Матричная Уравнения упругости

Сюда входит неизвестный вектор ц Мп—Р1). Матричное уравнение (5.8) совпадает с (4.39). Таким образом, начало виртуальных перемещений совместно с матричным уравнением упругости (4.6) и требованием, чтобы заданные узловые перемещения принимали соответствующие значения, позволяет получить разрешающую систему уравнений (4.39) в перемещениях. На основе (5.7) получаются также и другие формы разрешающих уравнений в перемещениях (4.37) и (4.38). [c.96]

Величина тх является вектором (матрицей с одним столбцом) и называется вектором силы инерции. Соответственно кх — вектор силы упругости, или упругий вектор. Решение матричного уравнения (8.1.7) естественно искать в виде вектора [c.283]

Выражая силы и моменты по уравнениям упругости (5.46) и заменяя деформации и параметры изменения кривизны их значениями по (5.97), получим уравнения равновесия в перемещениях. Эту систему уравнений удобно записать в матричной форме [c.278]

Удобство использования разработанного алгоритма заключается в том, что увеличение числа сателлитов не изменяет структуру самого уравнения, а приводит лишь к соответствующему увеличению числа однотипных блоков в матричном уравнении (1). Кроме того, составленное по описанной выше методике матричное уравнение пригодно также для случая, когда эпицикл рассматривается в виде упругого кольца, т. е. как система с распределенными инерционными и жесткостными параметрами. [c.138]

Учет упругости эпицикла сводится к соответствующей замене в элементах блоков Bi, , Б , Д, Д коэффициентов динамических податливостей, относящихся к эпициклу. При такой замене порядок матричного уравнения и алгоритм его построения остается без изменения [3]. Поскольку определение коэффициентов динамических податливостей отдельных подсистем при расчетах на ЭЦВМ выполняется по отдельным подпрограммам, то уточнение этих коэффициентов приводит к изменению одной из подпрограмм, не изменяя всей программы расчета в целом, что является одним из достоинств разработанного метода расчета вынужденных колебаний. [c.138]

В общем случае прямолинейный стержень может испытывать продольные, поперечные (в двух плоскостях) и крутильные колебания. Учитывая, что перемещения малы и справедлив закон упругости Гука, будет выполняться принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил). В соответствии с этим можно объединить в одно матричное уравнение решения задач Коши для продольных, поперечных и крутильных колебаний по аналогии со статикой. Практически это означает, что в уравнении (2.23) нужно поменять фундаментальные функции матриц А и В. Тогда будем иметь решение задачи Коши уравнений динамики стержня [c.129]

Решение матричного уравнения (2.3.24) сводится, по существу, к решению системы нелинейных алгебраических уравнений со многими неизвестными. Для этого используют рассмотренные в п. 2.3.2 итерационные методы решения задач теории пластичности в виде последовательности линейных упругих решений. [c.100]

Уравнения упругости для изотропного тела в матричной форме [c.255]

Матричное уравнение (5.46) решают повторно с учетом дополнительного вектора в правой части Fqi определяемого по (5.47). В методе дополнительных деформаций матрицу жесткости и все векторы правой части, кроме вектора дополнительных деформаций, подсчитывают один раз, что обеспечивает некоторую экономию времени при реализации на ЭВМ. Наряду с этим методом может быть использован метод переменных параметров упругости (см. гл. 3). При использовании итерационных процедур типа метода Гаусса—Зейделя преимущества метода дополнительных деформаций по сравнению с методом переменных параметров упругости несущественны. [c.169]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

В заключение мы бы порекомендовали перед переходом к гл. 4 тщательно изучить содержание гл. 2 и 3 для достижения полной ясности в основных технических операциях, так как они выполняются аналогичным образом при решении задач теории упругости. Тогда некоторое дополнительное усложнение, связанное с появлением тензорных ядер более высокого порядка (обусловленных четвертым порядком дифференциальных уравнений теории упругости), уже не составит действительных трудностей при окончательном формировании матричного уравнения, и оно в принципе будет осуществляться точно так же, как и в рассмотренных выше случаях. [c.98]

Практический интерес представляют деформационные свойства однонаправленно-армированного пластика при нагружении в плоскости армирования в направлениях, не совпадающих с направлениями упругой симметрии. Закон деформирования однонаправленно-армированного слоя при длительном. постоянном плоском напряженном состоянии в самом общем случае характеризуется матричным уравнением, аналогичным уравнению (1.29), где составляющие матрицы упругой податливости заменены соответствующими функциями времени [c.107]

Если элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т. е. (т = то матрица называется симметричной. Так, например, симметричной является матрица (т). Если матричное уравнение описывает движение в упругой системе станка, нагруженной силами резания, то матрицы (к) и (Л) будут несимметричными, поскольку сила резания — сила неконсервативная, вносящая или изымающая из системы энергию. Причиной несимметричности матриц (к) и (й) могут быть и силы трения в различных стыках, которые могут вносить в систему энергию и быть причиной неустойчивости. [c.56]

В частном случае, если выходной сигнал x t) совпадает по направлению с входным воздействием P(t) и измеряется в точке приложения этого воздействия, то передаточная функция упругой системы называется динамической податливостью, а величина, ей обратная, — динамической жесткостью. Если возмущения в системе отсутствуют и P t) = О, то матричное уравнение принимает вид [c.57]

Третья группа уравнений представляет собой уравнения упругости, связывающие между собой узловые перемещения и усилия. Согласно (2.24) они записываются в виде матричного равенства [c.61]

Запишем теперь полную систему разрешающих уравнений для основной задачи расчета стержневых систем. В нее должны входить уравнения равновесия (3.20) и (3.21), уравнение неразрывности (3.22), закон упругости (.3.24), а также условие равенства соответствующих узловых перемещений заданным значениям (3.23). Последнее из перечисленных матричных уравнений является автономным. Удовлетворить ему можно заранее, полагая в векторе я соответствующие компоненты равными заданным значениям. Именно так поступим и запишем систему разрешающих уравнений в виде [c.61]

Запишем замкнутую систему разрешающих уравнений для основной задачи расчета стержневых систем относительно пере мещений в узлах. Воспользуемся матричным уравнением равновесия узлов (3.20), условием на узловые перемещения (3.23) и формулой (4.6), которая по существу является законом упругости для всей стержневой системы,. Это приводит нас к следующей системе уравнений [c.77]

Будем считать, что узловые усилия заданы и по ним требуется определить узловые перемещения из второго матричного уравнения (4.46), которое представляет собой, вообще говоря, переопределенную систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений. Так, для стержневых систем, которые носят название статически неопределимых, матрица является прямоугольной и число строк в ней меньше числа столбцов. Поэтому указанная система может допускать решение только при условии ее совместности. Уравнения (4.50) или (4.51) являются условиями совместности системы (4.46). Действительно, они получены заданием решения системы (4.46) в форме (4.49), подстановкой его в (4,46) и требованием, чтобы система (4.46) допускала решение (4.49),удовлетворяющее уравнениям равновесия узлов. Уравнения (4.50) и (4.51) являются аналогом известных уравнений Бельтрами — Мичелла в теории упругости. [c.81]

В системе (6.6) первое матричное уравнение является уравнением равновесия узлов и элементов, а второе представляет собой уравнение неразрывности перемещений в узлах, включающее в себя закон упругости. Эти уравнения в определенном [c.114]

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ. Из уравнения упругой линии вала, нагруженного сосредоточенными силами и моментами присоединив к нему первую, вторую и третью производные функции ф(л ), получим основные уравнения метода начальных параметров ) [c.301]

Усреднение уравнений (2.246) по статистическому ансамблю реализаций производится с помощью фейнмановской диаграммной техники аналогично тому, как это было сделано главе 2 при исследовании эффективных параметров упругих сред. Опуская для краткости соответствующие выкладки, выпишем сразу усреднённые уравнения для деформаций среды с учетом флуктуаций параметра упругой связи Р в недиагональном канале (поскольку, в отличие от Главы 2, мы рассматриваем матричные уравнения, краткое обобщение диаграммной техники на случай матричных уравнений приводится в последнем параграфе этой главы) [c.91]

Запишем теперь вышеперечисленные соотношения в матричном виде. Определение упругих перемещений с помощью МКЭ сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений [c.77]

Уравнение (39.21) может быть проверено в случае щелочных металлов [19]. Матричный элемент Vy, был рассчитан на основе выражения, данного автором в 1937 г. в предельном случае малых х. Вычисленные значения оказались в удовлетворительном согласии с величинами, выведенными из наблюдаемых упругих констант. Это согласие подтверждает правильность общего метода рассмотрения. [c.764]

Для того, чтобы подтвердить сказанное, во-первых, покажем, что в пространственной задаче теории упругости компоненты напряжений могут быть выражены через шесть некоторых функций напряжений (наподобие функции Эри в плоской задаче теории упругости), образующих так называемый тензор функций напряжений, а во-вторых, представим все основные уравнения и зависимости пространственной задачи теории упругости в матричной форме. [c.451]

Теперь представим в матричной форме основные уравнения и зависимости теории упругости ), предварительно введя в рассмотрение [c.452]

Матрица [D ] есть матричное выражение уравнения состояния, устанавливающего связь между напряжениями и деформациями. Поскольку матрица [D ] устанавливает зависимость между напряжениями и деформациями для упругого случая, то она, строго говоря, должна носить название матрицы упругих напряжений — деформаций. [c.56]

Матричный метод расчета упругих конструкций основан на решении дифференциальных уравнений изгиба оболочек и пластин и кручения колец с применением нормальных фундаментальных функций и матриц, что является математическим выражением метода начальных параметров в строительной механике. Преимущества нормальных фундаментальных функций сказываются при построении разрывных решений дифференциальных уравнений, что также использовано в работе [2]. [c.205]

Ниже рассмотрим вариационно-матричный способ [4, 38, 391 получения систем дифференциальных уравнений первого порядка для одномерных и квазиодномерных задач статики, устойчивости и колебаний. При выводах будем пользоваться векторно-матричной Символикой, которая позволяет формально описать модель деформирования упругой системы, компактно выполнить необходимые преобразования и составить программы для ЭВМ. [c.85]

Рассмотрим некоторые свойства симметрии матричных блоков [Aij] [см. (3.61)] системы разрешающих уравнений (3.60). Поскольку матрица коэффициентов упругости [GJ — симметричная ([G] = = G]), то для матриц [5 ] (3.57) справедливо условие [5 ] = = тогда для матричных блоков [Л ] канонической системы [c.89]

Далее решение задачи Коши необходимо дополнить уравнениями, описывающими остальные параметры воздействия на стержень, что выполняется простым дифференцированием выражения (1.32). Применительно к упругому стержню решение задачи Коши и дополнительные уравнения удобно записать в матричной форме [c.22]

Уравнение собственных частот. Матричную форму уравнений свободных колебаний упруго подвешенного тела можно записать так [c.74]

Существуют различные пути для получения матриц упругого решения [At], [Вг,,]. Возможно, одним из простейших является использование в качестве исходных обычно применяемых интегральных уравнений (10.7), (10.8). Перепишем их в матричной форме, [c.239]

Метод начальных напряжений (Мендельсон и Менсон [25]) был создан раньше и, видимо, используется чаще, нежели метод касательного модуля. При составлении систем матричных уравнений упругая и пластическая части приращений деформаций, представленных формулой (22), записываются раздельно для того, чтобы матрица жесткостей включала только упругие части приращений деформаций, т. е. содержала лишь упругие модули Е и V. Так как эти модули не меняются при переходе от одного шага нагружения к другому, матрицу жесткостей требуется обратить лишь однажды. Приращения же пластических частей деформаций, представленные последним слагаемым правой части уравнения (22), считаются неизвестными постоянными. [c.217]

Для простоты выкладок без ограничения общности рассуждений будем рассматривать двухмассовую мпогосвязанную систему (плоский случай). Предположим, что система состоит из двух тел, соединенных тремя упругими связями друг с другом и пятью связями с корпусом (рис. 1), Проведем сечения по серединам трех упругих связей, соединяющих тела, т. е. образуем подсистему 1, которой соответствует матричное уравнение [c.43]

Уравнения упругости для анизотропного тела с учетом тевз(фа температу шов деформа-Ц1П1. Для упругого анизотропного тела уравнения упругости в матричной форме [c.191]

Лрименяя принцип возможных перемещений по всему телу, получим матричное уравнение (4.30). Это уравнение интегрируется методом Эйлера с итерациями, а решение на каждом шаге по времени получается методом переменных параметров упругости. [c.113]

Просуммировав (3.90) с конечньши приращениями упругих деформаций и температурного расширения по формуле (1.46), придем к матричному уравнению (3.66), в котором [c.161]

Теперь благодаря матричным уравнениям (4.14) и (4.15) в нашем распоряжении имеется достаточно общее представление механических свойств материала. Проводя обобщения на шестимерные векторы а и е, можно охватить все разнообразие задач трехмерной теории упругости. Полностью заполненная матрица [ ) размерностью бхб определяет общий случай анизотропного материала, который обладает различными свойствами в различных направлениях. Много частных случаев поведения материала находится в диапазоне между изотропией и полной анизотропией. Так, в частности, сюда можно отнести ортотропные материалы, имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. В последующих главах будет подробно представлен ряд матриц [Е и [Е1 специального вида, отвечающих требованияхм соответствующей конечно-элементной модели. Важным свойством всех матриц жесткости и податливости для рассматриваемых здесь материалов является их симметричность (см. соотношения (4.12) и (4.13)). [c.118]

Перейдем к составлению полной разрешающей системы уравнений, аналогичной (3.29). Очевидно, уравнения равновесия узлов и элементов останутся без изменения. Не изменится и закон упругости. Только матричное уравнение неразрь№ности узловых перемещений (3.22) после подстановки в него ч из (4.52) примет несколько иной вид. В результате разрешающие уравнения запишутся следующим образом [c.82]

Для наглядного представления о способе пол)гчеиня матрицы жесткости системы эле ментов в приведенном выше матричном уравнении пунктирными линиями выделены мат рицы жесткости 7 и 2 упругих элементов в отдельности. Видно, что так же, как и элемен ты в конструкции, матрицы жесткости элементов сцеплены в общем узле 2. Таким обра зом, главные диагонали матриц жесткости элементов совпадают с главной диагональю об щей матрицы жесткости. Видно, что иа диагонали стоят суммы жесткостей элемеитоз примыкающих к данному узлу. [c.34]

Значительные возможности в использовании методов строительной механики в расчетах напряженных состояний осесимметричных несущих элементов ВВЭР открьшаются в связи с расширением применения вычислительной техники в практике проектирования. Матричная запись и решение соответствующих дифференциальных уравнений на ЭВМ позволили в компактной и единообразной форме при сравнительно небольших затратах машинного времени (измеряемого десятками секунд) получать распределение напряжений в таких сложных зонах корпусов реакторов, как фланцевое соединение главного разъема [9, 10, 12]. В таком расчете представляется возможным учесть ступенчатое изменение толщин, несовпадение средних радиусов оболочек, условия взаимодействия между элементами. Увеличение числа сопрягаемых элементов и уменьшение их высоты (до долей толщин) позволяет заменить сложный профиль в зоне сопряжения ступенчатым и получить напряжения, характеризующие концентрацию напряжений. Вводя в такие расчеты интегральные функции пластичности или переменные параметры упругости, можно получить данные о перераспределении напряжений в упругопластической области [12, 15]. [c.35]

Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы уравнений (1.46) не используются матричные операции, не формируется основная система, снимаются ограничения на условия опирания модулей по торцам (граничные условия могут быть любым, а каждый модуль может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые подмодули), матрица А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может применяться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости в двух направлениях, упругого основания, переменной толпщны, температуры и т.д. Таким образом, уравнение (7.133) с преобразованием (1.46) охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А может значительно превышать порядок матрицы реакций метода перемещений. Однако, этот недостаток компенсируется тем, что больший порядок системы уравнений (1.46) позволяет получить существенно больше информации, чем по методу перемещений. Точность МГЭ покажем на тестовом примере [4, с.379]. [c.486]

Матричная форма уравнений свободных колебаний. Уравнения свободных колебаний системы упруго подвешенных тел имеют вид (83), где А и С — матрицы размерностью N X 6N. Матрица А имеет блочио-диагональную структуру [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...