Тензор обычный

Нам хорошо известно понятие векторной величины, которая определяется тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя , а шестью числами и представляет собой еще более общее понятие, называемое тензором. Тензорной величине не удается найти простого геометрического толкования, как вектору. Вектор мы для наглядности изображаем стрелкой, задавая, например, координаты конца вектора тремя числами. С тензором подобные изобразительные приемы не проходят. Тензор обычно задают в виде таблицы-матрицы хотя бы, например, такого вида [c.19]

В большинстве случаев, там где нет специальных оговорок, все понятия рассматриваются в правом, прямоугольном, декартовом множестве осей координат и термин "тензор" обычно будет означать "декартов тензор". [c.235]

Поскольку разложение (1.23) относится к бесконечно малым перемещениям, то и о тензоре обычно говорят как о тензоре бесконечно малых деформаций или просто — тензоре малых деформаций (иногда — линейном тензоре деформаций). [c.59]

Здесь 1 — массовая сила, действующая на среду Я, — тензор обычных напряжений для него получается выражение [c.50]

Тензор радиационных напряжений, по аналогии с тензором обычных напряжений, можно разложить на две составляющие [c.653]

В 5 мы выяснили, что радиационное поле оказывает механическое воздействие на газовую среду. Следовательно, при выводе уравнений движения необходимо учесть это воздействие. Поскольку тензор радиационных давлений аналогичен тензору обычных напряжений, то для учета влияния радиационного поля [c.659]

Компоненты тензора обычно записываются в виде матрицы [c.202]

Такие выражения, как А- А, А- А- А и т. д., обычно сокращенно обозначаются как А , А и т. д. (Следует заметить, что А , А и т. д. — тензоры, в то время как — скаляр.) [c.22]

Мы видим, что тензор при этом воздействует на один из базисных векторов, после чего результирующий вектор скалярно умножается на другой базисный вектор. Ясно, что при помощи уравнения (1-3.16) можно получить девять компонент тензора, которые представляются обычно в виде матрицы размером 3x3. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца. [c.23]

Следует подчеркнуть, что, хотя след обычно вычисляется при помощи уравнения (1-3.37), его значение не зависит от базиса, в котором выражены компоненты. Это оправдывает название первый инвариант тензора А (обозначаемый символом 1д ), которое используется параллельно с названием след тензора А. [c.28]

Вследствие того что тензор Va в общем случае не симметричен, существенно положение индексов. Для смешанных компонент, рассматриваемых до сих пор, обычно пользуются одним из следующих обозначений [c.32]

Другие кинематические тензоры, такие, как тензор Коши и т. п., определяемые относительно R, получаются из Рд обычным образом. [c.159]

Уравнение типа уравнения (6-4.46) с дополнительными членами, добавленными для преобразования тензора т к тензору с нулевым следом, было предложено Уильямсом и Бердом [28]. Параметр обычно называют временем запаздывания. Уравнение (6-4.46) внешне выглядит совершенно аналогично уравнению общего вида (6-4.39), однако можно заметить, что старшая производная в правой части уравнения имеет тот же самый порядок, что и старшая производная левой части. Уравнение (6-4.46) можно обобщить в следующем виде [c.241]

Первое слагаемое представляет обычную обратимую работу сжатия материала фазы, а второе — диссипируемую энергию в г-й фазе из-за внутренних вязких сил, проявляющихся как за счет градиентов в поле скоростей Г , так и за счет взаимодействия с другой фазой. Так как непосредственное определение истинного тензора скоростей деформации в рассматриваемом случае является затруднительным, следует попытаться описать диссипируемую энергию в фазе с помощью используемых средних макроскопических параметров и воспользоваться некоторыми допущениями, вытекающими из анализа движения включений в несущем потоке среды и анализа уравнения баланса внутренней энергии фазы [c.37]

Для различных сплошных сред зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций отличаются друг от друга. Для упругих сплошных сред тензор напряжений зависит от т е н з о р а деформаций. Зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформаций часто называют реологическим, уравнением. Сформулируем реологическое уравнение в тензорной форме для сплошных сред, называемых жидкостями, для которых тензор напряжений не зависит от тензора деформаций. К жидкостям относятся обычные капельные жидкости, например вода и газы. При.мером газа является воздух при нормальных атмосферных условиях. [c.553]

Б гл. 2, 3 представлен математический аппарат, позволяющий описывать напряженное и деформированное состояние в точке тела в общем случае. Обычно считается, что компоненты тензора [c.80]

В ортогональных координатах обычно пользуются не компонентами тензоров, а их проекциями на оси местного координатного базиса, которые определяются по формулам (11.73) — (11.74) т. I. [c.499]

Обычно под тензором понимают тензор малых деформаций. Поэтому мы в дальнейшем полагаем = Д р. [c.511]

Заметим, что в линеаризованном случае связь тензора напряжений с тензором деформаций обычно не содержит плотности р, следовательно, если такая связь построена, то система уравнений (1.156) — (1.157) станет замкнутой, а уравнение неразрывности в этом случае служит для определения изменения плотности по известному из решения системы (1.156)—(1.157) вектору и х, t). [c.33]

Если пластинка достаточно тонка, то деформацию можно считать однородной по ее толщине. Тензор деформации является при этом функцией только от л и г/ (плоскость х, у выбрана в плоскости пластинки) и не зависит от г. Продольные деформации пластинки вызываются обычно либо силами, приложенными к ее краям, либо действующими в плоскости пластинки объемными силами. Граничные условия на обеих поверхностях пластинки гласят при этом = О, или, поскольку вектор нормали на- [c.69]

Изложенная в 11—13 теория изгиба тонких пластинок применима лишь к достаточно слабым изгибам. Забегая вперед, укажем уже здесь, что условием применимости этой теории является малость прогиба по сравнению с толщиной h пластинки. Теперь мы перейдем к выводу уравнений равновесия сильно изогнутой пластинки. Прогиб С при этом уже не предполагается малым по сравнению с h. Подчеркиваем, однако, что самая деформация по-прежнему должна быть мала в том смысле, что тензор деформации должен быть мал. Практически это обычно означает требование С < /, т. е. прогиб должен быть мал по сравнению с размерами I пластинки. [c.75]

Подчеркнем, что не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истолкование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы doi /dx по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координатами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реальной поверхностью рассматриваемого участка тела после его деформирования. [c.148]

Решение. В терминах тензора напряжений или тензора деформации уравнения равновесия имеют обычный вид dai dx = О или, подставив а ь из (5,11) [c.155]

Уравнение (29,2) не зависит от того, покоятся или движутся дислокации. При этом тензор по-прежнему остается величиной, определяющей упругую деформацию его симметричная часть есть тензор упругой деформации, связанный обычным образом законом Гука с тензором напряжений. [c.165]

Эта функция определяет вызванное диссипативными процессами увеличение энтропии. Ясно поэтому, что введенный в (40,19) тензор aik представляет собой диссипативную ( вязкую ) часть тензора напряжений. Тензор же в (40,21) не входит он представляет собой недиссипативную (помимо связанной с давлением) часть тензора напряжений ), специфическую для нематической (в отличие от обычной) жидкости. [c.213]

Выяснив смысл компонент деформации, мы можем теперь со. ставить тензор деформации, который определяет деформированное состояние в данной точке тела. При этом для того, чтобы определить собственную деформацию тела от его вращения как целого, обычно тензор делят на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть /2( 12—< 2i) описывает вращение тела как целого. Симметричная часть /2( 12+621) описывает собственно деформацию тела. Таким образом, тензор деформации является симметричным тензором второго ранга, содержит девять компонент, шесть из которых являются независимыми, поскольку компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой ец=вц) [c.122]

Теперь, когда значение р определено, разбиение напряженного состояния на два слагаемых также приобретает определенность. Первое слагаемое называется обычно гидростатической составляющей напряженного состояния или шаровым тензором. Оба названия вполне объяснимы гидростатическая составляющая — конечно, по аналогии с нагружением гидростатическим давлением, а шаровой тензор — тоже понятно если три главных напряжения равны друг другу, эллипсоид напряжений превращается в шар. [c.48]

На первый взгляд кажется, что условие пластичности Треска — Сен-Венана более простое. Действительно, если главные оси заранее известны, то это условие выражается при помощи линейных функций от компонент тензора напряжений, притом самых простых линейных функций. Но при решении задач теории пластичности мы обычно не знаем, какое напряжение окажется больше, какое меньше мы далеко не всегда можем указать заранее и знак напряжения. Поэтому мы не знаем, на какой стороне шестиугольника окажемся, какую из простых формул нужно применить. А если главные оси заранее неизвестны, то теория Треска — Сен-Венана оказывается существенно более сложной. [c.58]

Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простого геометрического толкования, и тензор обычно задают матрицей (таблицей), иаписаипой, например, в виде [c.234]

При рассмотрении принципа детерминизма напряжения мы столкнулись с проблемой, когда текущее напряжение определяется всей историей деформирования. Таким образом, требуется некоторое правило, посредством которого напряжение можно было бы вычислить (хотя бы в принципе) по заданной истории деформирования. История деформирования сама является функцией, а именно тензорной функцией скалярного аргумента (времени). Это означает, что существует необходимость в отображении, преобразующем тензорную функцию в тензор. Скалярным аналогом этого является отображение, переводящее обычные скалярные функции в числа, т. е. некоторое правило, посредством которого [c.134]

Тензор (1.36) был введен О. Коши и обычно называется тем-30ром деформаций Коши. [c.9]

Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в 15 (ср. примечание на стр. 66), так как ул<е наличие градиента скорости является термодинамической нерав-новесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е,р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. пе будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше [c.275]

Эти формулы являются непосредственным следствием принципа относительности Галилея и потому справедливы вне зависимости от того, о какой именно конкретной системе идет речь. Их можно вывести, рассмотрев, например, обычную жидкость Так в обычной гидродинамике тензор плотности потока импульса есть П( — puiu Ч- p6 t. Скорость жидкости v в системе К связана со скоростью Vo в системе Ко посредством v = Vo -f- u, где u — скорость системы Ко относительно системы К. Подстановка в П,> дает [c.714]

Пусть R есть порядок величины радиуса кривизны оболочки, совпадающей обычно с порядком величины ее размеров. Тогда тензор деформации растяжения, сопровождающего изгиб, — порядка соответствующий тензор напряжений E /R, а энергия деформации (отнесенная к единице площади), согласно (14,2), Eh tiRf. Энергия же чистого изгиба по-прежнему Eh% R. Мы видим, что отношение первой ко второй Rlh , т. е. очень велико. Подчеркнем, что это имеет место независимо от соотношения между величиной Z изгиба и толщиной h, в то время как при изгибе плоских пластинок растяжение начинало играть роль только при I h. [c.80]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Тензор Wi (несимметричный) принято называть тензором дистор-сии. Его симметричная часть дает обычный тензор деформации [c.151]

Соответственно таким промежуточным свойствам рассматриваемых жидкостей их можно характеризовать одновременно коэффициентом вязкости Ti и некоторым модулем сдвига [л. Легко получить соотношение, связывающее друг с другом порядки величин т], ц и времени релаксации т. При воздействии периодических сил с достаточно малой частотой, когда жидкость ведет себя, как обычная, тензор напряжений определяется обычнь(м выражением для вязких напряжений в жидкости, т. е. [c.188]

Вязкий тензор напряжений тепловой поток q и скорость просачивания N ( термодинамические потоки ) обычным образом представляются выражениями, линейными по термодинамическим силам — ViJT, д Т, —hiT, причем коэффициенты в этих выражениях связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. 41, 43), напишем результат. При этом будем считать, что (как это обычно имеет место) смектик обладает центром инверсии (до сих пор это еще не предполагалось). Тогда вязкий тензор напряжений дается той же формулой (41,4), что и для нематиков, причем под п следует понимать направление оси 2. Тепловой поток и скорость просачивания даются выражениями [c.240]

Определенное затруднение при нахождении критических напряжений, соответствующих образованию надрывов на контуре пор, может составить отсутствие диаграмм пластичности матери<шов, представляющих собой взаимосвязь критических значений интенсивности деформаций от показателя жесткости напряженного состояния П (П обычно определяют Kait отношение шаровой части тензора напряжений к девиаторной). Для большинства конструкционных материалов такие данные можно найти, например, в литературных источниках /11,12, 24, 25/ или воспользо-ват5зся стандартными мстодика.ми для построения таких диаграмм /24/. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...