Функция перемещений при изгибе

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ 291 [c.291]

Функция перемещений при изгибе. [c.291]

Вводные замечания. Особенностью определения перемещений при изгибе посредством интегрирования дифференциального уравнения изгиба является то, что в пределах рассматриваемой балки может иметься несколько участков с различным видом функции и. Деление оси балки на участки связано с рядом причин. Для того, чтобы уяснить их, рассмотрим следующую форму записи дифференциального уравнения изгиба [c.207]

Так как компоненты упругого перемещения при изгибе и, V, на, данные формулами (10.96), должны быть однозначными функциями от координат л , у, г, то, согласно (10.96), следует, что выражение [c.293]

Исходя из физической природы изогнутой оси бруса, можем утверждать, что упругая линия должна быть непрерывной и гладкой (не имеющей изломов) кривой, следовательно, иа протяжении всей оси бруса должны быть непрерывны функция ш и ее первая производная. Прогибы и углы поворота и являются перемещениями сечений балок при изгибе. Деформация того или иного участка балки определяется искривлением его изогнутой оси, т. е. кривизной. Так как влияние поперечной силы на кривизну мало, то и в общем случае поперечного изгиба уравнение (10.9) можно записать в виде [c.271]

В качестве одной из задач исследуем распределение напряжений и перемещений при чистом изгибе кругового бруса (рис. 19). Ввиду того, что тензор напряжений не зависит от координаты ф, функцию напряжений берем в форме (6.44). Сформулируем граничные условия задачи в виде [c.116]

При изгибе пластинки различные ее точки получают перемеше-ния, которые зависят от величины внешних сил, геометрических размеров и характера закрепления пластинки, а также от свойств материала, из которого она сделана. Перемещения точек срединной плоскости по перпендикулярам к этой плоскости, т. е. параллельные оси 2, называют прогибами и обозначают w. Они зависят от координат точек X и у ш = (х, у). Поверхность, в которую превраш,ается срединная плоскость при изгибе пластинки, называется срединной поверхностью. Функция прогибов w = w x, у) одновременно является функцией, описывающей срединную поверхность пластинки. [c.497]

Перемещение соответствующее 15, 25, 60, 571, полное удлинение как функция перемещения 54 Перерезывающая сила при изгибе балки 291—300, см. изгиба задач , прогиб вследствие перерезывающей силы Пластинка в равновесии под действием сил, лежащих в ее плоскости, см. плоское напряженное состояние, плоское напряженное состояние обобщенное, — в форме части кольца 514 (пр. 3), — под действием поперечной нагрузки 308—316,— треугольная MI [c.669]

Определить приближенные значения критической сжимающей нагрузки Ркр при которой теряет устойчивость идеальный стержень со свободно опертыми концами (см. рис, 10.6, а), имеющий постоянную жесткость EI при изгибе. При задании функции формы (прогибов) использовать .а) квадратичный трехчлен с одним параметром перемещения Ь) полином четвертого порядка с одним параметром перемещения. Сравнить полученные результаты с точным значением критической нагрузки. [c.546]

Поясним способ выбора функций и на примере нерастяжимого упругого стержня. Направим ось Ох по оси стержня, изгибные колебания которого происходят в плоскостях ху и 2 л . Линейная часть вектора перемещения точек оси стержня при изгибе задается в виде [c.475]

Исследование больших перемещений при упругом изгибе тонких стержней в этих случаях представляет большие трудности. Известно точное решение задачи об изгибе кругового стержня под действием равномерно распределенной нагрузки, найденное Ж. Альфаном [85]. Оно выражается в эллиптических функциях Вейерштрасса. Это решение было изложено в книге [51]. Не повторяя его, здесь скажем лишь о применении наших диаграмм упругих параметров к решению любой задачи, не сводящейся к основному классу. [c.185]

Мы только что узнали, что определение перемещений удовлетворяющих кинематическим условиям при изгибе, установленным в 14, определение, приводящее при первом интегрировании ( 16) к необходимости нахождения функции Р, которое посредством зависимости (91), применимой при всякой форме сечения, само сводится к определению функции р1, удовлетворяющей условиям [c.470]

За основную функцию, описывающую НДС стержня, в каждой из деформаций принята соответствующая функция перемещения поперечного сечения продольное перемещение и = и (г) при растяжении, прогиб у=у (г) при плоском изгибе и угол закручивания ср = (р (г) при кручении. Каждая из этих функций зависит от одного аргумента г, отсюда и задачу нахождения этих функций называют одномерной. [c.547]

Уравнение равновесия (1. 120) формально совпадает с уравнением равновесия однородного стержня, если в последнем прогиб I заменить функцией перемещений х, однако наличие второй производной от X в выражении для прогиба обусловливает различие между этими случаями. При одних и тех же изгибающих моментах деформации трехслойного стержня будут больше от деформаций поперечного сдвига. Исключение составляет случай чистого изгиба, при котором поперечный сдвиг отсутствует. Кроме того, так как в трехслойном стержне повороты поперечных сечений не связаны столь жестко (как в однородном стержне) с углом поворота касательной к упругой линии, в местах приложения сосредоточенных сил упругая линия будет. претерпевать перелом. [c.31]

Второе обстоятельство относится к некоторым аспектам двойственности характеристик функций напряжений и перемещений. Однородное дифференциальное уравнение для функции напряжений Эри совпадает с уравнением изгиба пластин для функции прогиба ш при нулевых распределенных нагрузках. Поэтому, если в (6.74а) функция напряжений заменяется на ш, а [Е1" — на [Е1, то интеграл оказывается равным энергии деформации изгибаемой тонкой пластины. Следовательно, определение функции напряжений (поля Ф) идентично отысканию поля прогибов (поля у) при изгибе пластин, а соответственные матрицы податливости и жесткости различаются лишь коэффициентами упругости заменой 1Е1 1 на [c.190]

С физической точки зрения очевидно, что поле перемещений конечного элемента при изгибе, как этого требует принцип минимума потенциальной энергии, должно быть непрерывно вместе со своими первыми производными при переходе границ элементов. Те же условия получают математически, анализируя выражение для функционала потенциальной энергии Пр, включающее вторые производные от да, что и обусловливает необходимость непрерывности первых производных. Этому требованию удовлетворить трудно. Поэтому при формулировке изгибаемых пластинчатых элементов оказались весьма привлекательными альтернативные вариационные принципы, требующие непрерывности лишь самой функции ш. [c.348]

Следует заметить, что перемещение А. является величиной второго порядка малости по сравнению с перемещением у. В тех задачах, с которыми мы до сих пор встречались, мы этим перемещением с полным основанием пренебрегали. В задачах устойчивости при определении работы внешних сил этого делать нельзя, поскольку энергия изгиба в левой части баланса энергии сама является квадратичной функцией прогиба. Итак, [c.142]

Для исследования равновесных состояний продольно сжатого упругого стержня при F > Fn, о которых речь шла в 15.3, следует обратиться к более точным выражениям деформаций и изменений кривизн через перемещения. Предположим справедливой гипотезу плоских сечений и, следовательно, верной зависимость (15.5) между моментом и характеристикой изгиба к = d0/ds. Выразим и через поперечное перемещение v (s) как функцию дуговой координаты s на изогну гой оси стержня. Так как (рис. 15.17) du/di = sin 0, то после однократного дифференцирования [c.356]

В теории изгиба балок для сведения трехмерной задачи о деформированном состоянии бруса к одномерной (в функции осевой координаты) принята гипотеза плоских сечений. В теории изгиба пластин для упрощения задач приняты следующие гипотезы. Гипотеза неизменной нормали — первая кинематическая гипотеза Кирхгофа, которая состоит в том, что материальные точки пластины, расположенные на одной нормали к срединной плоскости So, после деформирования остаются на нормали к поверхности SS, в которую переходит, плоскость So. Следовательно, материальные точки при деформировании перемещаются так, что все время остаются на одной прямой, перпендикулярной So. Вторая кинематическая гипотеза Кирхгофа состоит в том, что все точки, лежащие на одной нормали, получают одинаковое перемещение в направлении оси Oz, т. е. если [c.366]

В выражение полной потенциальной энергии при потере устойчивости плоской формы изгиба (см. задачу 221) входят упругие перемещения в и б. Доказать, что эти функции связаны между собой дифференциальной зависимостью [c.169]

П. Ф. Папковичем впервые предложено решение задач теории упругости в перемещениях в форме гармонических функций, а также исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен большой цикл задач об изгибе пластин при различных граничных условиях. [c.11]

Такое устремление значений функций к бесконечности происходит при значениях силы Р, равных соответственно п ЕЦР и 4л Е1/Р. Эти значения сил играют фундаментальную роль в теории устойчивости первоначальной формы равновесия сжатых упругих стержней. Здесь же заметим, что бесконечного роста ни перемещений, ни углов поворота, ни усилий в действительности быть не может и сам факт такого возрастания указанных величин, обнаруживаемый расчетным способом, свидетельствует о неправомочности расчетного аппарата при условии значительного роста перемещений, поскольку в этом случае нельзя использовать приближенное дифференциальное уравнение изгиба стержня. Использование же точного дифференциального уравнения позволило бы получить достоверную картину роста перемещений в области больших их значений. [c.325]

При использовании достаточно густой сетки можно пренебречь искривлением сетки и считать, что ее узлы соединяются прямыми линиями. В этом случае могут быть использованы треугольные элементы. Построение полей перемещений для треугольных элементов не требует никаких отображений. В случае плосконапряженного состояния (а оно является одним из решающих для пологой оболочки) Б качестве поля перемещений для треугольного элемента используется уравнение плоскости, что соответствует однородному напряженному состоянию [4]. В результате полное поле деформаций и напряжений для всей области аппроксимируется ступенчатой функцией, что влечет за собой использование достаточно густой сетки. Если рассмотреть решение простейшей задачи изгиба консольной балки с использованием треугольных и прямоугольных элементов, то можно убедиться, что треугольный элемент, даже при большом числе неизвестных, дает худший результат, чем прямоугольный [4]. [c.222]

Применение изложенной теории к решению ряда задач изгиба и кручения прямолинейного призматического стержня показывает, что если стержень тонкостенный, депланация сечения действительно пропорциональна функции кручения, как это и принимается в ряде работ. Если же стержень криволинейный или закрученный, это предположение в ряде случаев не оправдывается и может при определении напряжений и перемещений привести к существ ным погрешностям. [c.87]

Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра. В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические функции двух видов — осесимметричные (зависящие от х, и произведения функций от х, на В этом пункте дается построение этих решений в форме однородных полиномов от х, Z, для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надлежащие особенности на оси z (при л = 0), в случае полого цилиндра. [c.339]

Вопрос об определении перемещений при решении задачи об изгибе при помощи функции напряжений F (х, у) был разрешён Б. Г. Галёркиным путём введения особой функции, которую можно назвать функцией перемещений при изгибе. [c.291]

Ограничение на непрерывность производной может быть снято если механические свойства материала балки моделируются схемой жесткопластического тела, так как в этом случае допускается воз можность неограниченного деформирования волокон, параллель ных оси балки, и, следовательно, при изгибе возможен налом o t балки без разрывов ее оси (см. 12.8). Среди возможных перемещений которые могут быть и конечными, особо важную роль играют веско печные малые возможные перемещения, называемые возможными ва риациями перемещений и обозначаемые б . 6 — знак вариации указывающий на то, что к основной функции и х, у, г) добавляется функция 6м х, у, г), которая в общем случае не есть приращение [c.187]

Система уравнений равновесия узловых усилий позволяет определить узловые перемещения, а зная узловые перемещения , мы получаем выражение для функции прогиба w (8.45) и далее можем определить изгибающие и крутящие моменты, а также нормальные и касательные напрялгения при изгибе пластины по уже известным формулам. [c.225]

При анализе испытаний композитов на трещиностой-кость при трехточечном изгибе обычно рассматривается только нагрузка. Поскольку эти материалы существенно не отличаются от нелинейно-упругих тел, можно использовать зависимость (4.13). При рассмотрении J как функции перемещения б точки приложения нагрузки зависимость (4.13) можно представить как [4.16] [c.85]

Из выражения (250) следует, что при сухом трении декремент колебаний обратно пропорционален амплитуде упругого смещения лопатки п ее жесткости. При этом необходимо иметь в виду, что для прижатых друг к другу трущихся поверхностей демпфирование колебаний не является монотонной функцией силы прижатия. В работе [102] представлено исследование оТ. Г) дмаиа и Ж- Кламиа, изучавших рассеяние энергии колебаний при изгибе в составной разрезанной вдоль оси консольной балке (рис. 78), части которой были прижаты друг к другу нормальной HarpysKoii р. Г ри достаточно большой величине р практически не 1 роисходит относительного перемещения частей балки и поэтому демпфирование колебаний невелико. При малой величине сил при- [c.165]

Здесь и представляет пока еще произвольный параметр, от выбора которого зависит форма упругой линии при изгибе, взятой нами при применении принципа возможных перемещений. Свободой в выборе этого параметра мы воспользуемся для того, чтобы возможно более приблизиться к действительной форме упругой линии, а следовательно, и к истинному значению критической силы, насколько это позволяет вообще выбранная по нашему усмотрению формула (20). Этого мы достигнем, если будем рассматривать Р как функцию от и, определяемую формулой (22). Продиференцируем Р по и, приравняем производную нулю и полученное уравнение вместе с уравнением (22) используем для определения неизвестных Р и и ). В каждом отдельном случае [c.312]

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа приравняем полученное выражение к работе внешних и контурных усилий (6.4), (6.5) и потребуем выполнения этого равенства при любых значениях варьируемых перемещений. Это возможно, если равны нулю коэффициенты при независимых вариациях искомых функций. Отсюда следует система дифференциальных уравнений равновесия в усилиях, описывающгш деформирование круговой трехслойной пластины при изгибе [c.308]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Следовательно, форма равновесия, которую получает тело под действием заданных сил, характеризуется тем, что функция перемещений и, v ш w, представленная выражением J = 2W — JjJ Vdxdydz, приобретает значение максимума или минимума, так как первая вариация этой функции обращается в нуль для всех возможных перемещений бм, б у, bw. В дальнейшем мы будем пользоваться этим обстоятельством и иногда будем интегрирование дифференциальных уравнений заменять разысканием максимума или минимума функции J. Таким путем можно находить приближенные решения при исследовании изгиба стержней и пластинок. [c.57]

Определить приближенное значение прогиба б в середине пролета свободно опертой балки длиной L, на которую действует равиомерво распределенная нагрузка интенсивностью д- Предполагаетс5, , что балка имеет постоянную жесткость / при изгибе. Взять функцию формы (врогибов) в виде а) тригонометрического выражения с одним параметром перемещения (ем. выражение (а) разд. 11.11) [c.545]

Горизонтальные трубопроводы лучще всего подпирать по всей длине. Опоры можно выполнять из дерева, так как удельный вес поливинилхлорида невелик. Необходимо, однако, обращать внимание на то, чтобы изгибы трубопровода не препятствовали его перемещению. Каждый изгиб при изменении температуры должен выполнять функцию компенсатора. [c.153]

Неединственность решения статической линейной задачи может быть обусловлена тем, что равновесие тела нейтрально (неустойчиво). Это может случиться, например, при действии цепных сил (напряжений, входящих в качестве параметров в уравнения (3.2), которые оказываются линейными относительно дополнительных перемещений и напряжений, если цепные силы не зависят от искомых функций). При этом решение соответствующих динамических задач единственно. Действительно, если равновесие неустойчиво, то в отношении некоторых (низших) форм отклонения однородные уравнения допускают решения вида % (х, у, z) ехр (ant), Rea O или tVfi (х, у, г) (нейтральное равновесие). Предположим теперь, что уравнениям задачи с определенными начальными и граничными условиями удовлетворяют два решения, и рассмотрим их разность и (/, х, у, г), которая в силу линейности задачи удовлетворяет нулевым начальным и однородным граничным условиям. Предположим, кроме того, что степень неустойчивости (Rean) равномерно ограничена, т. е. Rea М, где М не зависит от п. Например, при изгибе стержня, свободно опертого в точках л = О, л и сжатого силой Q, уравнение [c.158]

При рассмотрении прямоугольных плоско-напряженных элементов вначале изучаются формулировки, полученные с полющью межэлементно согласованных полей перемещений. Для этих элементов приводятся результаты расчетов, откуда становится ясно, что задачи, которые должны описывать состояние изгиба, лучше моделируются с помощью элементов, содержащих дополнительные функции перемещений. Изучению указанных функций отводится специальный раздел. При формулировке элементов гибридный метод напряжений имеет определенные преимущества в отдельных задачах плоско-напряженного анализа. Этот подход к построению элементов описывается в заключительном разделе главы. [c.266]

Общая схама решения задачи о реакции линейно протяженных сооружений при бафтинге. Пусть формы собственных колебаний симметричного линейно протяженного сооружения при изгибе поперек потока и кручении представлены, как и в подразд. 6.6.2, функциями Лг х) и а (х), так что перемещения поперечного сечения к я а (см. рис. 6.20) при аэродинамическом возбуждении колебаний представляются в виде [c.194]

При конечноэлементном исследовании изгиба пластин Бейзли, Ченг, Айронс и Зенкевич [1966] предложили в качестве критерия полноты ( сходимости ) условия, что функции перемещений не должны допускать дефор-мации элемента в результате его жесткого движения и что функции перемещений должны допускать постоянные деформации и кривизны в элементе. Аналогичные требования выдвигались ранее Айронсом и Дрейпером [c.134]

Показатель изменяемости функции Ф в решении (9.6.19) зависит от толщины Л, радиуса оболочки Л и от номера гармоники и. Полубезмоментная теория справедлива при и > 2, когда силы Ti и S самоуравновеше-ны, а перемещения и , и w соответствуют искажению поперечного сечения. При значениях л=0 и и=1 имеет место растяжение (сжатие) и изгиб оболочки как балки. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...