Симметричность тензора

Здесь и далее в тексте скобки в выражениях типа а-(А-Ь) или аналогичных им опускаются, если это не может привести к недоразумению.) Можно заметить аналогию между уравнениями (1-3.17)— (1-3.20) и уравнениями (1-2.7) и (1-2.8) для векторных компонент. Следует также отметить, что определены два типа смешанных тензорных компонент, которые в общем случае различны. Как видно из уравнений (1-3.19) и (1-3.20), они различаются позицией индексов. Как можно показать, используя уравнение (1-3.12), две системы смешанных компонент совпадают только для симметричного тензора. В этом случае индексы могут быть поставлены в любом порядке, но предпочтительным является расположение индексов друг под другом [c.23]

Три определенных выше инварианта, называемых в совокупности главными инвариантами, чрезвычайно важны из-за следующей теоремы представления симметричных тензоров. [c.29]

В этой книге рассматривается только неполярный случай, для которого принцип сохранения момента импульса не налагает иных ограничений, кроме требования симметричности тензора напряжений. Таким образом, этот принцип не будет затрагиваться в последующем изложении, а тензор напряжений всегда будет предполагаться симметричным. [c.46]

Поскольку D — симметричный тензор, а W — антисимметричный, уравнение (1-10.1) сводится к виду [c.50]

Можно показать, что симметричный тензор, за исключением нулевого тензора, не может быть нильпотентным. [c.83]

Доказать, что х Vv = т D. Указание доказать сначала в общем случае, что А В = О, если А — симметричный тензор, а В — антисимметричный. [c.89]

R-R" = 1 и рассматривая (3-1.33). В то же время U симметричен, поскольку симметричен U. Разложение тензора на сумму антисимметричного и симметричного тензоров единственно следовательно, уравнение (3-2.21) отождествляет [c.101]

Вращательные верхние конвективные и нижние конвективные производные симметричного тензора симметричны. В противоположность этому левая и правая конвективные производные, а также левая и правая конвективные предыстории симметричного тензора не симметричны. По этой причине последние два тензора чрезвычайно редко используются на практике. [c.110]

Несмотря на это, не существует симметричного тензора, компоненты которого в системе совпадают с т] действительно, левая и правая конвективные формы симметричного тензора несимметричны и пе равны друг другу. Конечно, если J = J , то смешанные компоненты можно записать как эту матрицу можно тогда интерпретировать двумя различными способами, основываясь на уравнениях (3-4.22) и (3-4.23). [c.115]

Теорема представления симметричных тензоров 29 [c.306]

Таким образом, в рассматриваемом случае образует симметричный тензор, характеризующий межфазное взаимодействие на границе выделенного объема смеси ). [c.134]

Таким образом, тензор инерции твердого тела в данной точке является симметричным тензором инерции второго ранга. [c.110]

Приводя симметричный тензор е,-у к главным осям х, у, z, которые фиксированы по отношению к кристаллу, получаем [c.247]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Компоненты тензора скоростей деформаций, характеризующие движение сплошной среды, зависят от точки пространства и направления осей координат. Тензор 5 является симметричным тензором, так как соглас.110 формулам, определяющим его компоненты, [c.215]

Для таких симметричных тензоров в линейной алгебре доказывается, что в каждой точке существуют такие прямоугольные оси координат, называемые главными осями, для которых тензор принимает диагональную форму [c.215]

Для симметричного тензора второго ранга ац — ац и вектор диадика Dv = 0. Тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы двух тензоров [c.13]

Вектор симметричного тензора-девиатора [c.13]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Совокупность шести величин, т. е. трех относительных удлинений Ец и трех сдвигов уц — 2Ец, не является тензорной величиной. Однако они выражаются через симметричные тензоры конечных деформаций второго ранга и efy. [c.67]

Операторы-функционалы Фц образуют симметричный тензор-де-виатор второго ранга. Для объемного расширения 0 имеем скалярное уравнение [c.81]

Симметричный тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и взятые с обратными знаками центробежные моменты инерции системы. [c.87]

Условия симметричности тензора напряжений справедливы как в статике, так и в динамике сплошной среды. 2. Тензор инерции тела является основной характеристикой геометрии масс. [c.88]

Симметричный тензор второго ранга характеризуется такими соотношениями между своими компонентами Антисимметричный тензор имеет следующее свойство Т Оче- [c.46]

Докажем теорему моменты инерции являются компонентами симметричного тензора второго ранга [c.77]

Рассмотрим симметричный тензор второго ранга с матрицей [c.497]

Симметричный тензор второго ранга [c.502]

Выражения в круглых скобках представляют собой компоненты ковариантного симметричного тензора второго ранга [c.503]

Тензор с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора, известен. Это — тензор кривизны (IV. 89). Но тензор кривизны — тензор четвертого ранга. Однако посредством операции свертывания из тензора кривизны можно построить симметричный тензор второго ранга определенный равенствами (IV. 93). [c.530]

В этом параграфе ограничимся рассмотрением симметричных тензоров второго ранга (симметрия означает, что ( / = 0, iif = tfi отсюда и из симметрии g = g следует, что = [c.318]

Главным направлением симметричного тензора второго ранга i называется такое направление S, для которого [c.318]

Определение. Квадратом симметричного тензора второго ранга t называется тензор второго ранга вида [c.319]

Нетрудно видеть, что любая степень симметричного тензора второго ранга — симметричный тензор. [c.320]

Это вводит в заблуждение, поскольку в левой части уравнений (3-4.27) — (3-4.30) не содержится каких-либо указаний на то, что рассматриваются компоненты четырех различных тензоров. Если J — симметричный тензор и используется обозначение bJ jlbt, то в точности те же самые символы отождествляют две (совпадающие) системы компонент двух различных тензоров. [c.116]

Фактически наиболее общая ассоциированная производная симметричного тензора J, сохраняющая симметрию, определяется посредством введенного в работе [16] линейного оператора, обозначаемого через Fab и определяемого соотношением [c.232]

В технологических процессах интерес представляет случай дисперсной смеси с частицами из ферромагнитного материала в магнитном поле, которое оказывает непосредственное моментное воздействие лишь на частицы (2-я фаза). Это приводит к их ориентированному мелкомасштабному враш,ению (Mj =5 0) с угловой скоростью 2, кинематически независимой от поля их осреднен-ных скоростей v . Вращение частиц за счет сил трения передается и несущ,ей фазе и приводит к мелкомасштабному с характерным линейным размером, равным размеру частиц, ориентированному вращению несущей жидкости М =7 0), Если магнитное поле не оказывает непосредственного воздействия на несущую фазу, т. е. она остается неполярной, то тензор напряжения в ней будет симметричным, а во второй фазе— несимметричным, причем его несимметрическая часть определяется воздействием внешнего магнитного поля на частицы. Симметричность тензора напряжений несущей фазы вытекает из симметричности тензора микронапряжений o l и совпадения среднеповерхностпых и среднеобъемных величин, что в свою очередь вытекает из регулярности этих величин. Несмотря на эти допущения, уравнения импульса и внутреннего момента несущей фазы могут быть приведены к некоторому виду, где, как и для дисперсной фазы, фигурирует несимметричный тензор поверхностных сил aji (см. 1,6 гл. 3). [c.83]

Приведенное напряжение можно рассматривать как среднее напряжение вдоль = dsj -Ь ds ig (см. примечание при обсуждении (2.2.9)). Даже при симметричном тензоре микронапряжений a тензор может быть несимметричным (например, при интенсивном ориентированном вращении частиц с угловой скоростью щ) за счет 0 3 или rjjg, т. е. за счет включения в аjj, части межфазной силы i 2lS Действующей вдоль rfsgiS Поэтому нельзя согласиться с утверждением [4, 6 ], что феноменологическое введение антисимметричных макроскопических напряжений в суспензиях при отсутствии антисимметричных напряжений в микромасштабе (как это сделано в (1 ]) лишено физического смысла. В то же время следует отдавать отчет в том, что представления главного вектора поверхностных сил с несимметричным тензором напряжений < в виде + я/л и с симметричным тензором [c.98]

Всякая девятка чисел а,/, преобразующаяся по формуле (2.12), образует тензор второго ранга. Вследствие закона парности касательных напряжений (2.8) этот тензор напряжений является симметричным тензором второго ранга [c.44]

Величины Gift определяют изменение внутренней метрики среды при деформации они являются компонентами симметричного тензора второго ранга, который называется тензором конечных деформаций в переменных Лагранжа. [c.504]

Теорема (Кэли— Гамильтона). Симметричный тензор t удовлетворяет уравнению вида (1.93), т. е. [c.320]

Значение теоремы Кэли —Гамильтона состоит в том. что она позволяет выразить любую степень симметричного тензора второго ранга через нулевую (т. е. единичный тензор), первую и вторую степени этого же тензора в самом деле, для третьей степени это утверждение уже доказано для четвертой степени [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...