Уравнение частот (или характеристическое

Уравнение (9.27) в механике называется уравнением частот или частотным уравнением. В теории дифференциальных уравнений оно называется характеристическим уравнением. [c.182]

Уравнение (9.7) и оно же (9.8) в раскрытом виде называется уравнением частот или вековым уравнением. Не следует путать уравнение частот (9.8) с характеристическим уравнением уравнение (9.8) появляется как следствие поиска решения в виде (9.3), а характеристическое — при поиске решения в виде Уравнение (9.8) переходит в характеристическое при р = — А . [c.37]

ЛС Лагранж полагал, что в случае наличия кратных корней уравнения частот (характеристического уравнения) в общее решение системы дифференциальных уравнений движения войдут члены, содержащие время t вне знаков синусов или косинусов. Например, в случае двукратного корня характеристического уравнения общее решение системы дифференциальных уравнений, по мнению Ж. Лагранжа, должно содержать члены [c.253]

Это трансцендентное уравнение определяет значения к, при которых функции F и Z удовлетворяют условиям закрепления концов или граничным условиям. Уравнение (20) называется характеристическим уравнением или уравнением частот. Каждому корню /С характеристического уравнения (20) соответствует своя функция и Z(. [c.203]

Характеристическое уравнение (23) или (24) называют уравнением собственных частот. Его можно представить в одной из следующих эквивалентных форм [c.59]

Полученное уравнение называют характеристическим, или уравнением частот. [c.560]

Поведение векторных диаграмм волновых и диффузионных моделей отличается друг от друга при больших частотах о кривые векторных диаграмм стремятся к конечным величинам или неограниченно возрастают при и) оо для волновых и диффузионных моделей соответственно. Аналогично ведут себя корни характеристических уравнений при возрастании времен релаксации (ретардации) Ге(о.) от О до оо в задачах о свободных колебаниях вязкоупругих стержней, а также дисперсионные зависимости скоростей гармонических волн, распространяющихся в полубесконечных вязкоупругих стержнях, при ш —> оо, если поведение материалов стержней подчиняется реологическим уравнениям волнового или диффу- [c.716]

Раскрыв детерминант А(я2)=0, мы получим алгебраическое уравнение 5-й степени относительно п . Это уравнение называют характеристическим или уравнением частот. [c.506]

Решив однородное уравнение (8) или соответствующее характеристическое уравнение, после несложных преобразований для каждой конкретной структуры нетрудно показать, что наличие потока энергии колебаний изменяет спектры собственных частот [c.27]

Решение уравнения частот, как и характеристического уравнения, представляет собой уже чисто алгебраическую задачу. Известно, что точное решение этой задачи вообще возможно лишь для полных уравнений не выше 4-й степени. Но даже для уравнений 3-й и 4-й степени применение регулярных методов практически бывает затруднительно. Поэтому часто пользуются всевозможными численными и графическими методами приближенного решения, применимыми также к уравнениям высоких степеней. Иногда бывает возможно левую часть характеристического уравнения представить, хотя бы приближенно, в виде произведения двух или большего числа полиномов достаточно низких степеней, и тогда решение значительно облегчается. В ряде конкретных случаев заранее заготовляются специальные таблицы, графики или номограммы, с помощью которых получается достаточно быстрое и вполне удовлетворительное решение. [c.221]

Уравнение (15), определяющее возможные частоты к, носит название характеристического или частотного уравнения. Обо-,значим корни этого уравнения в порядке их возрастания через и < Л ). Важно убедиться, что эти корни положитель- [c.550]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

При Sj > О график решений, как показывают вышеприведенные результаты, несколько деформируется. Если для данной частоты вращения имеются четыре положительных решения, то система устойчива (нейтральна при нулевом демпфировании). В случае шарнирного винта с малой жесткостью в плоскости вращения (рис. 12.11 и 12.12) имеются диапазоны частоты вращения винта, где существуют только два положительных действительных решения для м они находятся в районе резонанса низкочастотного тона лопастей (Q — vj) с колебаниями опоры (со или соу). В этих диапазонах характеристическое уравнение имеет четыре комплексных корня, так что система неустойчива. Для бесшарнирного винта с высокой жесткостью в плоскости вращения (рис. 12.13) при любом существуют четыре положительных решения для со, поэтому земной резонанс невозможен. Такое поведение решений определяется направлением сдвига корней при 5 > О, которое зависит от того, больше или меньше Q частота v при резонансе низкочастотного тона лопастей с колебаниями опоры. [c.621]

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости. [c.49]

Внутренняя однородная динамическая задача (Т ) имеет дискретный спектр собственных частот характеристических чисел интегрального уравнения (6.42°). Эти числа положительны или равны нулю, причем о)2 = 0 есть собственное число шестого ранга и соответствующие решения выражаются системой векторов (6.27 ). [c.186]

Когда Ф и Ь несоизмеримы, то никакие две пары значений т и п не могут дать одинаковую частоту, и каждый фундаментальный тип колебания имеет свой собственный характеристический период. Когда же Ф и соизмеримы, то два или более типа могут иметь одинаковый период и могут тогда одновременно существовать в любом соотношении, причем движение все же сохраняет свой простой гармонический характер. В таких случаях указание периода не определяет полностью типа колебания. Исчерпывающее рассмотрение возникающей здесь задачи требует привлечения методов теории чисел однако для целей, поставленных в настоящем труде, достаточно будет рассмотреть несколько простейших случаев, которые имеют место в случае квадратной мембраны. Более полные сведения читатель найдет в лекциях Римана по дифференциальным уравнениям в частных производных. [c.331]

Оба эти представления для решений справедливы, что видно из уравнения (ж). Как и в общем случае однородных алгебраических уравнений, здесь могут быть получены только такие решения, которые содержат произвольные постоянные. Таким образом, абсолютная величина амплитуд не может быть определена, а можно найти только их отношения или формы колебаний. Второй индекс (1 и 2) в выражениях (3.20а) и (3.206) для амплитуд означает собственные (или главные) формы колебаний, соответствующие корням р и р1-Как и в п. 3.1, решения (3.19) характеристического уравнения записаны так, что выполняется условие рх < р2. Меньшее значение представляет круговую частоту первой или основной формы колебаний, а большее соответствует второй форме колебаний. [c.216]

Обобщая сказанное, отметим, что, если, как предполагается, собственные формы колебаний имеют вид (а) и (б), то можно перейти от однородных дифференциальных уравнений свободных колебаний, подобных уравнениям (3.17) или (3.21), к системе алгебраических уравнений. Полагая определитель матрицы коэффициентов равным нулю, получим характеристическое уравнение, из которого определяем частоты и формы колебаний. При таком подходе форма решения является установленной, но величина вклада соответствующих форм в суммарное динамическое перемещение должна определяться с помощью начальных условий. [c.220]

Теперь первая форма колебаний системы состоит из движения системы как жесткого тела, которое появляется при отсутствии демпфирования. Собственная частота такой формы движения как жесткого тела равна нулю, а период равен бесконечности. Характеристические уравнения, имеющие только положительные корни, называются положительно определенными, а уравнения с одним или более нулевыми корнями называются положительно полу определенными. В соответствии с этим колеблющиеся системы с одним или большим числом форм движения как жесткого тела иногда называются полу-определенными системами. [c.222]

Когда корни и характеристического уравнения для достаточно больших значений Ро близки к мнимой оси, т. е. когда значение Re( l) мало и отрицательно, реактор будет иметь тенденцию к осцилляциям мощности с частотой 1т ( ). Причина этого явления состоит в том, что осцилляции с такой частотой плохо затухают и, следовательно, легко возбуждаются. К тому же ниже будет показано, что мощность может сильно реагировать на введение осцилляции реактивности с частотой, близкой к 1т (о ). Математически это объясняется тем, что передаточная функция для мнимых величин будет иметь пик или резонанс при частоте соо, приближенно равной 1т , когда Не 0. Появление резонансов в передаточных функциях для реальных реакторов описано в разд. 9.5.5. [c.395]

Здесь и и V — параметры, зависящие от коэффициента внутреннего трения да — комплексная величина прогиба / = = —1. Решение ищется, в виде ряда по собственным функциям, определяемым из уравнения Тимошенко без учета внутреннего трения. Доказано, что характеристическое уравнение в этом случае имеет два мнимых и два вещественных корня или все мнимые попарно сопряженные корни, и что спектр частот состоит из двух групп, причем частоты второй группы значительно выше частот первой группы. Поэтому при наличии внутреннего трения колебания с частотами второй группы будут быстро затухать. Показано также, что влияние затухания на величину частот очень мало и может не учи- [c.62]

В форме определителя (26.4) записано уравнение, называемое характеристическим или вековым оно определяет значение постоянной (О. В нашем случае характеристическое уравнение биквадратное и для 0) получаются два значения со и toi, что приводит к двум вещественным положительным <0[ и 2. По физическому смыслу величины о) и (02 являются собственными частотами колебаний системы число их всегда равно числу степеней свободы. [c.223]

Как известно, в консервативной системе резонанс наступает при точном совпадении частоты вынуждающего воздействия с одной из собственных частот системы (т. е. резонансные частоты равны собственным и являются действительными числами или, другими словами, корни характеристического уравнения являются действительными числами). [c.330]

Определение собственных частот неконсервативных систем или отыскание комплексных корней характеристического уравнения [c.330]

Интегральное уравнение Гельмгольца (см. п. 2.2.2) не дает однозначного решения, когда волновое число к равно одному из характеристических или критических чисел (определяющих резонансные частоты) объема среды, вытесняемого телом при граничном условии р s = О (среда в объеме с акустически мягкими стенками). Для конечного по высоте цилиндра набор соответствующих значений параметра ка определяется в виде [c.102]

Это квадратное уравнение относителыно называют характеристическим уравнением или уравнением частот. [c.212]

Обычно при таких упрощениях учитываются распределение температуры рабочей среды по длине и явление транспортного запаздывания, но порядок характеристического уравнения изображающей системы не превышает первого. Подробный анализ упрощенных моделей и сопоставление их с приведенной не входят в цели настоящей работы. Следует лишь отметить, что в некоторой области значений коэффициентов уравнений динамики или диапазоне частот эти упрощения не вносят сущест- [c.127]

Этот факт следует из того, что ненулевые решения уравнений (3) при равенстве неуравновешенных сил нулю возможны, если функции у (х) — фундаментальные, а числа — характеристические. Р1наче говоря, в данном случае фундаментными функциями являются формы колебаний, а характеристическими числами — квадраты собственных частот или критические обороты. Для уравновешивания необходимо выдержать соотношение i [c.187]

Это уравнение называется характеристическим уравнением (или уравнением частот). Вводя обозначения feii/ ii = 2 x, ii/aii = (oo, запишем его в виде [c.255]

Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические упругие волны. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим в направлении вдоль границ среды и стоячим в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнени.я с граничными условиями на двух поверхностях приводит к си-сге.ме из двух характеристических уравнений для волнового числа fep, которая имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенная волна в пластине [151. [c.15]

Ниже будет показано, что, если собственные частоты колебаний источника и амортизируемого объекта, как систем с распределенными параметрами, удалены от основной частоты, а постоянная времени Т достаточно велика, устойчивость реального объекта определяется все же низкочастотной областью. В противном случае источник и изолируемый объект должны рассматриваться как многорезонансные системы. Их характеристики, определяемые со стороны упругого элемента (механическое сопротивление, подвижность или податливость), задаются непосредственно в функции частоты и могут быть аппроксимированы в комплексной области лишь полиномами высокого порядка. В этих условиях целесообразно применять частотные критерии устойчивости, например критерий Михайлова, Найквиста или им-митансный критерий. Однако для первых двух необходимо знать характеристическое уравнение или полную матрицу системы. Иммитансный критерий в отличие от них оперирует непосредственно с суммой сопротивлений, в том числе полученных экспериментально. Ниже этот критерий будет использован для анализа устойчивости системы (см. рис. 1) при различных параметрах эквивалентных схем источника и нагрузки. [c.70]

Изменяя квазиупругий коэффициент от О до со, получим частотное уравнение (34), которое в предельных случаях имеет вид уравнения (27). Это соответствует валу со свободными концами, т. е. случаю отсутствия опор вала или выражению (29), что соответствует валу, шарнирно опирающ,емуся на неподвижные опоры, т. е. случаю свободного опирания вала на подшипники опор. Следует отметить, что корни к 1 характеристических уравнений для этих предельных случаев опирания вала изменяются в достаточно узких пределах от значений (30) до значений (28), несмотря на изменение квазиупругих коэффициентов к, и / ji от О до со. пределы изменения корней к 1 еще больше сужаются для более высоких частот собственных колебаний. [c.207]

При ограничении, накладываемом на область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы, запас устойчивости в соответствии с практическим опытом определяется значением степени колебательности от=0,221-н0,366 и расчет системы производится по расширенной КЧХ разомкнутой системы. Если расширенная КЧХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы /о) при изменении О) от О до со проходит через точку с координатами (—i, /0), не охватывая ее на более высоких частотах (рис. 6.35), то корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены в левой полуплоскости на границах и в области ОАВСО (см. рис. 6.34, [c.450]

Рассмотрим задачу определения границы устойчивости для заданного значения /J. Характеристическое уравнение для границы флаттера (на которой s = ш) может быть разрешено относительно жесткости системы управления в виде =/((о), где / — комплексная функция частоты флаттера ш, учитывающая зависимость аэродинамических коэффициентов от С (ЙэФф). Решение определяется требованием о том, чтобы и, следовательно, / были действительными. Функция /(ш) вычисляется для ряда значений ш, а нули функции Pm(f) находятся графи-чески или численно. Жесткость проводки управления на границе флаттера определяется действительной частью /(ш) при частотах флаттера, соответствующих нулям Im(f), т. е. е = = Re(/). Повторяя эту последовательность вычислений для ряда значений /, можно установить границу флаттера. Для квази-статического случая, рассмотренного в предыдущем разделе, при [c.592]

Подставляя в характеристическое уравнение р = что соответствует в операторной форме решению х = = Л51пшд<, после разделения действительной и мнимой частей получим два уравнения для определения частоты и амплитуды автоколебаний. После этого условие устойчивости регулирования определяют, полагая амплитуду автоколебаний мнимой или комплексной величиной. [c.45]

Исследование системы связанных резонаторов можно провести, если волиы, распрострапяюш иеся в отдельных резонаторах, связать друг с другом с помогцью коэффициентов отражения и пропускания зеркал, подобно тому, как это делается в 3.1 для трехзеркального резонатора. Исследуя далее качественно или с помогцью ЭВМ характеристическое уравнение полученной системы, можно найти резонансные частоты, потери, отпошепие амплитуд полей в разных частях резонатора и вообгце все характеристики сложного резонатора. Как правило, система дополнительных зеркал не должна занимать много места. В этом случае систему дополнительных зеркал можно рассматривать как единое зеркало с селективными свойствами. Далее без вывода приводятся зависимости коэффициентов отражения таких комбинированных зеркал для четырех наиболее интересных случаев (рис. 3.4). [c.176]

Таким образом, амплитуды возмущений ф(л ) и 0(л ) определяются из системы обыкновенных линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями. Краевая задача (43.11) — (43.13) является характеристической нетривиальное решение существует лишь при определенных значениях параметра X. Декременты находятся как собственные числа краевой задачи соответствующие собственные функции ф и 0 определяют структуру характеристических возмущений скорости и температуры. Собственные значения X зависят от параметров — чисел Грасхофа О и Прандтля Р, а также от волнового числа к. Поставленная краевая задача является несамосопряженной, и поэтому ее собственные числа X, вообще говоря, комплексны X = Хг + 1Х . Вещественная часть Хг определяет скорость затухания или нарастания возмущений. Мнимая часть Х дает частоту колебаний при О возмущения распространяются в потоке в виде плоских волн с фазовой скоростью с = Х к. [c.304]

Отметим, что Сгз не есть скорость звука в паре. Можно показать, что С) — характеристическая скорость полученной системы уравнений и замороженная скорость звука рассматриваемой парожидкостной среды, являющейся релаксирующей или неравновесной средой. Неравновесность здесь имеется только за счет неравновесного тепло- и массообмена между паром и жидкостью. Замороженная скорость звука — скорость распространения малых возмущений с бесконечной частотой (со°о), когда релаксационные процессы, в данном случае межфазный тепло- и массообмен, не успевают произойти, и каждая фаза ведет себя нзоэнтропически [c.144]

При применении методы разложения решений дифференциальных уравнений в ряды, расположенные по степеням малых параметров, которою пользуется Эйлер, возникает то затруднение, что могут появиться так называемые вековые члены, т. е. содержащие время вне знаков синуса и косинуса чтобы от них избавиться, Эйлер указывает, что есть возможность составить некоторое уравнение, заменяющее собою обыкновенное характеристическое для уравнений с постоянными коэффициентами это уравнение и доставляет измененное присутствием нелинейных членов значение частоты основных колебании системы введение этой частоты избавляет от вековых членов в разложениях. Этого уравнения по его сложности Эйлер, как он говорит, составлять не отваживается (поп sumus ausi), а определяет нужную ему величину на основании астрономических наблюдений или, как он выражается, берет ее с неба (ех oelo). [c.215]

Уравнение (43.16) называется характеристическим или векошм уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение сте пени 5 относительно ш и в общем случае имеет 5 различных вещественных и положительных корней (а = 1,2,. .., ). Определенные таким образом величины называют собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты со называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие частоты со = (о = (о, то колебание с частотой а называется дважды вырожденным могут быть и трехкратно вырожденные собствен ные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием определенной симметрии ее равновесной конфигурации. [c.239]

Зная дисперсионное уравнение среды, заполняющей резонатор f ) = О, и спектр волновых чисел (4.46) или (4.47), мы можем получить уравнение относительно одной переменной A(w) = кп) = = О, определяющее спектр нормальных частот резонатора. Именно это уравнение и есть аналог характеристического уравнения для сосредоточенных систем. Например, в случае среды без дисперсии при идеальных отражениях на концах кп = ттп/1 и = ттпЦЫЬС) = kn/ VL ) (рис. 4.21). Каким при эквидистантном спектре к будет спектр ш, если среда обладает дисперсией Качественное поведение спектра, зная дисперсионные характеристики, можно получить с помощью элементарного графического построения, которое ясно из рис. 4.22 и 4.23. [c.83]

Обсужденный в п. 4.2 метод определения собственных частот колеблющихся систем обычно используется только в тех случаях, когда найти корни характеристического уравнения не представляет труда. Здесь также возможно применение различных численных методов , но они обычно эффективнее в случае систем с большим числом степеней свободы. Обсуждаемый в данном параграфе подход иногда называют методом степенных рядов или методом Сто-долы—Вианелло, но, как правило, его именуют просто итерационным методом. Этот подход удобно применять для работы с матрицами невысокого порядка, используя при расчетах логарифмическую линейку или настольный калькулятор, но решения больших задач следует программировать, чтобы проводить вычисления на цифровых ЭВМ. [c.288]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...