Изгиб балок Уравнений

Чтобы прийти к реалистической задаче оптимального проектирования балок с заданной упругой податливостью под действием заданных нагрузок, примем, что имеющееся в нашем распоряжении пространство представляет собой цилиндр или призму, у которых плоскостями симметрии служат плоскости ху и XZ, а длиной является пролет балки. Типичное поперечное сечение балки должно состоять из двух симметричных полок (заштрихованных на рис. 1), соединенных тонкой стенкой, срединная плоскость которой совпадает с плоскостью ху. В соответствии с обычной теорией изгиба балок предполагается, что осевые напряжения воспринимаются только полками. Если нагрузки прилагаются к стенке, то поверхности полок будут свободны от усилий. Так как конечные сечения балки, так же как внешние поверхности полок A D и A D на рис, 1, расположены на Vo, то проектировщику предоставляется выбор внутренних поверхностей полок ABD и A B D на рис. 1. Уравнения этих поверхностей запишем в виде у = Уо xz). Строго говоря, данная задача [c.80]

Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся следующим образом. Делается некоторое кинематическое предположение о характере распределения перемещений, составляется функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функционала получается дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая к той, которая лежит в основе построения технической теории изгиба балок и пластин). Простейшая теория, которая будет изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще Рэлеем. Это уравнение содержит предположение элементарной теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внимание инерцию поперечного движения элементов стержня. Направим ось Xi по центральной оси стержня произвольного поперечного сечения, тогда оси и Хз будут лежать в плоскости поперечного сечения. Полагая деформацию = независящей от Хг х , найдем вгг = зз = —vmi, i, следовательно, перемещения равны [c.449]

Уравнения (11.8), (11.9) представляют собой полную систему дифференциальных уравнений задачи об изгибе балок. [c.230]

Последние два уравнения системы (16.61) действительно напоминают уравнения связи между моментом и поперечной силой в теории изгиба балок. Тем самым здесь подтверждена правомочность использования уравнения (16.29) при анализе порядков значений усилий и моментов в 16.6. [c.390]

Выше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласно этой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами поперечным перемещением V и углом поворота сечения (рис. 3.22). Угол сдвига равен > ) = О — v, где v — угол поворота нормали к оси балки. [c.109]

Это дифференциальное уравнение было получено Рэлеем. Мы не будем заниматься его интегрированием, потому что во всех тех случаях, когда необходим учет инерции поворота, в еще большей мере необходим учет еще одного обстоятельства, которое не было принято во внимание Рэлеем,— сдвигов, которыми также пренебрегают в обычной технической теории изгиба балок. [c.130]

Влияние сдвигов. В подробных курсах сопротивления материалов можно найти, что уточненное дифференциальное уравнение изгиба балок, приближенно учитывающее дополнительные деформации, связанные со сдвигами, имеет вид (при постоянном сечении балки и отсутствии распределенной моментной нагрузки) [c.130]

В случае поперечного изгиба балок скорости изменения прогибов определяются интегрированием дифференциального уравнения [c.295]

В случае поперечного изгиба балок прогибы, образовавшиеся в результате ползучести материала, определяются интегрированием дифференциального уравнения [c.289]

При этом дифференциальное уравнение изогнутой оси балки становится нелинейным, что существенно усложняет его интегрирование. В дальнейшем будем использовать только приближенное уравнение (9.1), поскольку оно позволяет получать практически точные решения для большинства задач изгиба балок. [c.185]

Эта модель связана с именем С. П. Тимошенко, предложившего применять ее к теории изгиба балок. Важно отметить, что уравнения движения для модели второго приближения получаются гиперболического типа. Их недостаток состоит в том, что они построены иа гипотезах, которые, по крайней мере на первый взгляд, носят интуитивный характер. [c.109]

Таким образом остаются в силе уравнения (5.028) и (5.029) предыдущего параграфа. Сделанный вывод подтверждает обычные формулы, применяемые при изучении изгиба балок. [c.365]

В рамках классической теории изгиба балок, лежащих на упругом основании (упругом в смысле одного коэффициента постели), дифференциальные уравнения изгиба разделенных упругой прослойкой полубесконечных балок, концы которых соединены упругими связями с жестокостью R, имеют вид [c.222]

В качестве примера на приложение общих уравнений (3), рассмотрим, как будет вести себя кубик, подверженный равномерному продольному напряжению p , в том случае, когда боковое сжатие может свободно происходить в одном направлении (в направлении е ), но не может происходить в другом направлении (в направлении е ). Несколько трудно представить себе, как эти условия можно осуществить практически. Однако позже мы увидим, что эти результаты имеют приложение в теории изгиба балок и пластинок ). [c.167]

После этого Кулон переходит к построению теории изгиба балок (рис. 29, г). Взяв прямоугольную консоль и рассматривая поперечное сечение AD, он заключает, что волокна верхней части АС поперечного сечения работают на растяжение, в то время как волокна нижней части сжаты. Разлагая действующие в волокнах усилия на горизонтальные и вертикальные составляющие (как показано векторами PQ и P Q) и применяя к ним три уравнения [c.64]

В своей работе по изгибу балок Кульман дает графический способ исследования напряжений в произвольной точке А (рис. 112, а) балки. Рассматривая бесконечно малый ее элемент Атп и обозначая компоненты напряжения, действующие по площадкам, проходящим через А и перпендикулярным к осям жиг/, соответственно через и он доказывает, что нормальная и касательная компоненты напряжения, действующего по произвольной наклонной площадке тп, определятся координатами точек на окружности круга напряжений. Для построения этого круга нам нужно лишь фиксировать точку а (рис. 112, б) с координатами и и определить симметричную ей относительно оси X точку а,. Тогда прямая а,6 представит диаметр круга напряжений, а на этом диаметре можно построить самый круг. Из уравнений равновесия элемента Атп Кульман показывает, что компоненты о и t напряжения, действующего на некоторую пло- [c.236]

В начале своей научной деятельности в университетском колледже Пирсон опубликовал несколько собственных научных работ по теории упругости, из числа которых особый интерес для специалистов представляет его исследование Об изгибе тяжелых балок под действием систем сплошных нагрузок ). В этой работе Пирсон обобщает теорию изгиба балок на случаи действия объемных сил, к которым, в частности и в первую очередь, относится сила тяжести. Из полного решения задачи для круглого и эллиптического поперечных сечений Пирсон заключает, что теорию Бернулли—Эйлера нельзя признать строгой для балок, находящихся под действием сплошных нагрузок, хотя, с другой стороны, результаты ее и близко сходятСя с получаемыми средствами точной теории . Некоторые из работ Пирсона представляют интерес для инженеров. Он исследовал изгиб неразрезных балок на упругих опорах ) и показал, что в такой постановке задача приводит к уравнениям, в которые входят значения моментов на пяти последовательных опорах. Он исследовал также важную для практики задачу о напряжениях в каменных плотинах ). [c.410]

Ниже мы приводим приближенное решение той же задачи, основанное на применении тригонометрических рядов к исследованию изгиба балок главного направления и перекрестных балок. Уравнение поверхности, по которой расположатся узловые точки нашей системы (рис. 1) после искривления, может быть представлено так [c.382]

Решение этого уравнения определяет форму упругой линии балки. Но так как оно нелинейно, то его аналитическое решение может быть получено только для некоторых частных случаев изгиба балок постоянной жесткости, которые были исследованы еш е Я. Бернулли, Л. Эйлером, С. Якоби, Ж. Лагранжем. И даже для этих случаев решение связано с преодолением значительных математических трудностей. [c.217]

При исследовании малых прогибов упругих стержней показано, как можно ввести поперечный сдвиг в дифференциальное уравнение равновесия этой теории. Излагается расчет балок на упругом основании и важная для судостроения задача, поставленная И. Г. Бубновым, о расчете перекрестных балок. Рассмотрен продольно-поперечный изгиб балок, приводится точное, а также приближенное, развитое автором, решение в тригонометрических рядах. Дается систематизированное изложение теории выпучивания прямых сплошных стержней, полос, круговых колец, двутавровых балок, устойчивости вала при кручении. Уточняется известная задача Ф. С. Ясинского о расчете на устойчивость пояса открытых мостов. Приводятся точные и приближенные решения этой задачи энергетическим методом, данные самим автором. Особенно ценны результаты, относящиеся к устойчивости плоской формы изгиба полос и двутавровых балок. Теория изгиба, кручения и устойчивости двутавровых балок была разработана автором в 1905—1906 годах и оказалась основополагающим исследованием для последующих разработок в области расчета и общей теории тонкостенных стержней. Автор приводит компактные формулы для расчета критических сил. [c.6]

Это уравнение приходится брать вместо уравнения (2), когда желательно найти более точное выражение для изогнутой оси стержня. Интегрируя уравнение (2) или (5) и принимая при этом во внимание условия закрепления концов, мы без особых затруднений можем в каждом частном случае найти прогибы стержня и углы поворота отдельных поперечных сечений. Ряд простейших примеров этого рода разобран в курсе сопротивления материалов, и мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением нескольких более сложных задач, относящихся к исследованию изгиба балок, лежащих на упругом основании, и балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия или изгиба и растяжения. [c.191]

Уравнение это, полученное на основании условий равновесия выделенного нами элемента, включает три неизвестные величины М , и Н -, и нам для дальнейшего решения задачи необходимо установить между этими величинами дополнительные зависимости, что возможно сделать, если обратиться к деформациям пластинки. Связь между моментами Мц ж Ну ж прогибами пластинки м установим приближенным способом, положив в основу наших дальнейших выводов гипотезу, аналогичную гипотезе плоских сечений, на которой построена приближенная теория изгиба балок. [c.380]

Изгиб балок — Расчет прогибов и углов поворота сечений 221—230 — Уравнения дифференциальные упругой линии — Интегрирование — Методы 221—226 [c.781]

На основании выполненных примеров можно установить следующий ПОРЯДОК определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения Упругой линии. [c.333]

В заключение можно сказать, что предыдущие формулы и выражения для неупругих прогибов в сходных случаях изгиба балок и стержней, выведенные исходя из принципа минимума дополнительной работы, могут, по-видимому, быть полезными в связи с другими приложениями для определения скорости медленного прогибания металлических балок, нагружаемых при повышенных температурах, если применить для описания ползучести последний закон деформирования, выражаемый уравнением (3.83). [c.188]

С помощью теоремы о минимуме потенциальной энергии можно сформулировать ряд частных утверждений, касающихся вида дифференциальных уравнений в перемещениях и связанных с ними естественных граничных условий для задач об изгибе балок, мембран, плит, оболочек, для кручения бруса, плоского напряженного состояния в пластинках и т. д. [c.124]

Уравнения движения упругих тел были выведены еще в начале прошлого столетия. Первоначально они использовались для решения одномерных задач о динамическом растяжении —сжатии и кручении стержней, изгибе балок и колебаниях круговых цилиндров и сфер. Лишь в начале нашего века эти уравнения были применены для решения сейсмических проблем. [c.291]

Обозначив допускаемые напряжения на растяжение и сжатие соответственно [Ор] и [а,. (], приходим к следующим уравнениям прочности при изгибе балок, для которых [Ор] Ф [Осж1- [c.174]

Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то продольно-поперечный изгиб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок — сводятся к решению линейных уравнений с постоянными ко )ффи-циеатами более сложного вида, чем уравнение (3.8.4). Трудность интегрирования этих уравнений заключается в том, что правая часть есть функция от Z, имеющая разные аналитические выражения на разных участках. Излагаемый ниже метод применялся еще Коши для изгиба балок он бьш детально разработан Крыловым. [c.103]

Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями Z = h и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. В плоскости z = О, называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты Ха (а = 1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2h (рис. 12.4.1). Так же, как в 2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за 1[аимень-ший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости Z = 0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготов- Рис. 12.4.1 ленных из нелинейно-упругого или пластического материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто. [c.395]

Теперь ясно, почему этот вопрос поднимается при определении критической силы по Эйлеру, но не при выводе обычных уравнений теории изгиба балок. В задаче Эйлера сте )жеиъ весь, целиком, в результате предварительного [c.447]

Пример 2. Для функции и>(х) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением четвертого порядка (2/и=4), посороить интерполирующий полином для конечного алемента. К этому классу задач относится задача изгиба балок. [c.59]

В общем случае решение этого нелинейного уравнения может бьпъ найдено методом упругих решений, после чего определяют напряжения т. Алгоритм метода упругих решений строится так, как в задаче изгиба балок (см. п. 8.7.3). [c.63]

Кроме того, из (9.12) —(9.14) нетрудно убедиться, что а ( 1, т])=0. Таким образом, полученные уравнения изгиба балок позволяют удовлетворять на краях балки не только ии-тегральпому условию (что соответствует отсутствию усилия [c.61]

В 1713 г. Паран выпустил по изгибу балок две научные работы ), представляющие собой крупный шаг вперед. В первой из lutx он показывает, что уравнение [c.59]

В руководстве по сопротивлению материалов, появившемся н 1867 г., Винклер уже не придерживается элементарного изло->ь-ерия предмета, а дает общие уравнения теории упругости и использует их в теории изгиба балок. Он сравнивает обычные [c.187]

Эйри проявлял неизменный интерес к применениям математики в решении технических задач. Он принимал непосредственное участие в сооружении больших трубчатых мостов и показал Фейрбейрну, каким образом можно определять необходимые размеры поперечных сечений этих мостов по результатам, полученным из испытаний моделей (стр. 193). Занявшись теорией изгиба балок, он представил в 1862 г. доклад на эту тему в Королевское общество ). Рассматривая балку прямоугольного сечения как объект двумерной задачи, Эйри получает дифференциальные уравнения равновесия [c.273]

Уравнение это играет в теории изгиба пластинок такзгю же роль, что и уравнение (4) при исследовании изгиба балок. Бели для какого-либо случая удается найти решение уравнения (206), то при помош и формул (198) и (205) сейчас же находятся моменты М , и соответствующие им напряжения. [c.382]

Методы теории подобия и анализа размерности. В том случае, когда физическое или механическое явление изучено настолько, что представляется возможным правильно матёматически поставить задачу, написать основные уравнения и сформулировать граничные условия, можно, не имея решения составленных уравнений, произвести масштабные преобразования этих уравнений и найти соответствующие критерии подобия. Именно этим путем были получены критерии статического подобия изгиба балок (25.23). Метод теории подобия, таким образом, предполагает наличие значительного объема информаций, относящейся к изучаемому объекту. [c.290]

Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ), которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым ) решен ряд задач об изгибе пластин. [c.12]

Если в пластической зоне деформации г" становятся преобладающими, то в этой области V приближается к /г Упругая зона должна быть окружена слоем материала, в котором коэффициент Пуассона меняется в интервале значений от v = Vз (для стали), соответствующих чисто упругим деформациям, до значения =72- Хотя предшествующие замечания можно отнести в первую очередь к более простым случаям частичной текучести, как, например, к изгибу балок и др., здесь все же вновь следует указать на то, что если составляющие напряжений, вызывающие течение элементов материала, изменяются в процессе пластического деформирования, то упруго-пластические зависимости (28.38) между напряжениями и деформациями в конечной форме следует заменить соответствующими зависимостями для бесконечно малых приращений деформации. Это имеет место, когда пластическая зона продвигается через тело, неся с собой собственное поле напряжений (хотя в некоторых более простых приложениях главные направления напряжений и не претерпевают поворота в элементах материала). В таких задачах следует рассматривать приращения полной деформации, которые равны суммам приращений их уирз той и пластической частей, для чего необходимо шаг за шагом интегрировать все зависимости между напряжениями и деформациями (помимо интегрирования других уравнений). Ход соответствующих выкладок указан в статье Р. Хилла, Е. Ли, С. Таппера ). К. Свейнгер распространил интегрирование бесконечно малых приращений полной деформации на случай металла, обладающего упрочнением. Он имел дело в одном случае с малыми ), в другом —с конечными ) деформациями и предполагал, что можно упростить вычисления для трехмерного однородного напряженного состояния, заменив кривую [c.481]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...