Уравнение жесткости

В предлагаемом методе при добавлении нового пролета (аналогично тому, как в расчете крутильных колебаний по методу цепных дробей при присоединении дополнительной массы к кру-тильно колеблющейся системе) сложность расчетов не возрастает в геометрической прогрессии, как при применении прямого классического метода, ведущего к решению определителей высокого порядка. При выполнении расчетов по изложенному методу при добавлении каждого нового пролета вычисления увеличиваются всего лишь на две простые операции (нахождение жесткости на поворот на одной опоре и определение по соответствующему частотному уравнению жесткости на поворот на другом конце участка). Изложенный метод последовательных приближений обладает быстрой сходимостью. Чтобы воспользоваться указанным процессом, необходимо рассчитывать систему в такой последовательности, чтобы последний пролет имел возможно простое частотное уравнение, т. е. желательно, чтобы в последнем пролете не было нагрузки. Поэтому ротор, представленный на фиг. 61, начали считать с консольного участка, загруженного диском. [c.147]

Линейные и угловые перемещения определяют методами сопротивления материалов. Условие и уравнение жесткости вала выражаются неравенствами [c.196]

Уравнения жесткости для элемента являются линейными алгебраическими уравнениями, которые записываются в виде [c.45]

Соотношение (2.4) можно преобразовать в выражения, содержащие только силы или только перемещения, используя для этого соответственно уравнения жесткости (2.1) или податливости (2.2). Т йк [c.50]

Для получения остальных составляющих полной системы уравнений жесткости исследуем предполагаемую конечную форму этих соотношений, т. е. уравнений (2.11). Работа, выполненная внешними нагрузками Р/ на соответствующих им перемещениях Л/ , должна равняться работе, производимой оставшимися силами Р на соответствующих им перемещениях Ав , если считать, что Р становятся реакциями опоры. Это можно записать в матричном виде следующим образом [c.54]

Включение степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого, в совокупность уравнений жесткости элемента приводит к линейной зависимости некоторых уравнений от других. Линейная зависимость существует в системе уравнений, если одно нз них можно записать как линейную комбинацию других уравнений системы. Можно также интерпретировать линейную зависимость и с геометрической точки зрения систему уравнений п-то [c.62]

Существуют три основные группы методов построения алгебраических уравнений, отвечающих полному (глобальному) конечно-элементному представлению конструкций методы перемещений (жесткости), методы сил (податливости) и смешанные методы. Вид этих уравнений аналогичен виду уравнений для элемента, определенных в разд. 2.3. Данные группы методов соответствуют различным формам энергетических принципов, и в дальнейшем будет удобно разрабатывать эти методы, опираясь на энергетические подходы. В данной главе изучаются два различных подхода к построению одного и того же типа глобальных уравнений, а именно уравнений жесткости, в которых роль неизвестных величин играют перемещения в узлах. Чтобы реализовать эти подходы, требуется лишь знание алгебраической формы записи матрицы жесткости конечного элемента и обозначений, введенных в разд. 2.3. Сами же подходы заключаются попросту в учете условий равновесия и непрерывности перемещений в узлах для полной аналитической конечно-элементной модели. [c.69]

В гл. 7 мы вернемся к вопросам расчета конструкции в целом, где уравнения жесткости будут изучены с других позиций. Кроме того, здесь же будут объяснены некоторые свойства решений, которые не могли быть объяснены прежде, а также изучены альтернативные формы глобальных уравнений (например, глобальные уравнения податливости). Так как в данном тексте основное внимание уделяется вопросам, связанным с построением элементов, то детальному описанию примеров глобальных уравнений отводится мало места. Читателю, интересующемуся подобными вопросами, следует обратиться к многочисленным книгам по матричным методам расчета конструкций (см., например, [3.1—3.41). [c.70]

Операции, проведенные на шагах 2 и 3, повторяются для всех остальных степеней свободы В результате получают полный набор коэффициентов уравнений жесткости всей конструкции (глобальных уравнений жесткости), однако без учета условий закрепления. [c.73]

Выполняемые в процессе реализации алгоритма алгебраические преобразования запишем в матричном виде. Предполагается, что операции на шаге 1—4 выполнены и глобальные уравнения жесткости выписаны и имеют вид [c.75]

В предыдущих рассмотрениях не было уделено внимание некоторым основным свойствам глобальных уравнений жесткости. Во-первых, свойство симметрии коэффициентов жесткости элементов обеспечивает симметричность коэс ициентов глобальных уравнений жесткости, поэтому необходимо держать в памяти ЭВМ лишь диагональные элементы матрицы и элементы по одну сторону от диагонали. Во-вторых, как было указано, отвечающие данной степени свободы уравнения жесткости (уравнения равновесия) зависят от степеней свободы тех элементов, которые прилежат к узлу, где задана исходная степень свободы. [c.76]

Вычисление сил реакции опоры. Из первой, четвертой и пятой строк глобальной системы уравнений жесткости (с исключенными соответствующими столбцами) получаем [c.79]

При построении глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состояш,его из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объединим уравнения жесткости элементов [c.80]

Применим теперь эти соображения непосредственно для преобразования уравнения (3.10). Основываясь на введенной в разд. 2.7 методике преобразования, выпишем глобальные уравнения жесткости в обычном виде, т. е. в виде соотношений (3.5), где [c.82]

Рис. 3.6. Метод конгруэнтных преобразований при построении уравнений жесткости в иллюстративном примере.

Каждое уравнение связи позволяет исключить одну из степеней свободы, оставляя другие. Используем здесь эту возможность для построения матрицы преобразования, которую можно применять для конденсации стольких степеней свободы, сколько ограничений задано сверх числа уравнений жесткости. Таким образом, используем подход, предложенный в разд. 2.8. [c.94]

Решая редуцированные уравнения жесткости, находим А, , который можно подставить в (3.30) и найти А . [c.95]

Силовые равенства (строки) в глобальных уравнениях жесткости преобразуются на базе аналогичных рассуждений. Так, согласно обычному преобразованию координат, имеем [c.100]

Введите связь в уравнениях жесткости задачи 3.3 и постройте редуцированную матрицу жесткости. Сравните решения для 8 4 при ограничениях и без них, положив Р4=4800 фунтов (остальные силы равны нулю). [c.103]

Прямой метод построения уравнений жесткости состоит из следующих шагов. [c.126]

С помощью определения усилий, статически эквивалентных напряжениям, действующим на границе элемента, выводятся выражения для сил в узлах элемента (Р в зависимости от вида поля напряжений о. Так как поле напряжений о выражено в терминах А (шаг 3), то на данном шаге можно связать (Р и А . Результирующие соотношения являются, по определению, уравнениями жесткости элемента. [c.126]

Находим, что уравнения жесткости элемента записываются в виде Р =[к] А , где [c.129]

Используя метод взвешенных невязок с критерием Галеркина, получите интегральную форму соотношений, необходимую для построения соответствующи уравнений жесткости элемента. Предположите, что поле перемещений аппроксимируется в виде а)=Л/1а)1+Л/2б1+Л/зШ2+Л/402, где. ....N1 задаются с помощью (5,14а). [c.150]

Окончательно, замечая, что это соотношение справедливо для любых значений виртуальных узловых перемещений бА , запишем следующие уравнения жесткости элемента, учитывающие начальные деформации и силы инерции [c.157]

Левую часть соотношения (6.18) следует добавить к левой части соотношения для виртуальной работы (6.15), откуда следует, что Р должно быть добавлено к левой части уравнения жесткости [c.158]

Принцип минимума потенциальной энергии представляет собой основу для непосредственной формулировки уравнений жесткости элемента. Потенциальная энергия конструкции Пр представляет собой сумму энергии деформации и и потенциала внешних сил V, [c.169]

В гл. 6 изучался ряд подходов, альтернативных к традиционным и основанных на принципах минимума потенциальной и дополнительной энергии. Причем альтернативные подходы характеризовались смягчением условий непрерывности полей между элементами. Изложенные процедуры позволяли сформулировать для элемента самосогласованные соотношения, которые стыкуются с соотношениями соседних элементов, не требуя введения модификации в процедуру глобального анализа. Ниже описывается другой класс процедур, в которых условия на межэлементную непрерывность полей смягчены, но для реализации которых требуется выполнить специальные операции с глобальными уравнениями (и, в частности, наложить некоторые ограничения на глобальные уравнения жесткости). [c.215]

Разлагая соответствующие произведения матриц, проверьте, что конденсацию системы уравнений жесткости можно осуществить, полагая равными нулю силы, отвечающие исключенным степеням свободы, и строя матрицу преобразования, отвечающую этому базису (т е. проверьте подстрочное прим. в разд. 2.7). 7.2. Вычислите смещение свободного края нагруженной на конце консольной балки (см. рис. Р7 2). С этой целью постройте матрицу жесткости для конусообразного элемента, выбирая коническую конфигурацию для элемента и функцию формы, отвечающую конструктивному элементу постоянного поперечного сечения. Проведите расчеты для одно- и двухэлементного представлений и проверьте для решений свойство нижней границы [/=/1(1—] [c.225]

Для существования решения, основанного на принципе минимума энергии, необходимо выполнение условия 2. В разд. 2.9 показано, что число мод движений тела как твердого целого, содержащихся в системе уравнений жесткости элемента, можно определить, подсчитав собственные значения матрицы коэффициентов жесткости. Это условие сводится к требованию, чтобы упругие деформации не возникали при движении тела как твердого целого. В случае простых элементов нетрудно проверить это требование. Например, для изображенного на рис. 5.4 треугольного элемента деформация определяется, согласно (5.21а) и (5.22), в виде [c.229]

Это основное уравнение жесткости при изгибе может быть применено для расчета жесткости элементов конструкции любого поперечного сечения. В общем случае для прямоугольного поперечного сечения I=bf ll2 и, следовательно, жесткость при изгибе Е1 = ЕЬР1 2, где Ь — ширина, а / — толщина элемента конструкции. Необходимо отметить, что жесткость при изгибе зависит от толщины элемента конструкции в третьей степени и, следовательно, резко увеличивается с ее ростом. Увеличение толщины в 2 раза даст восьмикратное увеличение жесткости при изгибе в отличие от жесткости при растяжении (сжатии), когда увеличение толщины в 2 раза приводит лишь к двукратному увеличению жесткости. [c.183]

Определим вид соотношений, связывающих узловые силы и узловые перемещения конечного элемента, т. е. так называемые соотношения между силами и перемеш/гниями. Соотношения между силами и перемещениями для элемента записываются в одном из трех основных видов (1) уравнения жесткости, (2) уравнения податливости, (3) смешанные соотношения между силами и перемещениями. [c.45]

Наконец, полная система уравнений жесткости для элементг связывает все узловые силы элемента с его степенями свободы, Когда это требуется, в число степеней свободы включается и движение тела как твердого целого. Так, для балочного элемента исключенные перемещения, отвечающие любому из изображенных нг рис. 2.8(Ь) и (с) условию закрепления, суть совокупность переме щений, связанных с движением тела как твердого целого. Если выделить такого рода степени свободы и силы, то можно более кратко описать жесткостные свойства элемента. Однако это потребует, как показано в гл. 7, применения специальным образом определенной методики построения полной аналитической модели. [c.48]

Однако можно доказать, что наличие вектора L 0 оказывает влияния на преобразование Вектор[ Д О J отвечает движению тела как твердого целого Хотя преобразование, включающее движение тела как твердого целого, изменяет пол ную энергию системы, алгебраические уравнения, которые задают поведение конструкции (например, уравнения жесткости (2 1)), выводятся из условия ста ционарности энергии, а на это условие движение тела как твердого целого не влия ет Можно убедиться в этом, подставляя (2 36а) в выражение для потенциальной энергии [c.61]

Коэффициенты системы уравнений жесткости элемента, вообще говоря, связаны, т. е. внедиагональные коэффициенты отличны от нуля. Поэтому каждая строка есть вектор с отличными от нуля проекциями на более чем одно из п главных направлений. Указанные строки можно преобразовать в векторы, соответствующие п главным направлениям. Эти векторы имеют одну ненулевую компоненту, лежащую на главной диагонали матрицы, и образуют в совокупности диагональную матрицу. Если пара исходных векторов коллинеарна, то один из диагональных элементов окажется равным нулю (число главных направлений меньше, чем размерность исходных векторов на единицу). Если существует s наборов колли-неарных векторов, то на диагонали матрицы, задающей главные направления, будет S нулевых элементов. [c.63]

На рис. P2.ll приведена матрица жесткости трехузлового стержневого элемента. Осуществите конденсацию этого представления и получите систему уравнений жесткости для и, и и . [c.67]

Существует много различающихся деталями вариантов построения глобальной системы уравнений жесткости. Рассматриваемые в данной главе подходы — это прямые методы жесткости и методы конгруэнтных преобразований. Изложив эти методы, в разд. 3.4 задержимся для того, чтобы сделать обзор преимуществ (и некоторых ограничений) метода конечных элементов как общей процедуры расчета конструкций. В разд. 3.5 перейдем к изучению специальных операций над глобальными уравнениями, при этом часть операций необходима, а часть полезна. Сюда входят разбиение на подконструкции, наложение ограничений и использование координат узлов. [c.70]

Уравнение жесткости элемента. =10 фунт/дюйм, ц=0.3. Все величины вычисляются вручную. Для элемента А (элемент 1—2) справедливо AlL=0.7/70. Относительно матрицы жесткости см. разд. 2.3. Преобразование проводится согласно разд, 2.7 при этом созф=1, sin ф=0 [c.77]

Полученное уравнение жесткости в совокупности с аналогичными уравнениями для других основных подконструкций можно использовать при построении уравнений жесткости для степеней свободы, отвечающих участкам соприкосновения подконструкций, т. е. для всей конструкции (подконструкции Р, О я Н) [c.93]

Уравнения связи — это соотношения между степенями свободы, задаваемые дополнительно к основным уравнениям жесткости. Простое задание условий закрепления, т. е. А =0, приводит к ограничениям, но, как было видно, его легко учесть непосредственно после построения глобальной матрицы жесткости. Целям настоящих рассмотрений более соответствует показанный на рис. 3.10 случай изгибаемого элемента, соединенного с твердым телом. Ясно, что на смещение узлов 1—5 наложены связи, препятствующие установлению линейного закона для смещения ш, которое диктуется угловым смещением нормали к срединной поверхности оболочечного элемента. Связи возникают и во многих других случаях, включая обсуждаемую в следующем разделе схему метода редуцированных подконструкций, некоторые подходы к расчету не- [c.93]

Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткост элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента изображенного на рис. 5.3 и 5.4. Элемент имеет постоянную тол щину 1, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения эле мент расположен так, чтобы одна из его сторон лежала на оси л Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, та как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состоя нне (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткост приводят к приближенным решениям дифференциальных уравне ний, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изу чаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областя практических приложений. [c.134]

Проиллюстрируем предлагаемый метод, применяя его сначала для построения уравнений жесткости стержневого элемента, обсуждавшегося ранее в этой главе, с добавлением распределенной нагрузки q согласно рис. 5.7. Требуется построить соотношения в терминах перемещений, где Д= . Для этого случая определяющее дифференциальное уравнение получается подстановкой соотношений между напряжениями и перемещениями [ох=Е (duldx)] в [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...