Тензор вращения в симметричный

Выяснив смысл компонент деформации, мы можем теперь со. ставить тензор деформации, который определяет деформированное состояние в данной точке тела. При этом для того, чтобы определить собственную деформацию тела от его вращения как целого, обычно тензор делят на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть /2( 12—< 2i) описывает вращение тела как целого. Симметричная часть /2( 12+621) описывает собственно деформацию тела. Таким образом, тензор деформации является симметричным тензором второго ранга, содержит девять компонент, шесть из которых являются независимыми, поскольку компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой ец=вц) [c.122]

Для определения величины винтового момента тензоры вращения 1, и <7з переносим на вал в точки их приложения 7, 2 и 3. Тензоры и q , направлены в противоположные стороны, а потому положение их равнодействующей q = q —q определится точкой весовой линии -d . Из построения видно, что две равные и противоположно направленные вращательные силы 9 и <7з образуют момент М = ql . Плечо А указанной пары сил одновременно определилось нашим построением. Для уравновешивания момента бивектора М необходимо установить на валу пару симметричных масс, создающих момент [c.269]

В формуле (1-9-8) dz есть поле, описывающее деформируемый материал, определение которого требует знания деформации вблизи г. Величина является компонентом градиента деформации G. Тензор G можно разложить на тензор вращения R и чистую деформацию в виде симметричного тензора натяжения и (правый положительно определенный тензор натяжения) [c.73]

Сфероидальная полость в упругой среде. Пусть поверхность полости представляет эллипсоид вращения, а поле тензора напряжения Т°° симметрично относительно оси вращения этого эллипсоида. [c.299]

Для наглядности с симметричным тензором сопоставляют трехосный эллипсоид (рис. 1.1). При U = он становится эллипсоидом вращения. Поэтому тензор (1.256) называют тензором вращения. При ti = t2 = /3 эллипсоид переходит в шар, и тензор (1.25в) называют шаровым. [c.12]

Здесь мы использовали тот факт, что тензор напряжений и тензор деформаций вг симметричны, в то время как тензор вращения кососимметричен. Выражение равно нулю. [c.71]

Тензор е,/, как и любой тензор II ранга, можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Покажем, что антисимметричная часть ег, соответствует чистому вращению. Пусть начало координат будет находиться на оси вращения. Тогда для dui получим [c.191]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Что касается симметричности тензора напряжений, то, например, в жидких ферромагнетиках очень часто нельзя пренебрегать внутренним вращением частиц, усиливающимся под действием электромагнитного поля. В этом случае надо пользоваться уравнением сохранения момента количества движения в его полном виде (2.42). В большинстве сред, однако, обычно принимают, как и в нейтральной среде [c.341]

Поскольку магнитный дипольный момент — аксиальный вектор, его компоненты имеют те же типы симметрии, что и компоненты вращения Нх, Ву, В г (приложение I). Электрический квадрупольный момент — тензор, компоненты которого ведут себя подобно компонентам поляризуемости, т. е. как произведение двух трансляций. Следовательно, можно пользоваться данными табл. 55 тома II ([23], стр. 274) для типов симметрии составляющих хж, < х(/,. ... Например, для симметричных линейных молекул (точечная группа 1)ос ) компоненты магнитного дипольного момента относятся к типам симметрии и П , а компоненты электрического квадрупольного момента — к типам симметрии Е , Пg, Ад. Следовательно, для того чтобы данный переход был разрешенным для магнитного дипольного излучения, произведение электронных волновых функций верхнего и нижнего состояний должно относиться к тинам 2 или П . Так, при поглощении из полносимметричного основного состояния могут происходить переходы 2 — 2 , П — 2 . Аналогично нри переходах, разрешенных для электрического квадрупольного излучения, произведение волновых функций должно относиться к одному из типов симметрии 2 , П , или А . При поглощении из полносимметричного основного состояния могут иметь место переходы 2 — 2 , Пд — 2д и Ай — 2 . [c.134]

Примечание. Первые два слагаемых в выражении 9 дают вклад в производство энтропии, обусловленный теплопроводностью и диффузией три других слагаемых определяют вклад, связанный с эффектами объемной, сдвиговой вязкости и вязкости внутреннего вращения. При этом последнее слагаемое обращается в нуль, если тензор давления симметричен либо когда антисимметричный тензор градиента скорости (Уи) (вихревой тензор) равен удвоенной угловой скорости 2ша внутреннего вращательного движения элементов массы среды (20 = (Уи) ). Это условие справедливо для большинства жидкостей и определяет среду, динамика которой подчиняется уравнению Навье — Стокса с симметричным тензором давления Р. [c.34]

Этот тензор второго порядка в общем случае канонически раскладывается на симметричную часть — тензор скоростей деформаций В и антисимметричную часть — тензор скоростей вращения Q [c.90]

Как было отмечено выше, эквивалентное неповрежденное тело может быть собрано в одно целое из эквивалентных элементарных объемов многими способами. Ясно также, что вращения эквивалентных элементов в процессе сборки следует исключить, что равносильно требованию симметричности тензора фиктивной дисторсии С. Можно, однако, считать тензор С несимметричным и учесть указанную инвариантность относительно вращений эквивалентных элементов следующим образом. [c.430]

В технологических процессах интерес представляет случай дисперсной смеси с частицами из ферромагнитного материала в магнитном поле, которое оказывает непосредственное моментное воздействие лишь на частицы (2-я фаза). Это приводит к их ориентированному мелкомасштабному враш,ению (Mj =5 0) с угловой скоростью 2, кинематически независимой от поля их осреднен-ных скоростей v . Вращение частиц за счет сил трения передается и несущ,ей фазе и приводит к мелкомасштабному с характерным линейным размером, равным размеру частиц, ориентированному вращению несущей жидкости М =7 0), Если магнитное поле не оказывает непосредственного воздействия на несущую фазу, т. е. она остается неполярной, то тензор напряжения в ней будет симметричным, а во второй фазе— несимметричным, причем его несимметрическая часть определяется воздействием внешнего магнитного поля на частицы. Симметричность тензора напряжений несущей фазы вытекает из симметричности тензора микронапряжений o l и совпадения среднеповерхностпых и среднеобъемных величин, что в свою очередь вытекает из регулярности этих величин. Несмотря на эти допущения, уравнения импульса и внутреннего момента несущей фазы могут быть приведены к некоторому виду, где, как и для дисперсной фазы, фигурирует несимметричный тензор поверхностных сил aji (см. 1,6 гл. 3). [c.83]

Приведенное напряжение можно рассматривать как среднее напряжение вдоль = dsj -Ь ds ig (см. примечание при обсуждении (2.2.9)). Даже при симметричном тензоре микронапряжений a тензор может быть несимметричным (например, при интенсивном ориентированном вращении частиц с угловой скоростью щ) за счет 0 3 или rjjg, т. е. за счет включения в аjj, части межфазной силы i 2lS Действующей вдоль rfsgiS Поэтому нельзя согласиться с утверждением [4, 6 ], что феноменологическое введение антисимметричных макроскопических напряжений в суспензиях при отсутствии антисимметричных напряжений в микромасштабе (как это сделано в (1 ]) лишено физического смысла. В то же время следует отдавать отчет в том, что представления главного вектора поверхностных сил с несимметричным тензором напряжений < в виде + я/л и с симметричным тензором [c.98]

Пусть тело, представляюп1.ее собой тело вращения около оси Хз, деформируется под действием поверхностных сил (массовые силы отсутствуют) симметрично относителыно этой оси вращения. Тогда перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости, проходящей через ось Ха, будет равно нулю, а две другие проекции Ur и Из не будут зависеть от полярного угла ф. Для решения этой задачи удобно пользоваться цилиндрическими координатами г, ф, хз. Компоненты симметрического тензора деформаций в цилиндрической системе координат, согласно формулам (3.29), будут иметь вид [c.236]

Примеры П. и. 1]. Отклонение зависящей от координат плотности атомов в кристалле от её ср. значения преобразуется под действием общей группы трансляций и пространственных вращений, входящих в группу симметрии G изотропной жидкости, но остаётся инвариантным относительно преобразований из пространственной группы симметрии кристалла. 2). Анизотропная часть тензора. диэлектрич. проницаемости в жидком кристалле преобразуется под действием группы пространственных вращений как симметричный тензор с нулевым следом. 3). Намагниченность в ферромагнетике преобразуется как вектор при вращениях подсистемы спинов и меняет знак при обращении времени. 4). Волнован ф-ция Y бозе-кошденсата в сверхтекучем Не (см. Гелий жидкий. Сверхтекучесть) преобразуется под действием калибровочного преобразования группы И ), входящей в группу G изотропной жидкости Ч — Р ехр(гф). 5). Комплексная матрица Ааг в сверхтекучем 3fle преобразуется как вектор по второму индексу при пространственных вращениях, как вектор по первому индексу при спиновых вращениях, умножается на ехр((ф) при калибровочных преобразованиях, переходит в комплексно сопряжённую матрицу при обращении времени и меняет знак при пространственной инверсии. Согласно теории Ландау, равновесное значение П. п. вблизи фазового перехода 2-го рода находят, минимизируя функционал Гинзбурга — Ландау, инвариантный относительно преобразований из группы G. [c.534]

Видно, что симметричная часть тензора исзсажения точно совпадает с тшзором малых деформаций (1.2.70). Альтер-на1ивная часть Тщ тензора искажения в (1.2.71), называемая тензором поворота, связана с вращением, что подтверждается соотношением (V u-u V)-rfx = (Vxu)xrfx, совпадающим с точностью до символики с тождеством (П1.86) с учетом (П1.84). Значит, симметричная часть тензора искажения u V характеризует малую деформацию в окрестности материальной частицы, а альтернативная часть - вращение [c.38]

Вспомним переход к модели со стесненным вращением в линейной теории ( 5). Разделились соотношения упругости для симметричной части тензора силовых напряжений () и антисимметричной (). Мы постулировали связь Ух = при которой соотношение для не может быть написано (т выступает в роли реакции идеальной связи). Заданная связь означает привычное выражение поворота через перемещения в линейной теории (0 = 1/2Ухи). [c.109]

Эриксен ) попытался определить все виды статических универсальных деформации для однородных несжимаемых тел и доказал, что семейства 1—4 почти исчерпывают их. В его анализе оставались неисследованными две возможности. Одна из них такова главные растяжения постоянны, а локальное вращение R нет, тензоры grad div В и grad div В- симметричны, но не обращаются в нуль. Семейство 5, которое было обнаружено десять лет спустя после того, как было опубликовано исследование Эриксена, принадлежит как раз к этому второму типу. Если существуют другие универсальные деформации, то они также должны быть второго типа, поскольку другой из случаев, не обследованных Эриксеном, как было доказано ), невозможен. [c.285]

Поэтому при отсутствии поглощения (при = 0) ) симметричная и вещественная матрица всегда приводится к диагональному виду и случай (2.51) невозможен. То же можно утверждать, когда матрицы и v"p имеют общие главные оси. Ситуация именно такова для кристаллов всех систем (сингоний), кроме низших — ромбической, моноклинной и триклинной. В самом деле, для кристаллов с более высокой симметрией (тетрагональной, гексагональной и три-гональной) трехмерные тензоры 2-го ранга имеют два равных главных значения (одноосные кристаллы) и им соответствуют эллипсоиды вращения. В подобных условиях, как легко убедиться, двумерные тензоры и имеют общие оси. Для кристаллов низших сингоний, напротив, главные оси этих двумерных тензоров, вообще говоря, не совпадают. Следовательно, для таких кристаллов при учете поглощения в некоторых направлениях может оказаться выполненным условие (2.48) и будет существовать только одно поляризо- [c.74]

Наши уравнения (24.10а) и (24.11) являются частными случаями гораздо более общих соотношений, связывающих обобщенные импульсы с обобщенными скоростями. Но это мы можем показать лишь в гл. VI, 36. Теперь нам важно выяснить геометрическое толкование уравнений (24.10). Речь идет здесь о знаменитом построении Пу-ансо по заданной оси вращения oj найти направление вектора момента импульса N. Собственно говоря, это построение не ограничивается случаем твердого тела его всегда можно применять в том случае, когда имеют дело с симметричным тензором изображают этот тензор тензорной поверхностью второго порядка и находят линейную векторную функцию, с которой сопоставляется этот тензор. [c.176]

Получеппое представлеиие и оправдывает принятое для тензорного базиса (1.6) название — тригонометрический. Тригонометрический базис обладает еще одним примечательным свойством. Сохранение в представлении (1.7), (1.14) первого слагаемого выделяет и.з тензора его шаровую часть. Сохранение двух слагаемых означает согласно (1,14) н (1.11) il a — O II ai = 2. Таким образом, при атом А становится осесимметричным тензором с осью вращения, направленной вдо.ль третьей координатной осп. Сохранение трех членов выделяет часть (1.14) с координатными осями в качестве главных. Добавление четвертого слагаемого не отражается на направлении третьей главной осп. ]1ако1хец, добавление оставшихся двух слагаемых приводит к симметричному тензору оС-]цего вида. Тензорные базисы такой структуры Ю. И. Сиротин предложил называть групповыми [57]. [c.132]

Полученные таким путем шесть величин образуют симметричный тензор напряжений, существование которого обязано движению, так как для покоящейся жидкости все составляющие этого тензора тождественно равны нулю. Из сказанного ранее следует, что составляющие полученного девиатора тензора напряжений связаны исключительно с составляющими тензора скоростей деформации, т. е. с составляющими и, V, ю скорости и с составляющими т , завихренности. Это равносильно тому, что мгновенное смещение элемента жидкости [составляющие движения (а)], а также его мгновенное вращение как твердого тела [составляющие движения (б)] не вызывает появления в дополнение к уже имеющимся составляющим гидростатического давления — поверхностных сил па элементе жидкости. Предыдущее утверждение представляет собой, очевидно, только краткую локальную формулировку общего случая, когда конечный объем жидкости совершает произвольное движение, неразличимое от эквивалентного движения твердого тела. Следовательно, выражения составляющих а , а , а ,. . ., девиатора тензора напряжений могут содержать в себе только градиенты скорости ди дх,. . ., дюШг в соответствующих комбинациях, определением которых мы сейчас и займемся. [c.65]

Точно так же в типичном трехпараметрическом семействе эллипсоиды вращения встречаются лишь на отдельных линиях в трехмерном пространстве параметров. Например, еслп в каждой точке трехмерного евклидова пространства задан эллипсоид (т. е. задан симметричный двухиндексный тензор), то особенности полей главных осей будут, вообще говоря, на отдельных линиях (где два из трех полей направлений терпят разрыв). [c.397]

В трехмерном пространстве число функциональных степеней свободы уменьшается. Если, следуя Кренеру, рассматривать несимметричный тензор т]гй, то система будет иметь 15 функциональных степеней свободы, но при этом надо ввести обобщенный тензор R h, известный из неголономной геометрии, и потребовать, чтобы коэффициенты вращения Риччи не зависели от закона движения элемента сплошной среды. При симметричном тензоре т] система будет иметь 12 функциональных степеней свободы в трехмерном пространстве. Аналогичные заключения можно сделать об уравнениях (2.23). [c.22]

Как видно из таблицы, гексагональные классы 6, 622, 6mm обладают осью вращения, а в классе 6 фактический набор элементов симметрии будет определяться наименее симметричным тензором е, т. е. группой 6m2. [c.12]

В заключение этой главы мы коснемся вопроса о собственных значениях полного спина системы, соответствующих данному энергетическому состоянию. Мы видели, что для многоэлектронной системы каждому собственному значению бесспинового уравнения Шрёдингера соответствует определенное собственное значение полного спина. В рассматриваемом теперь общем случае такое однозначное сопоставление не имеет места. Каждому энергетическому уровню будет соответствовать в общем случае несколько собственных значений полного спина. Это связано, во-первых, с тем, что в-тензор п-го ранга, соответствующий неприводимому представлению группы перестановок, преобразуется теперь по приводимому представлению группы вращений. (Неприводимость имеет место только для 5 -тензоров или спиноров.) Во-вторых, так как уравнение Шрёдингера обладает симметрией точечной группы, то по отношению к группе перестановок его решение преобразуется в общем случае по приводимому представлению. Это означает, что в полную антисимметричную (или симметричную) функцию дадут отличный от нуля вклад в-тензоры, преобразующиеся по нескольким неприводимым представлениям группы Поэтому даже при 5=5 [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...