Пространственно-временные случайные поля

Случайные функции U (/) времени t называют случайными процессами. Область изменения аргумента t, как правило, совпадает с действительной прямой Г = = (—оо, оо). При рассмотрении задач с начальными данными будем в качестве этой области брать полупрямую Т = (О, оо). Случайные функции U (х) координат х = = (Xi.....х ) евклидова пространства называют случайными полями. Случайные функции времени i и координат х называют либо пространственно-временными случайными процессами, либо пространственно-временными случайными полями. Далее будем называть эти функции случайными полями. Совокупность случайных функций Ui (i),. .., U (f) называют п-мерным случайным процессом или векторным случайным процессом в пространстве R". Если в контексте встречаются векторные или тензорные величины, то во избежание недоразумений рекомендуется применять первый термин. Реализации (выборочные значения) случайных функций будем обозна- [c.268]

Моментные функции случайного поля. Рассмотрим ft-мерное векторное пространственно-временное случайное поле U (х, f) (рис. 2). Система моментных функций порядка г (г = 2,. ..) поля U (х, t) образуется путем перемножения реализаций его компонентов при различных значениях координат х и времени t и осреднения по множеству реализаций [c.278]

Взаимные корреляционные функции пространственно-временного случайного поля. Моментные функции порядка г центрированного поля и (х, ) = и (х, f) — (U (х, t)) называют центральными моментными функциями, а моментные функции второго порядка — корреляционными функциями. Совокупность корреляционных функций Kjh (х, t X, f) образует тензорное поле удвоенного числа переменных X, t, х, t. [c.278]

Рис. 2. К определению понятия пространственно-временного случайного поля

Стационарные пространственно-временные случайные поля. Здесь и ниже ограничимся рассмотрением скалярного поля Поле U (х, i), t е. (—оо. оэ) называется стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются во времени. Моментные функции порядка / > 1 зависят от разностей t — t, f — t и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Стационарное пространственно-временное поле и (х, t) называют эргодическим, если одна его достаточно продолжительная реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах поля. В этом случае моментные функции определяют путем осреднения соответствующих произведений сначала по времени, а затем по множеству реализаций. [c.278]

Спектральное разложение стационарных пространственно-временных случайных полей. Рассмотрим случай канонического интегрального разложения типа (19), [c.278]

Однородные пространственно-временные случайные поля. Поле /У (х, (), заданное во всем пространстве R , называют однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы координат. Моментные функции порядка г > 1 зависят от разностей координат р = х — х, р" = х" — х и т. д Если однородное поле является эргодическим, то осреднение по множеству реализаций может быть заменено осреднением по всему пространству. [c.279]

Применение теории надежности к распределенным упругим системам. Общие принципы теории надежности могут быть распространены на распределенные системы [12], в которых векторами качества будут некоторые функции координат и времени (пространственно-временные случайные поля), а пространство V будет функциональным. Приближенные оценки (18) и (19) функции надежности справедливы и в этом случае, если число выбросов N (t) трактовать определенным образом. Например, пусть V (х, () — скалярное поле, и условие качества задается в виде v (х, () < [c.326]

Аналогичные представления вводят для двумерных и трехмерных пространственно-временных случайных полей, при этом используют обозначения для координатного вектора х и вектора волновых чисел к [c.174]

Пространственно-временные случайные поля [c.50]

В дальнейшем не будем делать формального различия между пространственными координатами и временем и ограничимся случаем однородных случайных полей. Алгоритмы моделирования случайных полей, как правило, являются обобщением соответствующих алгоритмов моделирования случайных процессов на случай т переменных. [c.281]

Случай однородных и стационарных пространственно-временных полей. В случае, когда нагрузка f (х, t) и вибрационное поле и х, I) являются центрированными однородными и стационарными случайными функциями, их можно представить в виде интегральных канонических разложений [c.314]

X е Q. Тогда N (t) равно числу выбросов поля v (х, f) за уровень в пространственно-временном цилиндре = Q X [О, (]. В свою очередь, математическое ожидание числа выбросов может быть выражено через математические ожидания числа критических точек поля V (х, ) в Q . Существует подход к оценке надежности распределенных систем, основанный на представлении вектора качества в виде ряда по некоторым координатным функциям с коэффициентами — случайными функциями времени. В результате оценка функции надежности сводится к вычислению среднего числа выбросов из области в конечномерном пространстве. [c.326]

Если случайное стационарное поле q х, t) является однородным, то для его описания может быть использовано пространственно-временное преобразование Фурье [c.174]

Структурные и спектральные функции случайных полей. В общем случае при статистическом моделировании турбулентности в атмосфере приходится иметь дело со случайными функциями пульсирующих термогидродинамических параметров, зависящими от трех пространственных координат и времени. Рассмотрим сначала локально однородные в некоторой области С, т.е. инвариантные относительно сдвигов пары точек Го и Го + г, случайные поля [c.285]

В данной главе проанализированы пространственные и временные многоточечные характеристики случайных полей напряжений, создаваемых дефектами кристаллического строения, такими, как бесконечные прямолинейные дислокации, дислокационные петли, точечные дефекты и другие, при различном характере их распределения в кристалле. В главе получено выражение для характеристического функционала и кумулянтных функций случайного поля напряжений, создаваемого движущимися дефектами кристаллического строения, которые произвольно распределены в кристалле в начальный момент времени и имеют различную, случайно распределенную мощность . [c.167]

Для движения дефекта, носящего марковский характер, выведены общие соотношения, которые связывают пространственные и временные характеристики случайного поля. [c.167]

Аналогично можно вычислить пространственную и пространственно-временную спектральную плотности взаимной корреляционной функции различных компонент случайного поля напряжений точечных дефектов. [c.178]

Для дальнейшего нам будет удобно сразу же указать, как теперь понимается осреднение в теории турбулентности. В статистической гидромеханике принимается, что гидродинамические поля турбулентного течения представляют собой случайные поля в смысле, принятом в теории вероятностей. Иначе говоря, каждая конкретная реализация такого поля рассматривается как некий представитель , извлеченный из статистического ансамбля всевозможных полей , характеризуемого определенной вероятностной мерой на множестве функций от пространственных координат и времени, удовлетворяющих необходимым кинематическим и динамическим условиям (вытекающим из законов гидромеханики). При этом осреднение любых гидродинамических величин можно понимать как теоретико-вероятностное осреднение по соответствующему статистическому ансамблю, и все свойства операции осреднения, наличия которых требовал Рейнольдс, оказываются вытекающими из обычных свойств вероятностного среднего значения (математического ожидания), излагаемых в учебниках по теории вероятностей. Тем самым сразу устраняются многие трудности, неизбежные при применении временного или пространственного осреднения (но, правда, реальная интерпретация результатов формальной теории требует использования некоторых предположений об эргодичности, обычных, впрочем, для статистической физики). [c.11]

Использование временного, пространственного или пространственно-временного осреднения, задаваемого какой-либо формулой вида (3.1), удобно с практической точки зрения, но приводит к большим аналитическим трудностям при теоретических расчетах. Кроме того, при использовании такого осреднения каждый раз приходится специально решать трудный вопрос о форме функции о)( , г), наиболее удобной для данной задачи. Поэтому в теории турбулентности хотелось бы вовсе не использовать осреднение такого типа, а принять вместо него какое-нибудь другое определение среднего значения, обладающее более простыми свойствами и более универсальное по своей природе. Такое более удобное определение, которое и будет все время использоваться в настоящей книге, возникает при теоретико-вероятностной трактовке полей гидродинамических величин в турбулентном течении как случайных полей. [c.169]

Заметим еще, что для возможности применения уравнений гидродинамики к случайным полям, задаваемым своими распределениями вероятности, эти распределения должны обладать известными свойствами регулярности, гарантирующими, что реализации соответствующих полей можно считать непрерывными и достаточно гладкими — имеющими все входящие в уравнения временные и пространственные производные. Предположим теперь, что распределения вероятности, относящиеся к значениям полей в фиксированный начальный момент времени (= о, удовлетворяют этим условиям регулярности. В таком случае каждая конкретная реализация гидродинамических полей течения будет закономерно изменяться во времени в соответствии с изменением во времени решения, отвечающего заданным начальным (и граничным) условиям. Следовательно, вся совокупность возможных начальных гидродинамических полей перейдет через время т > О в строго определенную совокупность функций от пространственных координат, относящуюся к моменту 1 = и + %. Отсюда вытекает, что плотность вероятности для какого-либо гидродинамического поля в момент ( можно (во всяком случае, в принципе) определить, рассчитав с помощью уравнений гидродинамики, какой совокупности начальных условий будет соответствовать тот или иной интервал значений нашего поля в момент ( и найдя вероятность этой совокупности начальных условий. [c.176]

Аналогичные рассуждения применимы и тогда, когда вместо временного осреднения рассматривается пространственное осреднение. При этом, разумеется, следует рассматривать случайные функции и ) от точки х = (л 1, хг, хз), т. е. случайные поля в трехмерном пространстве. Пространственные средние значения таких полей определяются равенством [c.200]

Выше уже указывалось, что гидродинамические поля скорости, давления, температуры и т. д. в случае турбулентных течений имеют столь сложную структуру, что их индивидуальное описание оказывается практически невозможным. Поэтому здесь приходится рассматривать сразу целую совокупность аналогичных течений и изучать лишь осредненные статистические характеристики этой совокупности, предполагая, что все рассматриваемые гидродинамические поля являются случайными полями (в смысле, объясненном в п. 3.2). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что такой подход является возможным, т. е. турбулентными мы будем называть лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений, характеризуемый определенными распределениями вероятности (с непрерывными плотностями) для значений всевозможных гидродинамических полей. Отметим в этой связи, что обычное определение турбулентных течений просто как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, еще недостаточно для возможности построения математической теории турбулентности. Если же соответствующий статистический ансамбль существует, то отвечающее ему статистическое описание гидродинамических полей турбулентности и с чисто практической точки зрения не будет неполным , так как знание всех деталей очень запутанного индивидуального поля для практики никогда не нужно, а интерес представляют, в первую очередь, средние характеристики. Правда, на практике обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние поэтому с практической точки зрения следует требовать еще, чтобы случайные поля гидродинамических величин обладали некоторыми эргодическими свойствами. Последнее условие в дальнейшем также всегда будет предполагаться выполняющимся. [c.225]

Полной характеристикой распределения дискретной примеси в фиксированный момент времени будет случайная функция области м-(У), значение которой равно массе примеси, содержащейся в пространственной области У. Эта случайная функция играет ту же роль, что и случайное поле 0(Х) в применении к непрерывно распределенной примеси (точнее говоря, является аналогом величины I 0 (Х)с Х). Функция м<(У), очевидно, является аддитивной функцией V [c.531]

В связи с этим, если известны средний квадрат давления = Rp(0,0) и корреляционная функция Кр( т), можно оп делить структурную функцию на основании уравнения (1.5). Функция D( т) удобна, для экспериментального исследования случайного поля, поскольку ее определение дает ответ о статистической стационарности этого поля (среды). В самом деле, при увеличении пространственного разделения и времени задержки (С °о и т-юо) Кр( т)- 0. В этом случае D z, О - 2Кр(0,0) = р. Поэтому, если при указанных условиях D(t, стремится к некоторому конечному пределу, равному (1.6), то можно сделать вывод о статистической стационарности исследуемого процесса. Но поскольку в реальной среде условия стационарности выполняются на ограниченных промежутках пространства— времени, то структурная функция более полно характеризует статистическую обстановку, чем корреляционная функция. С другой стороны, зная структурную функцию, можно найти корреляционную, так как с учетом D(oo)- 2Яр(0,0) [c.8]

В главах 1 и 2 книги содержатся сведения о турбулентных флуктуациях показателя преломления и методах теории распространения электромагнитных волн оптического диапазона в случайно-неоднородных средах. Специальный раздел посвящен методам решения задач на локационных трассах. В главах 3—6 излагаются результаты экспериментальных и теоретических исследований статистических характеристик поля пучков оптического излучения, распространяющегося в турбулентной атмосфере на связных трассах. Анализируются средняя интенсивность, когерентность, пространственно-временная структура флуктуаций фазы и интенсивности излучения, случайная рефракция оптических пучков в зависимости от турбулентности на трассе и параметров приемной и передающей оптических систем. В главах 7 и 8 рассматриваются результаты исследований распространения лазерного излучения на локационных трассах. Дается последовательный теоретический анализ влияния интенсивности турбулентности, свойств отражающей поверхности и параметров лазерного источника, отражателя и приемника на эффекты, обусловленные корреляцией встречных волн. Систематизируются результаты экспериментальных исследований распространения лазерного излучения на трассах с отражением в турбулентной атмосфере. В главе 9 описаны методы и аппаратура лазерного зондирования атмосферной турбулентности. [c.6]

Формулы (13) и (14) связывают пространственный и временной (частотный) спектры изотропного замороженного случайного поля. Условия, при которых реальные поля в турбулентной среде можно считать замороженными, будут рассмотрены в разделе Б. [c.52]

Пусть имеется векторное случайное поле /(х, г), где х — пространственные координаты, а г — временная координата. В этом случае разложение логарифма характеристического функционала в ряд Тейлора определяет кумулянтные функции случайного поля / (см. гл. 1). В частном случае, когда [c.74]

Уравнение (1.3) называется стохастическим уравнением Лиувилля, если поле / (х, — случайное ноле пространственно-временной точки х, ). [c.158]

Спектральные разложения пространственно-временных случайных полей. Простейший тип спектрального разло/кеиня имеет вид [c.278]

Второе слагаемое в левой части (6.1) характеризует нормальную реакцию упругого основания по модели Винклера. Эффект рассеяния энергии из-за внутренних релаксационных явлений в материале основания в данном уравнении не учтен. Допустим, что коэффициент упругости с (л ) представляет собой однородную случайную функцию координаты х со средним значением с (л )) = = с = onst. Внешнюю нагрузку q х, t) будем рассматривать как пространственно-временное случайное поле, частным случаем которого является детерминированное периодическое воздействие. Уравнение колебаний пластины, аналогичное (6.1), имеет вид [c.173]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Вертикальная статистическая структура поля атмосферного озона, в отличие от полей температуры и влажности воздуха, изучена к настоящему времени гораздо слабее (особенно в части параметров изменчивости и межуровенных корреляционных связей вариаций Оз в различных слоях атмосферы). Это связано с тем, что мировая сеть станций, ведущих регулярные измерения вертикального распределения озона (ВРО) с помощью шаров-зондов, создана относительно недавно (в 60-х годах), и к тому же она значительно реже сети станций температурного зондирования. Поэтому не случайно, что в последние годы для выявления особенностей пространственно-временной структуры поля озона в глобальном масштабе и до больших высот предпринимаются настойчивые попытки дополнительно привлечь также данные ракетных и спутниковых наблюдений [1.69, 1, 2, 8, 20, 21, 23, 24]. Однако единичные ракетные измерения и результаты спутникового зондирования, обладающего недостаточной точностью и малым разрешением по высоте (около 7—8 км) [10, 23], не могут еще использоваться для статистического описания тонкой структуры поля озона, и, следовательно, ее объективный анализ может быть выполнен лишь на основе данных сетевого озонозондирования. [c.139]

В триаде газ, аэрозоль, турбулентные неоднородности воздуха, определяющей оптические свойства атмосферы, последняя компонента создает случайную пространственно-временную структуру поля показателя преломления атмосферного воздуха. Эта структура характеризуется ограниченными свойствами однородности и изотропности, временными трендами. Она наиболее подвержена динамичным локальным возмущениям при изменениях текущей погодной ситуации, особенно в условиях радиационноактивного периода дневного времени. Это обусловливает необходимость широкого использования в исследованиях турбулентности методов математической статистики, в особенности таких разделов, как теория случайных функций, теория случайного поля [2, [c.10]

В разделе А при рассмотрении пространственно-временных спектров была сформулирована высказанная Дж. Тейлором гипотеза о замороженности турбулентности, которая сводилась к тому, что вся пространственная картина случайного поля / (г) двпжется со средней скоростью вотра и [c.121]

Одной из наиб, полных характеристик поля, определяемых экспериментально, является функция пространственно-временного распределения числа отсчётов р(п,Т) — вероятность реализации точно п фотоотсчётов в интервале времени Т. Эта характеристика содержит в себе скрытую информацию о корреляторах пронз-вольно высоких порядков. Выявление скрытой информации, в частности определение ф-ции распределения интенсивности излучения источником, составляет предмет т. н. обратной задачи счёта фотонов в К- о. Счёг фотонов —эксперимент, имеющий принципиально квантовую природу, что отчётливо проявляется, когда интенсивность I регистрируемого поля не флуктуирует. Даже в этом случае его действие вызывает случайную во времени последовательность фотоотсчётоа с Пуассона распределением [c.294]

При пространственно-временном сближении точек 1 и 2 случайные световые поля Vi t) и V. t), образованные наложением полей множества элементов источника о (в общем случае независимых), становятся всё более подобными и в пределе тождественными, чему соответствует полная взаимная когерентность, т, е. lYii(0)l=l По мере взаимного удаления точек 1 и 2 корреляция между процессами и падает, т. к. поля элементарных излучателей для точек 1 i 2 суммируются теперь с разл. амплитудами и фазами из-за разности расстояний до этих точек. Различие во временах т также приводит к снижению корреляции ввиду конечной ширины спектра излучения. При этом конкретные механизмы потери корреляции могут быть различными. Напр., если излучателями служат идснтич- [c.395]

По степени отхода от локальной теории существующие варианты Н. к. т. п. можно разделить на два класса. К первому, физическому , классу относятся нелокальные схемы, к-рые основаны на нестандартных пространственно-временных представлениях, лишающих смысла такие понятия, как поле в определ. точке пространства-времени (или сама такая точка), локальность взаимодействия, микропричинность. Это достигается приданием 4-вектору координаты смысла оператора, компоненты к-рого не коммутируют либо с оператором поля [теория Маркова — Юкавы М. А. Марков, 1940 X. Юкава (Н. Yukawa), 1956], либо друг с другом (теория квантованного пространства-времени см. Квантование пространства-времени), что приводит к неопределенностей соотношениям между полем и координатами точки пространства-времени и соответственно между самими этими координатами. К рассматриваемому классу относятся и др. схемы, напр. теория стохастич. пространства-времени, в которой координата имеет свойства случайной величины (а само пространство-время подобно турбулентной среде). [c.318]

С. п. используют при вероятностном описании флук-туац, явлений в системах с распределёнными параметрами, в частности при описании флуктуаций плотности, темп-ры, диэлектрич. проницаемости и др. параметров разл. сред, при исследовании флуктуаций эл.-магн. и звуковых волн, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, в задачах пространственно-временного приёма и обработки сигналов на фоне шумов и помех, при описании полей шумов и помех разл. происхождения, при вероятностной трактовке нек-рых результатов квантовой теории и т. д, [c.560]

Слабая Т. J)T. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на. малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым—справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)—волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. glO. В простейшем случае — это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца систсма). В более общем случае — низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример—динамика дефектов в жидких кристаллах). [c.178]

Динамическая природа турбулентности. Сделаем несколько общих замечаний о динамической природе турбулентности в нелинейной диссипативной газожидкой системе, которая может обмениваться с окружающими телами как энергией, так и веществом (в силу чего возможно образование различных пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации). При наличии турбулентности каждая индивидуальная частица такой среды движется случайно, так что ее координаты и направление движения изменяются со временем по закону марковского случайного процесса. Полное статистическое описание турбулентного течения сводится к определению вероятностной меры на его фазовом пространстве (г,/ ), состоящем из всевозможных индивидуальных реализаций характеризующих его случайных термогидродинамических полей. Поэтому турбулентность можно рассматривать на основе статистической механики многих частиц (см., напр., (Обухов, 1962)), или для ее описания использовать кинетическое уравнение, являющееся аналогом уравнения Больцмана в фазовом пространстве для некоторой условной функции плотности распределения вероятностей /турб Р О служащей основной статистической характеристикой пульсирующего движения (Клгшонтович, [c.20]

Вернемся теперь к упоминавшемуся выше важному вопросу о том, при каких условиях временные и пространственные средние значения случайного поля и , t) при неограниченном увеличении интервала осреднения сходятся к соответствующим теоре-тико-вероятностным средним значениям. При этом мы придем к некоторым специальным классам таких полей, представляющим большой интерес для теории турбулентности. [c.197]

Результат измерения параметров случайного скалярного или векторного поля, характеризуемого своими пространственно-временными статистическими характеристиками, определяется помимо приборных (систематических) погрешностей, также погрешностями, связанными с эффектами взаимодействия измерительного элемента с исследуемым полем. Так, результаты измерений временных параметров поля зависят от инерционных характеристик измерителя (тепловой инерции нити термоанемометра, собственной частотной характеристики преобразователя давления), а пространственных параметров-от соотношений масштабов измерительного прибора и исследуемого поля. Масштабы эти в зависимости от физического содержания процедуры измерения могут быть пропорциональны L", (и = 1, 2, 3). Например, измерения пульсационной компоненты скорости /, М2 или Мз зависят от соотношения между длиной термонити Ь и характерным масштабом пульсации 1и , 1и ц) или / (С) измерения пульсаций давления на поверхности обтекаемого тела определяются соотношением между площадью преобразователя 5 LlL2 и площадкой, образованной [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...