Тензор градиента скорости

Поскольку в декартовой системе все символы Кристоффеля равны нулю, компоненты (любого типа) тензора градиента скорости Vv задаются просто производными dv ldx (см. уравнение (1-4.9) или (1-4.14)) [c.83]

Тензор градиента скорости всегда, и причем единственным образом, можно представить в виде суммы симметричного [c.116]

Тензор градиентов скоростей 115 [c.335]

Антисимметричная часть тензора может быть представлена аксиальным вектором. Аналогичным образом может быть представлен тензор градиента скорости [c.24]

Тензор второго ранга 1 называется тензором градиента скорости, I — транспонированный к нему тензор. [c.29]

Представим формулы, связывающие индифферентные производные и с тензором градиента скорости 1 [3] [c.42]

Здесь предполагается, что компоненты тензора скоростей деформаций выражаются через компоненты тензора градиента скорости по формулам (см. (1.29)) [c.120]

Вычислив пространственный градиент мгновенного поля скоростей, получим тензор градиента скорости с компонентами = дг)1 /дх . Этот тензор можно представить в виде суммы двух тензоров — симметричного и антисимметричного [c.54]

Из соотношений (2.63) и (2.64) можно получить выражение тензора градиента скорости через тензоры скоростей деформации [c.56]

Если воспользоваться соотношением (2.67), связывающим тензор градиента скорости с эйлеровым тензором скоростей деформации, то уравнения (3.32) примут вид [c.73]

Пространственный градиент мгновенного поля скорости дает тензор градиента скорости ду дх (или V ). Этот тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части следующим образом [c.160]

Примечание. Первые два слагаемых в выражении 9 дают вклад в производство энтропии, обусловленный теплопроводностью и диффузией три других слагаемых определяют вклад, связанный с эффектами объемной, сдвиговой вязкости и вязкости внутреннего вращения. При этом последнее слагаемое обращается в нуль, если тензор давления симметричен либо когда антисимметричный тензор градиента скорости (Уи) (вихревой тензор) равен удвоенной угловой скорости 2ша внутреннего вращательного движения элементов массы среды (20 = (Уи) ). Это условие справедливо для большинства жидкостей и определяет среду, динамика которой подчиняется уравнению Навье — Стокса с симметричным тензором давления Р. [c.34]

Поскольку Vv)s = Vv - - У )/2, где V - транспонированный тензор градиента скорости, то V 2r iyv)g = V i]Vv - - V, и, [c.130]

Ясно, что D симметричен. В общем случае любой тензор можно однозначно разбить на сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Для градиента скорости имеем [c.49]

Рассмотрим теперь кинематические тензоры, такие, как градиент скорости Vv и тензор растяжений D. Из определения градиента скорости имеем [c.61]

В тензоре же плотности потока импульса сохраняем линейный по градиентам скорости член, связанный с вязкостью нормального движения [c.721]

Отсюда ясно, что Т не зависят от г и что компоненты тензора вязких напряжений Т1з и х з вызваны градиентом скорости и . [c.239]

Градиент скорости Vv является диадой (тензор второго ранга), он может быть представлен в виде [c.21]

П. я. характеризуются необратимыми потоками Ji физ. величины, напр. диффузионным потоком вещества, тепловым потоком или тензором потока импульса, связанного с градиентами скоростей. При малых отклонениях системы от термодинамич. равновесия потоки линейно зависят от термодинамич. сил Хк, вызывающих отклонение от термодинамич. равновесия, и описываются феноменологич. ур-ниями [c.572]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Основная цель работы — разработать такие определяющие соотношения, которые позволят с приемлемой для практики точностью описать все перечисленные течения. Для достижения этой цели, в частности, требуется учесть дополнительно анизотропию напряжений Рейнольдса, связанную только с наличием твердой поверхности (при отсутствии градиентов средней скорости). Кроме того, предлагается устранить один из недостатков, характерный для большинства известных определяющих соотношений и связанный с отсутствием анизотропных линейных слагаемых. Подобные слагаемые должны играть существенную роль при описании анизотропии турбулентности, по крайней мере в пристеночных течениях. Причем в этих слагаемых градиенты средней скорости могут или совсем не быть связаны с тензором напряжений Рейнольдса или быть связаны с ним соотношением более общего вида, чем (1.1). Что касается нелинейных слагаемых, то они должны играть стабилизирующую роль, предотвращая возможные нарушения принципа реализуемости [8] в областях с большими градиентами скорости. Наконец, необходимо проверить качество новой модели путем сравнения расчетов с экспериментом для всех перечисленных течений. [c.579]

Заключение. Построены новые анизотропные определяющие соотношения для компонент тензора напряжений Рейнольдса. При разработке этих явных алгебраических соотношений основное внимание уделено выводу и обоснованию линейных по градиенту скорости слагаемых и слагаемых, не зависящих от градиентов средней скорости. Это принципиально отличает построенную модель от других известных моделей такого типа. [c.593]

Из (12.61) получается выражение для тензора скоростей деформаций 0,5Л / через градиенты скорости. Мы можем применить выведенные выше уравнения [c.407]

Этот тензор, характеризующий скорость изменения кривизны поверхности в данной частице, интересен тем, что выражается через градиент вектора угловой скорости в этой частице. [c.73]

Grad F)s — симметричная с нулевым следом часть тензора градиента скоростей деформаций. [c.56]

В тех случаях, когда изменение средней скорости несущей фазы заметно на расстояниях порядка размера ячеек I или R, следует учесть непоступательный характер среднего или макроскопического движения несущей фазы в ячейке. Эта неносту-пательность определяется тензором градиента средней скорости [c.114]

Установить общий вид тензора сг. ., можно, исходя из следующих соображений. Процессы внутренне10 трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому должно зависеть от производных от скорости по координатам. Если градиенты скорости не очень велики, то можно считать, что об с-ловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости. Самую зависимость от производных dvifdxk можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от dvijdxk члены должны отсутствовать в выражении для сг- , поскольку а. должны обратиться в нуль при [c.72]

В потоке суспензпп с нешарообразыымп частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и дезориентирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизотропное распределение частиц по их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычпслеипи поправки к вязкости г) анизотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости (в первом приближении — линейно) и ее учет привел бы к появлению q тензоре напряжений нелинейных по градиентам членов. [c.111]

Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в 15 (ср. примечание на стр. 66), так как ул<е наличие градиента скорости является термодинамической нерав-новесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е,р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. пе будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше [c.275]

Величина q = —% grad Т представляет собой плотность потока теплоты, переносимой посредством теплопроводности. Тот факт, что обусловленный теплопроводностью поток теплоты выражается одинаковым образом как в неподвижной, так и в движущейся жидкости, требует пояснения. Обобщенная сила Xq, связанная с молекулярным переносом теплоты, является вектором, тогда как обобщенная сила X, i, связанная с hotokon импульса, является тензором поэтому согласно теореме Кюри Xq и X i не могут составлять линейной комбинации, определяющей какой-либо обобщенный поток. Следовательно, выражение для плотности потока теплоты, переносимой посредством теплопроводности в движущейся жидкости, не должно содержать Х 1, т. е. градиент скорости, и будет определяться только величиной Xq [c.355]

ЛИШЬ при наличии градиентов скорости. Если эти градиенты не слишком велики, то мерой такого движения являются производные вида du/ ldxi, т.е. первые производные скорости по координате, а зависимость тензора вязких напряжений от этих производных должна быть линейной. При этом следует учитывать, что величина симметрична. Наиболее общий возможный вид такого линейного соотношения [c.26]

Из соотношений (1.1) следует, что направления главных осей тензоров uiUj) и Sij совпадают. Этот вывод, однако, экспериментально не подтверждается даже для простых турбулентных течений с поперечным сдвигом [1]. Так, например, в пограничном слое и в однородном сдвиговом течении углы направлений главных осей этих тензоров могут различаться в 2 раза. В двумерных сдвиговых течениях в каналах, струях и следах осредненное течение определяется лишь одной компонентой тензора напряжений — (г lг 2) Поэтому отмеченная принципиальная неточность зависимости (1.1) может быть скорректирована удачным выбором эмпирических постоянных, входящих в модель для определения турбулентной вязкости. Однако дефекты соотношения (1.1) все равно остаются при описании анизотропной турбулентности даже в простейших течениях. Так, например, в бес-сдвиговом пограничном слое над движущейся стенкой [2, 3] градиенты скоростей отсутствуют (Sij = 0) и, следовательно, зависимость (1.1) не позволяет учитывать анизотропию турбулентности. Однако эксперименты [2, 3] показывают существенную разницу между компонентами пульсаций скорости. [c.577]

В правой части (2.1) Bij — тензор, не зависящий от градиентов средней скорости и необходимый для правильного описания анизотропной турбулентности в пристеночных течениях с однородным профилем скорости. Второе слагаемое в правой части (2.1) — линейное по градиенту скорости — суперпозиция анизотропной Aijkm и изотропной составляющих турбулентной вязкости. Последнее слагае- [c.579]

V на ось X. Поэтому в реологии она обычно называется градиентом скорости , хотя это и не совсем строго, так как под этим понимается определенная составляющая тензора скоростей деформации. Градиентом же вектора v называется тензор с составляющими в декартовых координатах dvjdxj, причем последний тензор в отличие [c.14]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...