Уравнение характеристическое (частотное)

Таким образом, приходим к характеристическому частотному) уравнению [c.592]

Характеристические частотные уравнения (24) — (26), из которых можно получить бесконечное множество корней й, являются трансцендентными по своей природе Были вычис- [c.12]

Уравнение (15), определяющее возможные частоты к, носит название характеристического или частотного уравнения. Обо-,значим корни этого уравнения в порядке их возрастания через и < Л ). Важно убедиться, что эти корни положитель- [c.550]

Уравнение (5.8) называют частотным или характеристическим уравнением исследуемой динамической системы. Величины к представляют собой, как следует из выражения (5.7), собственные значения матрицы Я (см. п. 2.2). [c.155]

Приравнивая характеристический определитель нулю, получим частотное уравнение [c.60]

Обычно анализ устойчивости в той или иной форме выполняется путем изучения положения вектора, характеризующего полол е-ние корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного. Алгебраические критерии устойчивости обеспечивают этот анализ косвенно в форме анализа знака определителя, образуемого из коэффициентов соответствующего дифференциального уравнения. Частотные критерии связаны с построением годографа вектора Михайлова А (/ш), получаемого путем подстановки = /<в в характеристическое уравнение. [c.86]

Анализ свободных колебаний систем с конечным числом степеней свободы приводит, как известно, к приравниванию нулю частотного определителя, после развертывания которого образуется частотное уравнение, степень которого соответствует числу степеней свободы рассматриваемой системы. При большом числе степеней свободы развертывание определителя в общем (буквенном) виде связано с серьезными вычислительными трудностями. С другой стороны, известно [6], что характеристический полином системы, как и определитель графа, равен сумме величин деревьев графа [c.59]

Все вышеприведенные критерии устойчивости могут быть использованы тогда, когда известно характеристическое уравнение всей системы. Бывают случаи, когда для некоторых звеньев системы трудно составить достаточно достоверные дифференциальные уравнения, но легко собрать действующий макет отдельного звена или взять его в готовом виде и снять частотную характеристику. Тогда устойчивость замкнутой автоматической системы определяется по частотной передаточной функции разомкнутой системы при помощи критерия Найквиста. [c.13]

По значениям постоянных времени Та, Т , Т , и Т , а также по значению коэффициента усиления К при помощи общеизвестных правил строятся асимптоты логарифмической амплитудно-частотной характеристики (рис. 6.4), причем участок 1—1 определяется значением коэффициента усиления /С, а уклон каждого последую-п его — порядком множителя, определяемого индексом постоянной времени Т начала этого участка. Так, сомножителем характеристического уравнения соответствует отрицательный уклон асимптоты в 20 дб на декаду для сомножителя первого порядка н 40 дб на декаду для сомножителя второго порядка, а для сомножителей, входящих Б числитель выражения передаточной функции, уклоны соответственно меняют знак. [c.179]

Указанная задача, в свою очередь, сводится к изучению знаков вещественных частей корней некоторого алгебраическою уравнения, называемого характеристическим или частотным уравнен ем, [c.103]

Уравнения (24) — (26) выражены в функции от частотного параметра Q и являются, таким образом, характеристическими уравнениями соответственно для случаев С —С, С — S и С —F. [c.12]

В структурной схеме контура регулирования чистое запаздывание обычно изображается в виде блока с передаточной функцией Анализ частотных характеристик такой системы показывает, что запаздывание приводит к уменьшению запаса устойчивости системы в большей степени, чем введение в контур еще одной постоянной времени, численно равной времени запаздывания. Уравнение переходного процесса в такой системе трудно получить аналитически, так как число корней характеристического уравнения бесконечно. Это можно показать, разлагая экспоненту в степенной ряд, [c.118]

Условия, которым должны при этом удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения, обычно выводятся путем преобразования критериев Гурвица [79], либо частотным методом [100]. Дадим элементарный вывод этих условий для характеристических уравнений второй и третьей степеней, причем самые условия получатся в несколько более простом виде, чем они встречаются в литературе. [c.288]

Уравнение (9.27) в механике называется уравнением частот или частотным уравнением. В теории дифференциальных уравнений оно называется характеристическим уравнением. [c.182]

Как видно из приведенных выражений, характеристическое уравнение системы редукторов, для которых необходимо учитывать время запаздывания, характерно тем, что его левая часть представляет не полином, а трансцендентную функцию от комплексного переменного р, имеющую не конечное, а бесконечное число корней. Исследование устойчивости таких систем (с так называемыми распределенными параметрами) сводится к определению знаков корней характеристического уравнения. Однако аналитические методы в данном случае весьма громоздки и при практическом применении представляют значительные трудности. Наиболее удобным в данном случае является графоаналитический метод исследования устойчивости системы, основанный на частотных представлениях. Формулировка критерия устойчивости в данном случае должна быть следующей. [c.148]

Это выражение, квадратичное относительно р , представляет собой частотное (или характеристическое) уравнение системы. Оно имеет два корня (называемых характеристическими значениями), которые можно записать как решения квадратного уравнения [c.194]

Эта система четырех однородных алгебраических уравнений будет иметь нетривиальные решения только в том случае, если определитель матрицы, составленный из коэффициентов при Сх, С , Сд и С4, равен нулю. Тогда, разложив этот определитель, можем получить частотное уравнение для стержня с упругим закреплением на концах (см. рис. 5.27). Подставив корни этого характеристического уравнения обратно в уравнения (5.145), можно определить нормальные функции (с точностью до произвольной постоянной). [c.412]

Таким образом, устойчивость заданных равновесных состояний или заданных движений систем проверяется по корням характеристического уравнения. Расположение корней на комплексной плоскости относительно мнимой оси может быть установлено по критериям устойчивости без решения характеристического уравнения. Критерии устойчивости разделяются на алгебраические и частотные. Алгебраические критерии приводятся ниже без доказательства. [c.88]

О, а конец при изменении со обегает амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 5.5). Если разомкнутая система составлена из устойчивых звеньев, то ее характеристическое уравнение не имеет корней справа от мнимой оси, т. е. к = 0. В этом случае условие (5.29) приводит к следующей формулировке критерия Найквиста замкнутая система устойчива, если устойчива разомкнутая система и ее амплитудно-фазовая частотная характеристика при изменении со от О до +со не охватывает точку с координатами —1, ]0. [c.94]

Определение корней характеристического уравнения, особенно для систем высокого порядка, является сложным процессом. Поэтому в теории управления разработаны косвенные признаки (критерии устойчивости), которые позволяют судить об устойчивости без определения корней характеристического уравнения. Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости. [c.87]

Для оценки устойчивости без определения корней характеристического уравнения системы разработан ряд критериев, в частности алгебраический критерий Рауса — Гурвица, частотный i pii-терий и др. [c.296]

Частотное уравнение системы в рассматриваемом случае отличается от характеристического уравнения системы диф( )еренциаль-ных уравнений лишь знаками коэффициентов. Следовательно, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений свободных колебаний (45) для любой из обобщенных координат будет иметь следующий вид [c.43]

Ниже будет показано, что, если собственные частоты колебаний источника и амортизируемого объекта, как систем с распределенными параметрами, удалены от основной частоты, а постоянная времени Т достаточно велика, устойчивость реального объекта определяется все же низкочастотной областью. В противном случае источник и изолируемый объект должны рассматриваться как многорезонансные системы. Их характеристики, определяемые со стороны упругого элемента (механическое сопротивление, подвижность или податливость), задаются непосредственно в функции частоты и могут быть аппроксимированы в комплексной области лишь полиномами высокого порядка. В этих условиях целесообразно применять частотные критерии устойчивости, например критерий Михайлова, Найквиста или им-митансный критерий. Однако для первых двух необходимо знать характеристическое уравнение или полную матрицу системы. Иммитансный критерий в отличие от них оперирует непосредственно с суммой сопротивлений, в том числе полученных экспериментально. Ниже этот критерий будет использован для анализа устойчивости системы (см. рис. 1) при различных параметрах эквивалентных схем источника и нагрузки. [c.70]

В Процессе исследования динамических характеристик металлорежущих станков возникают как задачи, связанные с большим количеством повторяющихся операций, выполнение которых целесообразно поручить ЭВМ, так и задачи, требующие осмысливания полученных результатов, обобщений, оценки путей дальнейшего продвижения, которые в настоящее время могут решаться только человеком [1]. К числу первых задач относятся составление уравнений движения механической системы станка, получение и анализ характеристического уравнения, установление форм свободных колебаний, исследование вынужденных колебаний системы, расчет передаточных функций, построение амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ), анализ устойчивости системы. [c.53]

Изменяя квазиупругий коэффициент от О до со, получим частотное уравнение (34), которое в предельных случаях имеет вид уравнения (27). Это соответствует валу со свободными концами, т. е. случаю отсутствия опор вала или выражению (29), что соответствует валу, шарнирно опирающ,емуся на неподвижные опоры, т. е. случаю свободного опирания вала на подшипники опор. Следует отметить, что корни к 1 характеристических уравнений для этих предельных случаев опирания вала изменяются в достаточно узких пределах от значений (30) до значений (28), несмотря на изменение квазиупругих коэффициентов к, и / ji от О до со. пределы изменения корней к 1 еще больше сужаются для более высоких частот собственных колебаний. [c.207]

Полученное разностное уравнение отличается от уравнения (8.7-5) присутствием второго слагаемого, определяющего случайную составляющую. Кроме того, здесь вместо обратной связи по выходу наблюдателя Ах (к) = НСх (к) используется обратная связь по выходу фильтра состояния Ах (к + 1) = ГСАх (к). Она зависит от частотных свойств объекта, поскольку коррекция оценки состояния выполняется на основе предсказанного значения Ах (к). Полюса системы управления с регулятором состояния и фильтром находятся из характеристического уравнения системы (15.2.8) [c.276]

Обозначим точные значения корней характеристического уравнения (20.103) через % = — h riji, а приближенные значения через kj = — hj kji, где h, вычислены по формулам (20.105), а йу —корни частотного уравнения (20.104). Покажем, что сумма точных значений корней характеристического уравнения равна [c.500]

Докажем, что корни характеристического уравнения (9.34) вещественные и положительные. Допустим противное, пусть Л - комплексный корень частотного уравнения. Тогда есть и комплексносопряженный корень Л (для уравнений с действительными коэффициентами). [c.185]

При сетях небольшого протяжения колебательную систему можно представить в виде механической цепи из элементов с сосредоточенными параметрами, имитирующих различные элементы сети при этом проверка устойчивости работы вентилятора в сети упрощается. Однако в случаях протяженных и разветвленных сетей необходимо учитывать волновой характер колебаний. Получаемые для таких систем характеристические уравнения трансцендентны и проверка устойчивости производится только численными частотными методами теории автоматического регулирования или же электрическим моделированием (Т. И, Матикашвили, 1966). [c.848]

Не затрагивая здесь в полной мере всех возможностей этой проблемы, ограничимся лишь одним простым указанием, что чем положе очертания вещественно-частотной характеристики, тем быстрее протекает переходный процесс. Необходимо все же помнить, что описанный выше метод основан на некоторых допущениях и является приближенным и по своим основам и по причине произвольности самой аппроксимации. Поэтойу если решить эту же задачу классическим способом , т. е. нахождением численных значений корней характеристического уравнения, определением постоянных интегрирования и т. д., как было изложено в примере гл. 2, то результаты будут несколько расходиться. [c.192]

Заданы все параметры системы требуется определить, будет ли устойчива система при этн < зг1ачсниях параметров. В этом случае для опенки устончивостк применяются алгебраические, частотные и другие критерии устойчивости. Для анализа устойчивости одноступенчатых газовых редукторов было применено характеристическое уравнение в развернутой форме (без учета времени запаздывания) [5] [c.147]

А. Д. Лизарев [1.39] (1963) разобрал колебания упруго защемленных стержней в рамках теории Тимошенко. Установлено, что в зависимости от частотного параметра возможны три типа корней характеристического уравнения два корня действительных и два мнимых, два действительных и два нулевых, соответствующих точке бифуркации, и все корни мнимые (при достаточно высоких частотах). Проведенные расчеты показывают, что влияние деформации сдвига и инерции вращения существенно лишь для коротких стержней и усиливается с увеличением коэффициента упругого защемления и тона колебаний. [c.84]

Уравнение для характеристического функционала, являющееся следствием соленоидальности поля скорости, не зависит от наличия временнбго (или частотного) аргумента. Поэтому для функционалов Ф 6 (X, )] и Фх [ ) (X, ю)] ЭТО уравнение можно записать в любой из трех форм (28.8), (28.10) или (28.11), а для функционалов [ (. 01 и Ч 1[5(й, (о)] — в любой из трех форм (28.27), (28.28) или (28.30) (с очевидными видоизменениями записи, связанными с наличием дополнительного аргумента 1 или ю). Так, например, в дифференциальной форме уравнения, вытекающие из условия соленоидальности, будут иметь вид [c.629]

Современные способы определения устойчивости системы позволяют судить о ней,без расчета корней характеристического уравнения схемы. Сюда следует отнести алгебраический критерий Раусса — Гурвица, частотные критерии Михайлова, Найквиста и логарифмический частотный критерий Боде. В зависимости от того, как задана задача, и какие характеристики схемы надо определить, пользуются одним из упомянутых критериев. [c.242]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

Доказательство этих теорем см., например, в монографии [31]. Д анализа знаков действительных частей корней характеристического ур нения существуют хорошо разработанные методы и критерии (см., н пример, [14]), не требующие непосредственного решения характерис ческого уравнения. Они разделяются на две группы — на алгебраические частотные. Характерным и весьма распространенным представителем пе вой группы служит критерий Гурвица, а наиболее общим представител второй группы является метод / -разбиений, специально предназначе ный для выделения областей устойчивости в пространстве параметров и следуемой системы. Оба эти метода кратко излагаются ниже. [c.40]

Черлинский [475] также дает решение характеристического уравнения для бесконечно длинных щ1линдров, полученное из общего уравнения колебаний. Для области длин волн порядка диаметра цилиндра (проволоки) Черлинский установил, что с повышением частоты скорость распространения должна уменьшаться. Он экспериментально измерил ход дисперсии для тонких проволок из различных материалов, не обнаружив при этом наличия мертвой зоны . Частотную зависимость скорости распространения продольных волн для металлических стержней прямоугольного сечения исследовал Морз [c.385]

Возможности программного обеспечения проектирование в режиме оп-Ипе , анализ и моделирование одномерных и многосвязных систем. Гибкие средства ввода-вывода данных, сервисные программы. Для анализа и проектирования одномерных систем используются методы Найквиста, корневого годографа, логарифмические характерист ики и диаграмма замыкания. Для анализа и проектирования многосвязных систем используется инверсный метод Найквиста (для непрерывных и дискретных систем). Для анализа систем применяются модели в пространстве состояния, описания в форме передаточных функций и эксп и-ментальные частотные характеристики. Численные методы основаны на QR-и QZ-алгоритмах, алгоритмах нахождения собственных значений комплексной матрицы, инверсном и обобщенном алгоритмах Фадеева, алгоритме минимальной реализации. Максимальная размерность систем 50 состояний или 50-й порядок характеристического уравнения. [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...