при изгибе. Однако почти до последнего времени это учитывалось только при рассмотрении простейших случаев балки, лежащей на двух опорах или защемленной одним концом. При таких вариантах опор внутренние силы не зависят от размеров сечения и характера изменения сечения по длине. [c.298]

При расчете балок и рам, работающих в основном на изгиб, влиянием продольных и поперечных сил на перемещения обычно пренебрегают, за исключением особо оговоренных случаев. Поэтому при определении обобщенных перемещений методом Максвелла — Мора для балок и рам используется простая формула [c.282]

Еслн внешняя нагрузка сводится только к силовому фактору 5 ( 2 = 0), то, как следует из выражений (11) и (3), сечения стержня перемещаются и разворачиваются. Если же = О, то происходит лишь поворот сечений относительно оси центров тяжести. Анализ форм колебаний компрессорных лопаток показывает, что простейшие формы изгибно-крутильных колебаний имеют сходный характер при одних формах колебаний превалирующее значение имеют перемещения, обусловленные изгибом (изгибные колебания) при первой [c.343]

Пример 2. Простейшая схема, показанная на рис. 3.8, а, состоит из двух призматических балок с жесткостями Е1 при изгибе. К незакрепленному концу рамы присоединена масса т, а малые (обусловленные деформациями при изгибе) перемещения Хх и Ух незакрепленного конца имеют одинаковый порядок величины. Требуется записать уравнения движения в усилиях, используя координаты перемещения Хх я Ух я не учитывая влияния сил тяжести. [c.205]

Ранее подчеркивалось, что на практике в основном используют подходы, основанные на принципе минимума потенциальной энергии (предполагаемые перемещения). Имеется все же возможность использовать эти подходы при формулировке уравнений жесткости с учетом поперечных сдвиговых деформаций для балок, пластин и оболочек путем простой аппроксимации, в которой суммируются результаты, полученные по отдельности при анализе чистого изгиба и чистого сдвига. Чтобы описать этот подход, изучим элемент 1—2, изображенный на рис. 12.16, являющийся частью всей балочной конструкции. Из рисунка видно, что поперечная сдвиговая деформация равна 7,х2=(ьУг—где верхним индексом 5 отмечено, что соответствующие перемещения обусловлены лишь деформациями сдвига. Кроме того, так как Ухг=2( + 1)Рх А Е, то [c.379]

СравнивЕШ результаты табл. 5.21, 5.22, и табл. 5.23 — 5.26, отвечающие поворотам шарнира относительно разных центров, видим качественное отличие характера деформаций. При повороте и)у относительно центра сферического шарнира резиновые слои находятся в состоянии, близком к простому сдвигу (сравним значения функции е в табл. 5.21, 5.23). Перемещение и армирующих слоев постоянно по меридиану, но происходит изгиб этих слоев, это видно по функции ги табл. 5.23. Определяющими напряжениями будут 22, в то же время напря- [c.199]

Испытания на изгиб и кручение часто более удобны для определения реологических постоянных, чем испытания на простое растяжение. При реологических испытаниях наблюдаемыми кинематическими величинами редко являются непосредственно деформация или скорость деформации. Чаще это смещение или скорость смещения. При простом растяжении, где деформация является чистой, полное смещение есть сумма элементарных смещений. При изгибе стержня, где имеет место новорот элементов, смещения возрастают по длине стержня, как у вращающейся стрелки какого-либо измерительного устройства. Возьмем, к примеру, в одну руку конец небольшого стержня из какого-либо упругого материала и приложим второй рукой к другому концу некоторую силу. Если сила будет растягивающей в направлении оси стержня, то перемещения свободного конца будут едва заметны. Если сила приложена ла свободном конце в направлении, перпендикулярном к оси, то в этом случае перемещения будут заметны при условии, что стержень не слишком жесткий. Чтобы сделать этот пример более определенным, предположим, что стержень изготовлен из мягкой стали с квадратным поперечным сечением площадью в 1 мм и длиной 10 см. Прикладывая растягивающую силу в 100 г, получили относительное удлинение, согласно равенству (III, т), ei = = 3 10 см и, следовательно, в соответствии с формулой (III. 9) перемещение свободного конца равно Ai = 3-10 см. Прикладывая ту же силу в направлении, перпендикулярном к оси, найдем, что перемещение будет таким же, как в центре опертой по обоим концам балки двойной длины при приложении удвоенной силы. Это перемещение в соответствии с формулой (IV. 25) равно [c.92]

Далее задача сводится к построению кривой измерения податливости образца в функции длины трещины и измерению наклона касательной к этой кривой в точке, соответствующей начальной длине трещины (рис. 51) [9]. Метод оказывается наиболее полезным при испытании относительно небольших образцов, на которых можно точно измерить податливость в лабораторных условиях. При испытаниях в условиях постоянства нагрузки важно определить лишь перемещение точек приложения силы, например при трехточечном изгибе величина плеча изгибающего момента не входит в экспериментальную калибровочную кривую для конкретной геометрии образца и нужна только в случае теоретической калибровки податливости образцов разных размеров. На практике более удобным оказывается измерение смещений вблизи трещины, при этом необходимо определить упругую деформацию образца перед использованием податливого смещения для расчета G. В образцах малого размера метод податливости является наиболее простым, позволяющим учесть свободные поверхности и дополнительные концентраторы напряжений, 100 [c.100]

Наоборот, случай продольного изгиба (v=0), который в обычной тео,рии изгиба является особо сложным и в линейной постановке неразрешимым, здесь в теории больших перемещений при изгибе становится простейшим частным сл(учаем. Подробно эта задача будет рассмотрена в следующей главе, а здесь проведем только исследование устойчивости форм продольного изгиба. В 4.2 уже было показано, а>к просто можно определить границы существования различных форм при продольном изгибе. [c.97]

В настоящее время известно большое число типов машин, предназначенных для программных испытаний на усталость вращающихся образцов при консольном или чистом изгибе. В работе [И] описана машина, в которой напряжения в образце прог )аммируются путем изменения суммарного веса гирь с помощью простого механического устройства. В работе [19] дано описание серийной испытательной машины НУ, оснащенной автоматическим устройством для программного нагружения. Изменение нагрузки происходит при перемещении груза вдоль нагружающего рычага с помощью ходового винта, вращением которого управляет командное устройство, настроенное в соответствии с заданной программой. В работе [21] приведено описание машины, в которой сила, действующая на консольно за- [c.67]

Часто продольные балки фундамента загружаются по внутреннему краю и передают яа поперечные рамы крутящие моменты, вызывающие в этих рамах дополнительный изгиб и осадки. Поэтому, помимо осевых сил, при определении перемещений следует учитывать также действие крутящих моментов. Простое суммирование перемещений приводит к недостаточно точным результатам. Поэтому Рауш рекомендует переходить к энергетическому методу расчета колебаний. Этот вопрос достаточно подробно изложен в [Л. 58, 61 и 63]. [c.201]

Улучшения, вводимые рассмотрением в- рам ах теории упругости в -3.3, 3.4, 5.2—5.5, приводят, разумеется, к точным, или почти точным, значениям для деформаций и перемещений, а также и для напряжений. Однако эти методы, как правило, трудно или невозможно при енять к конструкциям типа ферм или конструкциям, изготовленным из слоистых материалов, но, во всяком случае, если главное внимание уделяется ошибкам при определении прогибов, то можно воспользоваться поправками к классической теории,-которые получаются гораздо более простым способом. Такие поправки основываются на прибавлении прогибов, обу словленных поперечными деформациями (главным образом деформациями поперечного сдвига), к прогибам, возникающим всййдствие изгиба и рассматртаемым в классических теориях. Такой тиц поправок впервые был использован С. П. Тимошенко для балок, а для пластин, по-видимому, автором ). [c.378]

Случай п= 1. Этот случай является специальным, и решения для него наиболее просто получить, задав X как степенную функцию от ж, а не в виде экспоненциальных функций, как в случае га = О, 2, 3,. .., поэтому остановимся сначала на этом варианте. При га = 1 прогибы W, пропорциональные os (у/Ю, вместе с соответствующими перемещениями, пропорциональными sin (пу/Ю, вызывают поперечное перемещение всего поперечного сечения цилиндрической оболочки без изменения егр крзгговой формы и, таким образом, соответствуют случаю изгиба длинной цилиндрической трубы. В случае чистого изгиба трубы под действием моментов Мо, приложенных на ее концах, можно положить [c.482]

Самые первые опыты на эластомерах посвящены их поведению при сжатии [211]. Основной итог наблюдаются нелинейный харг1ктер зависимости сила — перемещение, а также близкое к параболическому распределение деформаций на боковой поверхности. При сдвиге силой касательные напряжения и сдвиговую деформацию можно считать практически постоянной [217], что подтверждает использование в теории модели простого сдвига. Опытов на изгиб эластомерного слоя мало. Они свидетельствуют, что даже малый изгиб вызывает большие сдвиговые деформации и может существенно снизить прочность подшипника. В работе [239] изучалось совместное действие сжатия и сдвига на эластомерный слой, однако комбинированное нагружение требует дальнейших экспериментальных исследований [247]. [c.20]

Клебш первый занялся исследованием задачи плоского напряженного состояния и дал решение для круглой пластинки (см. с тр. 310). Другой случай, имеющий большое практическое значе-лие, был решен Харлампием Сергеевичем Головиным (1844— 1904) ). Он заинтересовался деформациями и напряжениями круговых арок постоянной толщины. Рассматривая задачу как двумерную, он сумел получить решения для систем, представленных на рис. 170. Он находит, что в условиях чистого изгиба (рис. 170, а) поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и принимается в элементарной теории кривого бруса. Но найденное им распределение напряжений не совпадает с тем, которое дается элементарной теорией, поскольку последняя предполагает, что продольные волокна испытывают лишь напряжение о, простого растяжения или сжатия, между тем как Головин доказывает существование также и напряжений а , действующих в радиальном направлении. При изгибе же, производимом силой Р, приложенной к торцу (рис. 170, б), в Киждом поперечном сечении возникают не только нормальные напряжения, но также и касательные, причем распределение последних не следует параболическому закону, как это предполагается в элементарной теории. Головин вычисляет не только напряжения для такого кривого бруса, но также и его перемещения. Имея формулы перемещений, он получает возможность решить и статически неопределенную задачу арки с защемленными пятами. Проделанные им вычисления для обычных соотношений размеров арок показывают, что точность элементарной теории должна быть признана для практических целей вполне достаточной. Исследования Головина представляют собой первую попытку применения теории упругости в изучении напряжений в арках. [c.419]

В этой главе мы рассмотрели несколько способов вычисления перемещений при изгибе. Применение их требует определенного навыка, и трудно отдать предпочтение какому-либо из них. Оныт показывает, что обычно наиболее эффективным является тот способ, которым лучше всего владеешь. Однако все эти способы применимы лишь для балок постоянного сечения, нагруженных достаточно простыми нагрузками. В более сложных случаях для облегчения расчетов необходимо привлекать ЭВМ. [c.245]

Как отмечено уже выше, методы, развитые здесь для простейшего случая, могут быть углублены в направлении разыскания распределения напряжений линейных или квадратичных и т. д. относительно г. Таким путем можно получить, задава гсь линейным относигельно г распределением напряжений по оси г, напряженное состояние стержня, закрепленного на одном конце и изгибаемого силой на свободном конце, из квадратичного распределения напряжения относительно г получается напряженное состояние стержня при изгибе под действием его собственного веса. Эти задачи удобнее решать, исходя из напряжений, а не из перемещений, так как в последнем случае степень зависимости от г повышается на единицу. [c.117]

В. Paul и С. С. Fu [1.273] (1967) интегрировали классическое уравнение изгиба балки при нулевых начальных условиях и заданном на свободном конце перемещении, линейно зависящем от времени. Применением синус-преобразования Фурье и метода вариации произвольных постоянных построе но решение для изгибающего момента в функциях Френеля На основе предположения, что в начальной стадии дефор мированная часть балки не искривляется, а только повора чивается относительно еще недеформированной части (де формированная ось имеет вид ломаной), получена без реше ния дифференциальных уравнений простая формула для по перечной силы. Сравнение с решением уравнения Тимошен ко обнаруживает хорошее соответствие. Отмечается, что для максимального значения нагибающего момента, которое наступает через большое время после прохождения волновых фронтов, классическая теория изгиба и теория типа Тимошенко должны давать близкие результаты. В дискуссии по этой статье [1.295] (1967) было отмечено, что максимум поперечной силы в балке Тимошенко имеет место в начальный момент времени и поэтому его выражение можно получить применением предельной теоремы преобразования Лапласа к изображению, приведенному в обсуждаемой статье. Сомнительно, что при определении максимального изгибающего момента в заданном сечении и в любой достаточно малый момент времени решение авторов, основанное на классической модели изгиба, будет давать реальную оценку. В ответе авторов отмечается, что эксперименты все же подтверждают применимость классической теории изгиба, хотя теоретически это не доказано. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...