Стержни Уравнения с учетом деформаций

Подкрепляющий стержень рассматривается как упругая линия, работающая на изгиб, кручение и сдвиг. Исходные уравнения теории тонких криволинейных стержней с учетом деформаций сдвига имеют следующий вид [c.238]

В третьем разделе приведены основные законы и уравнения теории установившейся и неустановившейся ползучести, методы их применения при расчете элементов конструкций с учетом деформаций ползучести и решения краевых задач, а также методы расчета на прочность стержней, стержневых систем, цилиндров, пластин и дисков, работающих в условиях ползучести. Наиболее подробно рассмотрены законы и уравнения теории ползучести, применяемые при сложном напряженном состоянии твердого деформируемого тела. [c.12]

В. В. Мещеряков [1.481 (1970) вывел уравнения изгибно-крутильных движений сжатого тонкостенного стержня открытого профиля с учетом деформаций сдвига. Полученная система трех уравнений в матричной форме имеет следующий вид [c.22]

Уравнения (3.10), (4.12) не учитывают деформации сдвига и инерции вращения при колебаниях. Поэтому они достаточно хорошо описывают поперечные колебания стержня с большим отношением длины к высоте сечения к > 6) и при малых частотах. Однако, для рамных систем фундаментов тяжелого оборудования и подобных конструкций, когда 1пЪ<6, где п - номер тона колебаний Ъ - характерный размер поперечного сечения - длина полуволны упругой линии стержня, уже необходимо учитывать сдвиг и инерцию вращения [39,43]. Проблема построения более точных решений поперечных колебаний стержня весьма актуальна и в теории устойчивости в связи с применением динамического метода. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний прямолинейного стержня с учетом деформаций сдвига и инерции вращения вывел выдающийся русский ученый проф. С.П. Тимошенко [91]. Его модель ныне утвердилась как наиболее точная и широко применяется в различных задачах механики конструкций. Для применения модели С.П. Тимошенко в задачах устойчивости необходимо до- [c.151]

Уравнение упругой линни с учетом деформации сдвига. Рассмотрим плоский изгиб стержня. Если длииа стержня соизмерима с его высотой. [c.216]

Ограничимся пока случаем, когда перемещения точек осевой линии стержня малы. Мысленно выделим элемент стержня и рассмотрим его равновесие (рис. 4.1,6) с учетом всех сил, действующих на этот элемент. Так как проекции сил остаются неизменными в декартовых осях, то целесообразно и уравнения равновесия получить в этих осях. Считаем, что сечения стержня остаются при деформации стержня плоскими и ортогональными осевой линии стержня, т. е. деформации сдвига не учитываются. [c.129]

Выше при выводе основного линеаризованного уравнения использовалась обычная теория изгиба балок, не учитывающая влияния деформаций сдвига, вызываемых поперечными силами. Рассмотрим вариант решения задачи устойчивости прямого стержня с учетом влияния деформаций сдвига. Воспользуемся расчетной схемой балки, предложенной С. П. Тимошенко. Согласно этой схеме плоские сечения, до деформации балки нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба балки, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме С. П. Тимошенко положение каждого сечения деформированной балки определяется двумя независимыми величинами поперечным перемещением V и углом поворота сечения (рис. 3.22). Угол сдвига равен > ) = О — v, где v — угол поворота нормали к оси балки. [c.109]

Второе уравнение получим, если запишем условие неизменности расстояния между концами стержня с учетом его осевой деформации и искривления [c.227]

Рассмотрим колебания кругового стержня с прямолинейным участком (рис. 8.4), представляющего собой ветвь камертона. Уравнения малых колебаний криволинейного участка стержня совпадают с уравнениями (8.73). Получим уравнения малых колебаний прямолинейного участка стержня с учетом горизонтального перемещения стержня из-за деформации криволинейного участка. [c.189]

Задача является статически неопределимой второе уравнение получается из рассмотрения условий совместности деформаций с учетом того, что как бронзовая, так и стальная части стержня (ррс. 39) укоротятся на одну и ту же величину Д/, так как боковые плоскости обеих частей совпадают. По закону Гука имеем [c.76]

Здесь Д/др — статическая деформация от груза Q+ FZ/S. Полученное нами дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня отличается от уравнения (29.23) только [c.508]

Классическая теория пластин применима, когда толщина пластины мала по сравнению с характерным масштабом изменения напряженно-деформированного состояния Ь < Х ). В этом случае оправдано пренебрежение влиянием деформаций поперечных сдвигов и инерцией вращения нормальных элементов. Если указанное выше условие нарушается (Л Ц, то при рассмотрении задач колебаний пластин необходим учет деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения нормальных элементов. Распространение теории Тимошенко для стержней на пластины приводит к уравнениям [c.159]

Приведем постановку задачи о выпучивании полубесконечного упругого стержня при продольном ударе телом, движущимся с постоянной скоростью V. В этом случае продольная волна сжимающих напряжений и выпучивание с учетом начального прогиба Н о( ). деформации поперечного сдвига и инерции вращения, а также неоднородности сжимающих усилий описываются линеаризованной по прогибам и системой уравнений [c.513]

При or as скорость пластической деформации равна нулю. Уравнение (1) в сочетании с одномерным волновым уравнением без учета эффектов поперечной инерции и с соотношением деформация-перемещение для больших деформаций образует квазилинейную систему уравнений, описывающую нестационарные упругопластические деформации в стержне. Эту систему можно решить только численными методами в данном случае применяется конечно-разностная схема, позволяющая моделировать реальные эксперименты по ударному нагружению, при которых нельзя пренебрегать влиянием распространения волн. В математической модели используется определяющее уравнение (2) с лагранжевой [c.216]

С учетом возможной остаточной деформации уравнение для полного относительного удлинения стержня примет вид [c.114]

Для составления, например, уравнения колебаний цепи рабочего органа многоковшового экскаватора, рассматриваемой как однородный по длине упругий стержень, масса которого соответствует массе цепного рабочего органа с учетом наличия грунта в ковшах, рассмотрим выделенный по его длине элементарный участок dx (рис. 57). Длина этого участка ограничена двумя бесконечно близкими сечениями стержня х и [x+dx). Через и х, t) обозначим упругую деформацию (смещение) данного сечения относительно положения равновесия. Растягивающая сила, действующая в сечении х, составит [c.114]

И изгибу призматических стержней и валов переменного диаметра на основе нелинейной теории наследственности с учетом старения материала. Решения задач сводятся к исследованию нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра второго рода. Для решения этих уравнений используется метод малого параметра (этим параметром характеризуется степень нелинейности деформации ползучести), причем приводится доказательство сходимости предложенного метода решения. [c.191]

Дифференциальное уравнение упругой линии стержня с учетом влияния деформации сдвига [c.217]

В работе [1.18] (1969) исследовались методом конечных разностей динамические прогибы шарнирно опертого стержня при продольном ударе по его торцу. Исследование проведено в геометрически нелинейной постановке. Из условия равновесия элемента записаны с учетом начальной погиби, деформации сдвига и инерции вращения три связанных гиперболических нелинейных уравнения относительно продоль- [c.76]

Решая уравнение (11.16) с учетом выражений (11.17) и (11.18), можно найти распределение смещений, деформаций и I апряжений по дли ге стержня для любого момента времени. [c.51]

Переменная (г, г) для всех точек сечения стержня зависит только от координаты Хр Следовательно, в процессе деформации всякое сечение стержня остается плоским и перемещается вдоль оси 0x1- Переменные г и Щ определяются из уравнений (4.4) с учетом равенств ы (0, х , х , О = О, Л = 2, 3, в виде [c.241]

Учет поперечных сдвигов и инерции поперечных сечений. Когда длина волны поперечных колебаний соизмерима с размерами поперечного сечения стержня, применяют уточненные уравнения, в которых учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений. В уточненной теории Тимошенко введено предположение поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными к деформированной оси стержня. Потенциальная энергия деформации [c.333]

Прогибом составного стержня с абсолютно жесткими поперечными связями будем считать смещение сечения, но не относительно неподвижных осей координат, а относительно точки прохождения равнодействующей всех осевых сил через данное поперечное сечение стержня. Другими словами, прогиб стержня отсчитываем не от первоначального положения его оси, а от конечного положения линии действия равнодействующей всех осевых сил. Так, например, в консольном стержне (рис. 72) прогиб свободного конца будем считать равным нулю, а прогиб в заделке — некоторому максимальному значению. Такое определение прогиба стержня позволит написать для учета влияния деформаций стержня дополнительное дифференциальное уравнение второго порядка, пригодное для большинства случаев опорных закреплений. [c.152]

Получим уравнения малых колебаний стержня переменного сечения с учетом инерции вращения и сдвига, нагруженного распределенной мертвой нагрузкой =сопз1 (рис. 7.4,а). Рассмотрим элемент стержня с1х (рис. 7.4,6). С учетом деформаций сдвига торцовые сечения элемента повернутся на дополнительный угол уср, поэтому полный угол поворота элемента (рис. 7.4,а) [c.176]

Получим уравнения малых колебаний стержня переменного сечения, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой <7го = onst, qy t) (рис. 6.12). Рассмотрим элемент стержня dz (рис. 6.13, а). С учетом деформаций сдвига торцовые сечения элемента повернутся на дополнительный угол 7<,р. поэтому полный угол поворота элемента [c.140]

Следуя С. П. Тимошенко 11.328] (1921) запишем уравнения изгибных колебаний однородного призматического стержня с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения]. Суммарный угол накло-на касательной к кривой изгиба дт дх в этом случае слагается из угловых деформаций, изгибной г) и сдвиговой у у нейтральной оси (см. фиг. 1.2), [c.16]

В работе H. Favre [ 1.159] (1964) выведено дифференциальное уравнение с учетом инерции вращения и деформации сдвига для стержня из вязко-упругого материала, характе ри-зуемого соотношениями [c.20]

Обсуждение статической неопределимости закона распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нерегулярностей формы возникает резкая неравномерность распределения напряжений со значительными пиками вблизи указанных нерегулярностей. Это явление носит па. атптконцгнтрации напряжений. Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других видах деформации стержня, а-также при деформации элементов любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится считаться как при конструировании элементов конструкций и деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала), в которой вместо гипотез геометрического характера используются дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела, а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это делается в сопротивлении материалов. [c.99]

Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия. Используя определение эйлеровой критической силы как наименьщей из сил, способных удержать стержень в искривленном состоянии, полагая в качестве такового положение нейтрального (безразличного) равновесия, составим такое дифференциальное уравнение равновесия стержня, находящегося в отмеченном выще состоянии, т. е. уравнение относительно бо-возмущения (прогиба) первоначально прямолинейного очертания оси, из которого можно найти нетривиальное для 8v рещение. Уравнением, удовлетворяющим этому условию, является уравнение равновесия, составленное с учетом поворота, но без учета деформации элемента стержня ). [c.329]

Эти уравнения позволяют определить (с учетом пластического течения элемента 2) закономерности изменения безразмерных усилий и деформаций стержня -при колебаниях температуры. Расчет начинается с нулевого полуцнкла (первый нагрев). Вначале деформации упругие, и из приведенных уравнений сохраняют свое значение только два—(7.36) и (7.37), причем ср = бр = 0. Определяемые из этих уравнений функции y=y Q) и [c.230]

IB качестве примера получим уравнение равновесия стержня (с учетом сил веса), показанного на рис. 3.9, считая Лзз = onst. До приложения силы Р стержень был прямой. Сила Р в процессе деформации стержня остается параллельной оси х . В этом случае имеем (в безразмерной форме) [c.80]

Сопоставляя формулы (1.52) и (1.66), можно прийти к выводу, что метод сил является менее алгоритмичным, чем метод перемеш,е-ний. При использовании метода перемеш,ений решают систему линейных уравнений с размерами 6р X 6р. Матрица системы уравнений при этом симметрична и положительно определенна. При использовании метода сил сначала следует рассчитать основную систему, для чего надо решить систему уравнений с матрицей [Aq, имеюш,ую размеры 6р X 6р. Матрица А(,] несимметрична. Далее решаем систему канонических уравнений, число которых равно степени статической неопределимости (6s—6р). При ручном счете метод перемещ,ений с учетом продольных деформаций стержней практически не используют из-за большого числа неизвестных и требований, предъявляемых к точности вычислений. В то же время метод сил находит широкое распространение при расчете стержневых систем, вследствие того, что при ручном счете легко определить усилия в основной статически определимой системе. [c.44]

Минимальные собственные частоты колебаний стержня обычно связаны с его деформациями изгиба. Максимальные перемещения и деформации при гармонической внешней нагрузке часто возникают при поперечных колебаниях стержня. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня переменной жесткости EJ(x) и распредеяенной массы т х) без учета сдвигов поперечных сечений имеет вид (рис. 8,13.5) [c.100]

В 1934 г. Доннелл [7.23] обратил внимание на важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях. Основы геометрически нелинейной теории были заложены работой Маргерра [3.10] (1938), хотя идейные вопросы этой теории были обсуждены еше раньше в работах Навье (1833), С. П. Тимошенко (1925) и Бицено (1935) [5.1] по прощелкиванию стержней и сферического купола. Позднее Карман и Цзян [7.35]. на основе уравнений Маргерра установили, что в закри-тической стадии нагрузка с ростом деформации падает. Такой результат был весьма неожиданным и противоречил известным фактам, полученным о решениях аналогичных задач для стержней и пластин, где нагрузка с ростом деформации непрерывно возрастала. [c.9]

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф (1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [123]. С. П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера — Кри. [c.14]

Однако при линейно-упругих деформациях A/i = Nily/2/EF, а А/з = —Щ1/ЕЕ. Знак минус здесь учитывает, что в уравнения равновесия (4.5.1) Щ входит как растягивающая сила, и поэтому величина N3I/EF является удлинением стержня, а в уравнении (4.5.2) А/3 — это укорочение стержня. С учетом этого из (4.5.2) следует, что [c.86]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

Сжатие стержней, сечения которых имеют местные ослабления (вырезы, отверстия, заклепки и т. п.) (рис. 14.13). Если стержень имеет местные ослабления сечения, то изменение параметра а в уравнении (14.5) мало сказывается на деформации стержня. Как показали исследования С. П. Тимошенко, величина Якр с учето.м местных ослаблений очень. мало отличается от величины критической силы, определяемой по формуле Эйлера без учета ослаблений. Даже при больших местных ослаблениях сечений (до 20%) влияние их на величину критической силы невелико. Поэтому практические расчеты на устойчивость сжатых стержней производятся без учета местных ослаблений, т. е. по сечению брутто. [c.412]

С. П. Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделан ранее Дж. Релеем > [1.294] (1877) и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу [1.120] (1859). Уравнение поперечных колебаний стержней с учетом инерции вращения и деформации сдвига обычно называют уравнением Тимошенко или уравнением балки Тимошенко, а уравнение учитывающее только инерцию вращения, — уравнением Релея. [c.14]

Л. 5г1(1агошзку [1.3Г9] (1960) получил уравнение изгибных колебаний стержня с учетом только деформации сдвига при действии осевой силы. Отсутствие четвертой производной по времени дает возможность применить метод разделения переменных. Рассмотрены колебания шарнирно опертого стержня при действии постоянной сжимающей силы, для которого определены со(бственные частоты и критические силы. На примере колебаний стержня двутаврового поперечного сечения показано, что учет деформации поперечного сдвига снижает частоты и тем больше, чем выше номер частоты. [c.77]

Обычно в принятых расчетных методиках корпусные детали турбин рассматриваются как составные осесимметричные оболочки переменной толщины, находящиеся в температурном поле, меняющемся вдоль оси и по радиусу оболочки. С применением таких расчетных методов был проведен анализ температурных напряжений в корпусах стопорных и регулирующих клапанов, а также ЦВД и ЦСД турбин типа К-200-130 [2]. Напряжения определялись по температурным полям, полученным термометриро-ванием корпусов при эксплуатации турбины. Полученные результаты дали общую картину термонапряженного состояния этих корпусов. Они показали, что максимальные напряжения в корпусе стопорного клапана имеют место в подфланцевой зоне, а в корпусах регулирующих клапанов — в месте их приварки к цилиндру и что наиболее термонапряженной зоной корпуса ЦВД является внутренняя поверхность стенки в зоне регулирующей ступени. Однако отсутствие учета влияния фланцев и других особенностей конструкции в этих расчетах приводит к тому, что полученные результаты не всегда, даже качественно, могут характеризовать термонапряженное состояние корпусов. В связи с этим предлагаются упрощенные методики учета влияния фланцев, в частности основанные на уравнениях для напряженного состояния при плоской деформации влияние фланца горизонтального разъема ЦВД часто оценивают по теории стержней. Для оценки кольцевых напряжений решается плоская задача при форме контура, соответствующей форме поперечного сечения. Йри этом рассматри- [c.55]

Это уравнение является аналогом уравнения (10-14), которое было получено нами в предположении, что объем стержня при деформации не меняется. В отличие от уравнения (10-14) в уравнении (10-100а) дифференциал йг вместо ij) имеет множитель [(1—2ц) р—ф]. Поэтому если учитывать изменение объема стержня при деформации, то в расчетах следует оперировать не с г]), а с [(1—2[i,) р— 1)]. Если давление окружающей среды р мало по сравнению с деформирующим напряжением ij), то учет изменения объема стержня не внесет практически ничего нового в расчеты, выполненные для случая V = onst. Если же давление среды соизмеримо с напряжением ij), то учет изменения V будет существенно влиять на результаты расчета. При этом величина [(1—2 i) р—iJ ] может оказаться весьма малой. Так, например, для случая, когда стальной стержень ((л = 0,25) растягивается с папря- [c.218]

Физическую причину различия предельных значений и С/ легко понять, учитывая, что это различие связано с коэффициентом Пуассона, который определяет сокращение поперечных размеров стержня при его удлинении. В случае тонкого стержня изменение его поперечных размеров при продольных деформациях не встречает сопротивления со стороны внешней среды, что эквивалентно меньшей эффективной жесткости по сравнению с безграничным телом при 0. В свою очередь, наличие поперечных пульсаций при распространении продольных волн в тонком стержне означает зависимость его поперечных размеров, т. е. площади 5, от координаты д , что не учитывалось при выводе уравнения (Х.74). Учет этого обстоятельства, выполненный Рэлеем (11 для круглого стержня радиусом Н, приводит к убыванию скорости с увеличением частоты при / < А. Физическая причина этого явления состоит в том, что возбуждение радиальных колебаний при продольных деформациях стержня приводит к большей кинетической энергии колеблющихся частиц по сравнению с чисто продольными колебаниями, что эквивалентно большей колеблющейся массе, т. е. меньшей эффективной жесткости для продольных волн. Когда длина волны Л становится соизмеримой с диаметром стержня, поперечный эф4 ект вызывает резонансные радиальные колебания. В резонансной области наблюдается аномальная дисперсия скорость продольных волн падает до нуля, а затем при дальнейшем увеличении частоты быстро возвращается из бесконечности, устремляясь к новому, высокочастотному предельному значению с (оо) = с,, определяемому формулой (Х.76). Общая картина геометрической дисперсии качественно изображена на рис. 69, который хорошо согласуется с экспериментальными данными [12]. Вся область существенной дисперсии на этой картине располагается в небольшом диапазоне частот, соответствующем изменению длины волны Л на (30 40) 0 относительно радиуса стержня. Однако, как показывает опыт, при точных измерениях скорости распространения ультразвуковых волн в стержневидных образцах геометрическая дисперсия ощущается даже тогда, когда поперечные размеры стержня превышают длину ультразвуковой волны в десятки и сотни раз [78]. [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...