Тензор вращения

Применение теоремы полярного разложения к градиенту деформации F позволяет выделить тензор вращения R, правый тензор деформации U и левый тензор деформации V. Эти тензоры являются относительными тензорами, и если они записаны без индекса, то считается, что они отнесены к моменту наблюдения. Геометрическая интерпретация тензоров R, U и V будет дана ниже. [c.93]

Будем решать задачу об определении напряженно-деформированного состояния цилиндра с использованием принципа Сен-Венана. Предположим, что перемещение некоторой точки О на So равно нулю, так же как и тензор вращения в этой точке, и выберем начало декартовой системы отсчета в этой точке. Ось Охз направим параллельно образующим цилиндра, а оси Oxi и 0x2 расположим в плоскости сечения Sn. Пусть главный вектор внешних воздействий на равен Р, главный момент —М. Тогда [c.64]

Здесь принято во внимание, что при xi = +оо тензор вращения тождественно равен нулю, поэтому U2,i = ei2. После интегрирования получаем [c.343]

Согласно (3.20) и (3.28) для шести независимых компонентов тензора малой деформации и тензора вращения будем иметь [c.53]

Если по данным компонентам тензора деформаций найдены перемещения Uh, то, присоединяя к ним произвольное бесконечно малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу этого для определенности дополнительно можно, например, задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и компонентами тензора вращения в этой точке. [c.57]

Пусть в точке М° (xj, Х2, лз) заданы компоненты перемещения Un и компоненты тензора вращения Из (3.41) компоненты перемещения в точке М х[, х , х ) будут [c.58]

Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить тождество (7.3.4) с помощью е-тензора и записать условия интегрируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора вектора, используя еще раз обозначение соответствующей операции с помощью е-тензора. Мы не будем следовать этому пути, а просто проверим, что из 81 соотношения (7.3.6) на самом деле остается только шесть. [c.218]

Параметр q = - бивектора РМ определяется тензором вращения q на той же весовой линии точкой D. [c.183]

Соответствующие тензоры вращения дают нам ортогональную равнодействующую q = = — <7i + V2 + <7з + < 4- Умножая последнее равенство на оператор е и складывая тензоры сдвига и вращения, получим [c.188]

Для определения величины винтового момента тензоры вращения 1, и <7з переносим на вал в точки их приложения 7, 2 и 3. Тензоры и q , направлены в противоположные стороны, а потому положение их равнодействующей q = q —q определится точкой весовой линии -d . Из построения видно, что две равные и противоположно направленные вращательные силы 9 и <7з образуют момент М = ql . Плечо А указанной пары сил одновременно определилось нашим построением. Для уравновешивания момента бивектора М необходимо установить на валу пару симметричных масс, создающих момент [c.269]

Для определения величины момента от тензора вращения 1. <72. з и 4 переносим последние на вал в точки приложения сил 1, 2, 4. Тензоры и qs направлены в противополож- [c.272]

В формуле (1-9-8) dz есть поле, описывающее деформируемый материал, определение которого требует знания деформации вблизи г. Величина является компонентом градиента деформации G. Тензор G можно разложить на тензор вращения R и чистую деформацию в виде симметричного тензора натяжения и (правый положительно определенный тензор натяжения) [c.73]

I — тензор вращения, а X определяется ус- [c.257]

Если ввести тензор вращений [c.186]

Для наглядности с симметричным тензором сопоставляют трехосный эллипсоид (рис. 1.1). При U = он становится эллипсоидом вращения. Поэтому тензор (1.256) называют тензором вращения. При ti = t2 = /3 эллипсоид переходит в шар, и тензор (1.25в) называют шаровым. [c.12]

Тензор относительной деформации и тензор вращения, рассмотренные в п, 2.2.1, описывают изменения, которым подвергается (трехмерный) элемент объема. Однако с точки зрения голографии, важно, что происходит на поверхности непрозрачного тела. Следовательно, хотя при некоторых обстоятельствах может быть возможна экстраполяция на внутреннюю часть тела (см. гл. 5), все же важно обратить внимание на двумерные относительную деформацию и поворот на поверхности элемента. [c.36]

Во-вторых, кососимметрический тензор вращения й, как известно из (2.93), может быть выражен трехмерным вектором вращения сог, который разложим в виде (рис. 2.16) [c.37]

Величины yij образуют тензор вращения Лагранжа. Это название связано с тем, что при отсутствии деформации = 0) тело может двигаться, совершая вращения. Величины yij описывают [c.21]

Здесь мы ввели кососимметричный тензор вращения Из сравнения с (6) видно, что остается [c.33]

Здесь мы использовали тот факт, что тензор напряжений и тензор деформаций вг симметричны, в то время как тензор вращения кососимметричен. Выражение равно нулю. [c.71]

Если бы дилатация е и составляющие тензора вращения о)г -были известны, то решение уравнений (10) сводилось бы к решению системы уравнений Пуассона с граничными условиями типа Неймана (условия ди дп = fi). [c.256]

При этом Eil также тензор малых деформаций Коши, в то время как антисимметричный тензор со,7 называется тензором малого вращения или тензором вращения К Далее справедливы равенства [c.43]

Матрица компонент тензора вращения имеет вид [c.43]

Показанная здесь связь между тензором вращения и вектором угловых скоростей вращения тела справедлива в общем случае каждому антисимметричному тензору второго ранга может быть поставлен в соответствие так называемый сопряженный или осевой) вектор. При этом справедливо равенство [c.44]

Между прочим, следует упомянуть, что в нелинейном случае тензоры вращения в лагранжевых и эйлеровых координатах также могут быть определены, но при этом связь их с вращением имеет сложный вид. [c.44]

Таким образом, тензор с компонентами озрд (вектор rot и) определяет поворот подобласти Qi (в пределах точности линейной теории) как жесткого целого деформация описывается тензором с компонентами е /. Тензор 6 = ЮуЛ 0Л называется тензором вращения. [c.11]

Для определения ноля перемещений воспользуемся формулой Чезаро ( 1.3), предполагая, что в точке О перемещения и" и тензор вращения озгу равны нулю, и выбирая в качестве контура интегрирования ломаную линию, состоящую из прямолине11иых отрезков [(О, О, 0), (л ь О, 0)], [(Xj, О, 0) х, х , 0)], [(л ь л з, 0). [c.71]

Из формулы (3.20) заключаем, что лп — антисимметричный тензор, называемый тензором вращения. Перемещение типа ekndx возникает вследствие деформации окрестности точки Р, тогда как [c.50]

И). Значит, 2вкп представляет собой изменение угла между двумя линейными элементами, параллельными осям оХп и oXk (k= n). В декартовой системе координат компоненты тензора вращения [c.52]

Согласно формулам (3.27) для компо1нентов тензора вращения частиц получим [c.253]

Предположим, что перемещение щ некоторой точки тела Мо хо) задано, ищется перемещение точки М х). Соединим точки М и М произвольной кривой, будем обозначать текугцие координаты этой кривой Величины компонент деформации на этой кривой заданы. Предположим на время, что заданы также компоненты тензора вращения й),]( ). Считая перемещения малыми в указанном выше смысле, заметим, что из (7.2.7) и [c.216]

Пусть на зубец колеса действует нормальное давление Р , а на палец кривошипа усилие Р . Эти силы расположены в разных плоскостях и, следовательно, образуют в пространстве крест (PjAPa)- Проектируя данные силы на направление равнодействующей Р получим тензоры-сдвига pj и р , параллельные оси бивектора i. Откладывая тензоры в точках их приложения С и D по величине и направлению с помощью весовой линии Dk находим положение i оси бивектора. Проекции и сил Р и Ра на направление перпендикулярное к оси i представляют тензоры вращения. Отложив их в точках С и D мы получим момент М = jA. Таким образом, крест сил (PjAPa) преобразован в бивектор (РМ). Для определения реакции и в подшипниках А и В мы должны полученный винт преобразовать в обратном порядке в реактивный крест (R aRt,). С этой целью проектируем вектор Р на ось подшипника А и через полученную таким образом точку d2 проводим весовую линию Bd2, которая и определит новые тензоры сдвига и pj, приложенные в подшипниках А и В. Подобным же образом, проектируя тензор на ось подшипника А находим точку d . Весовая линия Od определит нам величину нового тензора вращения q . Таким образом, находим составляющие реактивного креста RauR w. М = q a. [c.268]

Что касается тензоров вращения, то они должны быть равны друг другу q = = onst или [c.292]

Из (1.9) следует, что при повороте абсолютно твердого тела, в котором отсутствуют дилатация и дисторсия, тензор деформа1 ий Г, равен нулю, а тензор вращений Г , отличен от нуля. С другой стороны, из (1.7) вытекает, что при rota = О вращение отсутствует (юед = (ayt = (Bat = 0) и тензор Г , равен нулю. [c.10]

При рассмотрении в гл. 3 формирования голографических изображений были использованы как первые, так и вторые производные разности фаз. В гл. 4 дан анализ формирования интерференционных полос на основании определения оптической разности хода, а затем, при более подробном ознакомлении рассмотрена первая производная от оптической разности хода. В то же время было показано, как вектор смещения и его первая производная, т. е. тензор относительной деформации и тензор вращения связаны с оптическими величинами и по этой причине могут быть измерены на поверхности непрозрачного тела. Следовательно, поскольку каждый дополнительный порядок производной позволяет получить больщее количество ин-. формации, теперь рассмотрим вторую производную от оптической разности хода, с помощью которой определили вторую производную от смещения. Поэтому сначала кратко остановимся на том, какие механические величины за-висят от этой производной и какие соотнощения будем использовать в дальнейшем. Затем подсчитаем вторую производную от оптической разности хода и отметим в общих чертах некоторые из ее возможных применений, [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...