Уравнение амплитуды колебаний деформаций

Уравнение (IX. 3) приводит к следующему соотношению (записанному в цепной скорме) между приведенной амплитудой упругой реакции нелинейного участка fи приведенной амплитудой колебания деформации этого участка Bk,k+i- [c.228]

Найти уравнение движения груза 1 y = y t), приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин). Найти также амплитуду колебаний груза 1. [c.344]

Аналогичным образом могут быть записаны частотные уравнения при иных граничных условиях, а именно g i (k) == О (оба конца свободны) gi2 (k) = О (оба конца заделаны) k) = О (вход цепи свободен, на выходе — заделка). Необходимо подчеркнуть, что понятие заделки при анализе колебаний механизмов не следует понимать в буквальном смысле. В частности, правомерно считать начало цепи заделкой, если ему приписывается заданное движение, а координаты фу соответствуют отклонениям из-за упругих деформаций. Очевидно, что в этом случае амплитуда колебаний в начальном сечении так же, как и при заделке, окажется равной нулю. [c.126]

Таким образом, для определения резонансных амплитуд колебаний шестерен I ж II ступеней 4, 6, 11 — по рис. 4) редуктора по ветвям турбин высокого и низкого давления достаточно решить дифференциальные уравнения типа (14). В силу специфики структуры дифференциальных уравнений (14) отпадает необходимость в определении коэффициентов демпфирования всех масс системы. Оказывается достаточным найти коэффициенты демпфирования лишь тех масс, амплитуды колебаний которых определяются для резонансного режима. В том случае, если зацепления колес и шестерен редуктора были бы выполнены с идеальной точностью и звенья зубчатого механизма были бы абсолютно жесткими, не наблюдалась бы неравномерность вращения колес и шестерен. Однако благодаря неизбежно возникающим при изготовлении периодическим погрешностям шага и профилей зубьев, а также вследствие деформаций зубьев под нагрузкой при работе зубчатой передачи возникают периодические нарушения равномерности вращения и, следовательно, аналогичные изменения передаваемого системой момента. Вследствие этого все вращающиеся элементы системы находятся под воздействием переменных по времени сил, которые и могут в этом случае рассматриваться как возбуждающие. [c.85]

Выведенные до сих пор вариационные принципы касались краевой задачи теории упругости. В последних двух параграфах этой главы рассмотрим вариационные формулировки задачи о свободных колебаниях упругого тела при малых перемещениях. Задача формулируется так, что тело свободно на 5 и закреплено на S . Поскольку мы ограничиваемся случаем малых перемещений, все уравнения задачи линейны, а перемещения и напряжения в теле изменяются гармонически во времени. Обозначив амплитуды напряжений, деформаций и перемещений через. ......., и, [c.66]

При /1 = 325 Гц Л 1/Л 2 = —0,93 и при /2 = 665 Гц Л 1/Л 2 = = 0,88. Абсолютные значения коэффициентов Л1 и Л2 пропорциональны амплитудам, колебаний. Определим перемещения над опорами В, О я о" и решим уравнение упругой линии для расчета затухания. Зададимся единичной амплитудой силы инерции Р1 массы т.1, тогда амплитуда силы инерции массы т. будет 1,04 (при частоте 335 Гц). Для упрощения расчета, который в целях демонстрации метода проводим вручную, полагаем амплитуды сил инерции одинаковыми и единичными (Р .о = 2,0)-В этом случае перемещения над опорами и в точке I будут = = 14,63-10" см уо = 2,02-10" см г/в = 1,42-10" см Ув = 0,80-10" см. Для определения затухания в материале данной статически неопределимой системе целесообразно из полного выражения коэффициента влияния выделить лишь ту его часть б у, которая зависит от собственных деформаций балки и не зависит от деформации опор. Затем можно воспользоваться соотношением [c.67]

Если амплитуда продольных автоколебаний корпуса ракеты та> кова, что механические деформации конструкции носят упругий ха-рактер, то консервативная часть математической модели упругого корпуса будет описываться линейной системой уравнений. Следует также отметить, что даже при очень больших, достигающих разрушающих значений амплитудах колебаний, отклонения от линейной модели приводят всего лишь к весьма умеренным поправкам к значениям собственной частоты колебаний корпуса. Роль подобных поправок в рассматриваемом круге задач несущественна, так как само значение собственной частоты колебаний в процессе полета меняется в сравнительно широких пределах. [c.136]

Граничные условия в случае свободных колебаний должны быть однородными, при этом множитель ехр iat сокращается. Вопрос о начальных условиях мы пока оставляем в стороне. Уравнения связи между амплитудами напряжений и деформаций сохраняют форму обычных уравнений закона Гука [c.433]

Рассмотрим колебания массы, соединенной упругой связью с неподвижной опорой. При движении массы, кроме упругих сил, могут возникать силы вязкого сопротивления, пропорциональные скорости массы или скорости деформации упругой связи. Хотя решение этой задачи излагается во всех курсах теории колебаний, используем его с целью введения основной терминологии и анализа физических закономерностей, присущих также и сложным колебательным системам. Уравнение движения при возбуждении массы гармонической силой с амплитудой имеет вид [c.18]

Далее, во многих случаях, когда речь идет о колебаниях как о дополнительных движениях, налагающихся на основное движение машины (или механизма), соответствующие перемещения можно считать малыми. Это положение, широко применяемое в строительной механике и в теории колебаний упругих систем, достаточно хорошо подтверждается практикой. Оно не применимо в тех случаях, когда возможны значительные относительные перемещения тел (например, качание маятника с большой амплитудой, движение поршня в цилиндре, перемещения от изгиба весьма гибких элементов). Но оно вполне соответствует тем случаям, когда перемещения связаны с упругими деформациями обычных элементов. Предположение о малости перемещений приводит к простым соотношениям при составлении уравнений колебаний. [c.9]

Наибольшее усилие трения Р/шах при ро = О, которое должна преодолевать нажимная пружина, бывает при монтаже уплотнения в агрегат. Это усилие рассчитывается по методам 41 для начала движения эластичного уплотнения. В процессе обкатки торцового уплотнения в агрегате плавающий и опорный диски устанавливаются в определенное положение, относительно которого происходят лишь колебания с угловой амплитудой у. При этом трение эластичного уплотнения по плавающему диску часто не возникает, но появляется реакция упругой микродеформации вспомогательного уплотнения в осевом направлении. Ее можно считать деформацией сдвига кольца, сопровождающейся воздействием силы Р/, пропорциональной произведению у на модуль G. Важно, что усилие пружины и создаваемое ею минимальное контактное давление рпт а являются стабильными величинами, не зависящими от случайных причин, в отличие, например, от величины гидродинамического давления. Главными членами уравнения равновесия являются [c.164]

Из большого числа вариантов теорий неупругости наилучшее совпадение с наблюдаемыми в экспериментах вибрационными явлениями обнаруживает теория пластических деформаций. На основе проведенных экспериментальных работ [73] была выдвинута гипотеза, в соответствии с которой внутреннее трение при значительных напряжениях представляет эффект микропластических деформаций. Имеется указание о том, что внутреннее трение должно изучаться с использованием уравнений теории пластичности Мизеса — Генки. Однако эта рациональная идея была реализована только для случая циклического деформирования в условиях одноосного напряженною состояния и при частном виде кривой нагружения материала. В результате была предложена формула гистерезисной петли, по которой потери энергии в материале за цикл колебаний зависят по степенному закону от амплитуды деформации или напряжения. [c.151]

Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в каналах и трубах с точки зрения взаимодействия вязких пристеночных слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведен в [58-61] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения движения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и генерация вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматриваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от времени деформациями стенок обсуждаются в [62-65]. [c.6]

Колебания в грунтах, возникающие при взрывах, а также других динамических воздействиях, распространяются в виде продольной и поперечной волн. Если амплитуда возникающих при этом сдвиговых деформаций ниже примерно 10 , то грунт может рассматриваться как линейно-упругая среда. Константы этой среды могут быть определены из скоростей продольных и поперечных волн по уравнениям [c.60]

Существуют и другие подходы для определения критических параметров (в частности, скорости полета) на границе устойчивости. Для этого в уравнениях свободных колебаний (38) полагают Я, = ш и находят значения скорости, удовлетворяющие этим уравнениям. Критическую скорость флаттера можно также определить экспериментально в аэродинамической трубе на динамически подобной модели и в процессе летных испытаний летательного аппарата. В последнем случае прибегают к экстраполяции, чтобы по тенденции определяющих флаттер параметров с ростом скорости полета найти приближенно величину критической скорости флаттера. Возникновение флаттера связано с определенным тоном свободных упругих колебаний в потоке воздуха. Распределение деформаций по конструкции при потере устойчивости определяет комплексную форму колебаний флаттерного тона. В зависимости от преобладания амплитуд той или иной части ЛА и характера деформированного состояния различают виды флаттера. Например изгибно-крутильный флаттер крыла, изгибно-изгибный флаттер в системе стреловидное крыло — фюзеляж, изгибно-элеронный флаттер, рулевой флаттер и т. д. Для характеристик флаттера несущих поверхностей часто определяющее значение имеют различные грузы, размещенные иа них двигатели, подвесные баки с горючим, шасси. Существенными параметрами являются жесткости крепления этих тел на поверхности крыла. Вообще для флаттера принципиально важны параметры связаииости форм движения. Например, для совместных колебаний изгиба и кручения крыла такими параметрами являются координаты точек (линий) приложения сил аэродинамического давления, инерции и упругости. Смещение центра масс относительно оси жесткости вперед способствует стабилизации системы. Совмещение всех трех точек развязывает виды колебаний, и в этом случае флаттер невозможен. Это свойство обычно имеют в виду при динамической компоновке конструкции. Важными параметрами являются распределенные нли сосредоточенные жесткости. Последние характерны для органов управления [c.490]

Далее, применяя ту же последовательность операций, что и при собственных колебаниях, придем к системе линейных неоднородных уравнений относительно ш D , из которой они могут быть определены. Зная их, легко вычислить амплитуды в любом сечении вала и найти форму упругой линии при вынужденных колебаниях. На рис. 4 показаны две упругие линии, построенные при (х = = 10,9 и 39,7 (это соответствует 6600 и 24 ООО об1мин). Они дают возможность судить о характере деформации вала на различных рабочих режимах ультрацентрифуги. [c.52]

Ha рис. 29 приведена картина деформации осредненного по времени температурного поля в пограничном слое под действием высокочастотных колебаний скорости внешнего потока. С увеличением амплитуды и уменьшением частоты деформация осредненного по времени температурного поля под действием колебаний увеличивается. Для учета диссипации кинетической энергии решение уравнения (277) для малоамплитудных колебаний удобно искать в виде ряда [c.114]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Анализ закритического поведения аэроуп-ругих систем важен, так как во многих случаях превышение критической скорости флаттера не вызывает мгновенного разрушения конструкции, а приводит к установившимся колебаниям. Характеристики этих колебаний (амплитуды, и частоты) используют для оценки времени функционирования конструкции до разрушения. Необходимо рассматривать конечные деформации и геометрическую нелинейность. Наряду с геометрическими нелинейностями для расчета критических параметров потери устойчивости и поведения конструкции при флаттере в ряде случаев важен учет неупругих свойств материалов и аэродинамических нелинейностей. Учет нелинейных факторов позволяет, в частности, обнаружить статические и динамические формы потери устойчивости при немалых возмущениях, которые могут реализоваться при меньших значениях сжимающих нагрузок и скоростей потока, чем те, которые получаются на основе линейной теории. В тонкостенных конструкциях конечные прогибы вызывают растягивающие усилия в срединной плоскости. Так, рассматривая в качестве модели обшивки бесконечно длинную пластину, лежащую на упругом основании и обтекаемую газом, приходим к уравнению [c.523]

Рассмотрим несколько ярких примеров проявления резонанса. В главе 2 описан резонатор Гельмгольца как цример гармонического осциллятора. Напомним, что для него при использованных допущениях можно считать всю кинетическую энергию сосредоточенной в слое воздуха, движущемся в горлышке резонатора, а потенциальную энергию, связанной с упругой деформацией воздуха, заключенного в широкой части резонатора (аналогия с пружинным маятником). Потери в резонаторе Гельмгольца связаны с трением в отверстии резонатора и излучением звука. Будем как обычно хараетеризовать их слагаемым 2ух в уравнении линейного осциллятора, Если поместить резонатор Гельмгольца в гармоническое звуковое поле с частотой и и амплитудой давления Р,, то в нем возникнут вынужденные колебания с амплитудой [c.97]

Уравнение (6-8) описывает петлю гистерезиса знак плюс отвечает восходяшей ветви петли, знак мппус — нисходящей ветви. При Бо = onst (гармонические колебания) петля представляется эллипсом при равномерно изменяющемся во уравнение (6-8) описывает эллиптическую спираль. Коэффициент ум, входящий в уравнение (6-8), для некоторых материалов зависит от амплитуды о относительной деформации, для других — не зависит. В общем случае эту зависимость можно представить в виде суммы [c.185]

Сила упругости характеризуется коэффициентом жесткости пружин К и амплитудой А колебаний массы корпуса, вызывающей деформацию пружин. Эта сила выражается произведением КА и всегда направлена против движения колеблющейся массы. Сила сопротивления мало влияет на режим работы машины и поэтому ею можно принебречь. С таким допущением уравнение динамического равновесия трех действующих в системе сил запишется в виде [c.313]

На рис. 4.2 представлены зависимости испшное напряжение— истинная деформация, полученные нами при растяжении образцов из коррозионно-стойкой стали 12Х18Н10Т при различной амплитуде ультразвуковых напряжений. Предположим, что при воздействии ультразвуковых колебаний связь напряжения текучести со степенью деформации описывается уравнением [c.144]

Пфемещение х(/) приведенной к опорному узлу массы тар, составить дифференциальное уравнение незатухающих свободных колебаний системы и определить приведенную массу /я р, круговую частоту /с, период т и амплитуду А свободных колебаний, закон движения массы тар (решение дифференциального уравнения). Начальные условия при /о = О перемещение д о = - Хо, где Хо - статическая деформация упругого контакта бурового става с породой начальная скорость 0 = 0. Вязким сопротивлением демпферов Д пренебречь. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...