Траектория фазовая целая

Траектория фазовая целая 38, 398 Трение жидкое , вязкое, линейное [c.915]

Фазовая траектория в целом изображена на рис. VI.4, б и обозначена цифрой II. Она представляет собой свертывающуюся спираль. Другая фазовая траектория, начинающаяся в точке 0 0,045, является развертывающейся спиралью [c.294]

По этой же причине внутри целых резонансов нет вторичных резонансов, а траектории фазовых колебаний мало отличаются от эллипсов ). [c.226]

С этой целью рассмотрим сначала простейший случай двумерного фазового пространства. Пусть фазовая плоскость разделяется некоторой прямой 5 на две области Di и Dj, в каждой из которых правые части соответствующих диф( )еренциальных уравнений (4.15) являются гладкими функциями фазовых переменных. Среди всех возможных типов поведения фазовых траекторий в окрестности прямой 5 рассмотрим лишь три основных случая, которые показаны на рис. 4.9. В первом случае (рис. 4.9, с) при [c.81]

I ием Т. Эго различие не очень существенно. Во всяком случае, трудности, связанные с этим различием, значительно меньше, чем трудности непосредственного исследования фазовых траекторий в окрестности не точки, а целой кривой. На этом и основывается эффективность метода точечных отображений. [c.248]

Возьмем теперь произвольную фазовую траекторию, целиком лежащую в окрестности 6 рассматриваемой гомо-клинической структуры. Эта фазовая траектория как при возрастании, так и убывании времени вновь и вновь пересекает секущие поверхности 5i, S ,. .., причем каждые две последовательные точки пересечения связаны между собой одним из преобразований Т (i = I, 2, т) или ((г, /, k) S 3) ). Тем самым каждой фазовой траектории, лежащей целиком в окрестности ё, соответствует некоторая бесконечная в обе стороны последовательность отображений, составленная из отображений Г и L /. Целью дальнейшего изложения является изучение этого соответствия. Для этого представим бесконечную в обе стороны последовательность точек и связывающих их отображений в виде схемы [c.322]

Два типа фазовых траекторий соответствуют двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа центр с координатами у = О, X 2пп (п — любое целое число), соответствуют колебательным движениям маятника вокруг устойчивого нижнего положения равновесия, отвечающего минимуму потенциальной энергии. Особые точки / = 0, х = = (2п -- 1) л представляют особые точки типа седло, соответствующие верхнему положению равновесия маятника — максимуму потенциальной энергии. [c.24]

Все же может быть позволено сделать несколько замечаний об истолковании приведенных положений. Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля ), содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении фазовых волн , которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания. Я недавно показал ), что, рассматривая подобные стоячие собственные колебания и пользуясь законом де Бройля дисперсии фазовых волн, можно обосновать теорию газов Эйнштейна. Предыдущее изложение является в свою очередь как бы обобщением рассуждений, приведенных в связи с упомянутой газовой моделью. [c.676]

Способность системы решать подобные задачи в реальном масштабе времени можно назвать двигательной компетенцией (используя аналогию с понятием языковая компетенция [16, стр. 15]) она рассматривается как узкоспециализированная способность, не зависяш ая ни от обш его интеллекта (т. е. стратегического управления), ни от методов очувствления, ни от способов отработки реальных движений. Наличие имитаторов органов чувств типа зрения, осязания и т. п. дает лишь возможность получения и отбора информации, необходимой для построения внутренней модели внешней среды, отражающей некоторые ее свойства, важные с точки зрения проблемы построения движений. Далее, в соответствии с целями, выработанными на стратегическом уровне управления, механизм планирования движений должен построить искомое движение, т. е. вычислить траекторию в фазовом пространстве, удовлетворяющую всевозможным требованиям типа перечисленных выше. Это становится возможным ввиду наличия маневренности [6, стр. 13] или избыточности в манипуляционной системе (см. ниже, п. 9). Лишь после этого движение может отрабатываться манипулятором в реальном пространстве, причем наличие неучтенных факторов и различных неожиданностей может потребовать дальнейших модификаций плана. [c.59]

Областью притяжения асимптотически устойчивого режима называют часть фазового пространства, удовлетворяющую следующему условию любая начавшаяся в этой области фазовая траектория с течением времени приближается к началу координат, соответствующему исследуемому режиму. Областью притяжения асимптотически устойчивого движения в целом является все фазовое пространство. [c.35]

I. Рассмотрим больцмановский газ, состоящий из достаточно большого числа N частиц. Будем описывать движение газа в бЛ/ -мер-ном фазовом Г-пространстве, координатами которого являются ЗЛ декартовых координат частиц и 3N составляющих их скоростей, В этом пространстве система из N частиц изобразится точкой. Движение системы во времени изображается некоторой линией — фазовой траекторией системы. Следуя основной идее статистической механики, принадлежащей Гиббсу, будем рассматривать не одну систему, а целый ансамбль тождественных систем, распределенных по фазовому пространству в соответствии с Л -частичной функцией распределения [c.43]

Поэтому реальный ансамбль не може служить для той цели, для которой служит идеальный ансамбль в классической теории (в частности, в теории Гиббса) распределение систем реального ансамбля изменяется со временем так, что за интересующие физическую статистику промежутки времени оно делается совершенно иным, чем распределение для данной системы при том же самом, как в реальном ансамбле, начальном распределении. Если мы предположим, что системы, исходящие из начальных положений, отмеченных отображениями реальных систем на фазовое пространство данной системы, движутся по м е х а н и ч е с к о и траектории данной системы, то мы потеряем самую идею реал ь- [c.88]

Основным методом исследования, применяемым в данной работе, является метод многолистной фазовой поверхности и фазового пространства. Этот метод, разработанный академиком Андроновым А. А. и его учениками и последователями [Л. 1, 2, 4, 6—8, 11—14, 21 и 22], позволяет весьма эффективно исследовать поведение релейных систем как при переходных процессах, так и в установившихся режимах. Обычно исследование методом фазового пространства считается качественным исследованием поведения системы, позволяющим определить только характер, типы движений. Мы считаем, что этот метод, особенно в случаях, когда задача может быть сведена к плоской фазовой картине, является методом количественного исследования, т. е. методом инженерного расчета, часто приводящим к цели быстрее других методов. Это особенно ярко проявляется в тех случаях, когда для построения фазовой траектории могут быть использованы шаблоны. Изменяемость структуры линейной части релейной системы не приводит к каким бы то ни было дополнительным трудностям в применяемом методе. Более того, для рассматриваемого класса систем вообще не требуется разделения на линейную часть и релейный элемент линейной части вообще может не быть, вместо нее имеется непрерывная часть , описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.6]

У рассматриваемого класса систем, имеющих интегрирующее звено в прямой цепи, фазовые траектории на любом листе фазовой плоскости обладают одним замечательным свойством, которое позволяет получить инженерные методы расчета, весьма быстро приводящие к цели. Свойство это может быть сформулировано так. [c.28]

В этом случае периодических колебаний на фазовой плоскости имеются замкнутые траектории — эллипсы, причем для различных амплитуд колебаний на фазовой плоскости имеется целое семейство эллипсов (рис. 3,6). [c.21]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Целой фазовой траекторией называется кривая, которая описывается изображающей точкой за все время ее движения. [c.509]

I — Ентегрированве (поэтахшое) уравнений движения. II — топологическая природа траекторий в целом а — периодическое движение б — условно-периодическое движение на торе. III — локальная устойчивость (а) и локальная неустойчивость (61. IV — типы потоков в фазовом пространотпе. [c.374]

Дифференциальные уравнения решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциального уравнения на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных яений. Используем введенное выше понятие фазового пространства для представления в нем совокупности движений гармонического и линейного осцилляторов. [c.83]

Однако для теперешних целей лучше подходит вариант, в котором т-е энергетическое собственное состояние представляется не единственной траекторией, а целой полосой в фазовом пространстве. Согласно Планку, каждое состояние занимает область площадью 2тгЙ. Таким образом, простейшее определение внутренней границы такой полосы даётся орбитой в фазовом пространстве [c.228]

При наугад взятых начальных условиях Уо = О, v =0,09 находим 6о —0.018 и строим первый участок фазовой траектории до точки С1, которой соответствует VJ = o,08 (рис. 28, а). Далее вычисляем 61 =г = 0,015 из нового центра проведена вторая дуга до точки С 2, в которой = 0,07 и т. д. Фазовая траектория в целом показана на рис. 29, б и обозначена цифрой // она представляет собой свертывающ,уюся спираль. Другая фазовая траектория, начинающаяся в точке О, 0,045 является развертывающейся спиралью и обозначена цифрой /. Фазовые траектории типа I т 11 неограниченно приближаются к замкнутой траектории А, являющейся предельным циклом. По кривой А находим максимальное и минимальное отклонения системы 0,06 с.и —0,05 см. [c.271]

Чтобы построить фазовую траекторию, проходящую через данную точку А, находим указанным способом направление фазового поля в этой точке и заменяем элемент фазовой траектории в окрестности этой точки небольшим отрезком касательной, проведенной через точку А в надлежащем направлении. В конце полученного отрезка снова находим тем же способом направление поля и т. д. В результате получится приближенная фазовая траектория в виде ломаной, которую можно построить с необходимой точностью, беря достаточно малыми отрезки касательных. В некоторых случаях способ Льенара дает сразу искомую траекторию в целом и необходимость построения ломаной линии отпадает. Например, для линейного осциллятора [c.493]

Пример 3. Другим примером, в котором способ Льенара дает возможность строить фазовые траектории в целом, является система с кулоновым трением, которую мы и рассмотрим в качестве первого примера существенно нелинейной диссипативной системы. [c.493]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Вернемся к рассмотрению многомерных динамических систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями. Ранее были рассмотрены малые окрестности состояний равновесия и периодических движений. Естественным дальнейшим шагом является рассмотрение малых окрестностей нескольких фазовых траекторий, составляю-ш,их нечто целое. Одним из таких комплексов, рассмотрение которого приводит к нетривиальным результатам, является гомоклнническая структура [401. [c.314]

Качеств, особенности эволюции Д. с. проявляются в характере фазовых траекторий. Напр., состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория — точка в фазовом пространстве, периодич. движению замкнутая траектория. Траектория квазипериодич. движения с т. несоизмерилшми частотами ш, (т. е. такими, что не существует отличных от нуля целых чисел /с,, удовлет- [c.626]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Вне полосы захвата в. зависнмости от свойств автогенератора и характера воздействия могут наблюдаться след, типы колебаний а) иериодич. колебания, напр. при близости частот и (p/q)(-0 , где р, q — целые числа их образы в фазовом пространстве — предельные циклы, расположенные ири слабом воздействии на торе с числом вращения, равным д/р б) кваянпернО дич. колебания, их образ в фазовом пространство — незамкнутая обмотка тора, нанр. при несоизмеримых а )б при слабом воздействии в) стохастические колебания, их образ в фазовом пространстве — либо ст.рапный аттрактор, либо сложные устойчивые траектории. [c.59]

При уменьшении фазового объёма траектории могут стремиться к нск-рой гговерхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D = n — k, к—целое, к п. Ъ частном случае к = п это отвечает приближению к нек-рому стационарному состоянию — особой точке в Ф. п. В то же время известно, что и при f - 0 может существовать предельное множество (аттрактор), мера к-рого имеет размерность d> 1 (как правило, дробную, т. и. фрактальную размерность). Такая ситуация реализуется, напр., когда Ф. п. содержит странный аттрактор. Объект с такими свойствами всегда содержится в системе Лоренца (15) при f=10, й = 8/3, /->24,74. [c.268]

Особое место среди эргодич. теорем занимает мультипликативная эргодическая теорема В, И. Оселедеца (1968), играющая важную роль в приложениях Э. т. Как и классич. эргодич. теоремы, она описывает, поведение ф-ций, заданных на фазовом пространстве ДС, вдоль типичных траекторий. Однако на этот раз речь идёт не о скалярных, а о матричных ф-циях, значения к-рых вдоль траектории не складываются, а перемножаются. Если на фазовом пространстве X, ц) каскада Г задана измеримая ф-ция М со значениями в множестве квадратных матриц к-го порядка, то для любого xsX и любого целого / О естественно рассмотреть произведение М, х) = М(х)М(Т х)... М(Т х). Аналогом индивидуальной эргодич, теоремы служит утверждение, что при условии [c.627]

Создание в последние десятилетия теории катастроф [275] и открытие Фейгенбаумом [188, 276] скейлингового закона эволюции нелинейных динамических систем, испытывающих бифуркации, стимулировали новую волну исследований математической гармонии природы. Один из фундаментальных результатов теории катастроф состоит в доказательстве универсальности небольшого числа пространственных образов фазовых траекторий динамических систем самой различной природы. Это вместе с законом Фейгенбаума позволило выявить еще целый ряд важных математических закономерностей процессов эволюции. Все это дало возможность по-новому взглянуть на давно известные закономерности, и в частности на филлотаксис. [c.152]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Аналогичные рассуждения применимы и к трехмерному интегральному тору и приводят к его бифуркациям как целого типов Л +1 и ]У 1. Однако теперь уже с ростом размерности все большую роль могут приобрести изменения на самом торе. Эти изменения уже сами по себе могут вызывать хаотизацию и стохастизацию движений при сохранении тора как устойчивого многообразия. В случае двумерного тора они не могут хаотизи-ровать движения на торе, но могут привести к его разрушению. К таким бифуркациям следует отнести слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений на торе (Л +1). Эта бифуркация будет рассмотрена в следующей гл. 6. Следует иметь в виду, что она не всегда ведет к разрушению тора все может ограничиться изменением числа вращения Пуанкаре фазовых траекторий на торе. Разрушение тора могут быть следствием бифуркации отдельных периодических движений на нем типов N-1 и Это Относится прежде всего к случаям, когда испытывающее бифуркацию периодическое движение не покрывает тор достаточно густо. Бифуркация типа может привести к последующему образованию гомоклинической структуры через касание интегральных многообразий 5 и 8 седловых движений, ранее лежавших на торе. [c.123]

Советские ученые значительно продвинули науку в области исследования устойчивости различных нелинейных систем автоматического регулирования главным образом благодаря трудам акад. А. А. Андронова 23 ], [24 ], а также Б. В. Булгакова [69 ], Н. Н. Баутина, А. Г. Майера, А. И. Лурье и многих др. [62]. Целый ряд задач был решен представителями этой школы методом геометрического изображения поведения системы регулирования в виде траектории движения так называемой изображающей точки на фазовой плоскости. [c.23]

В условиях неопределенных действующих со стороны среды на объект возмущений управление по принципу обратной связи, по видимому, является неизбежным для достижения цели управления. Например, пусть выбрана программа управления и°( ), о р, осуществляющая движение фазового изображения объекта по желаемой траектории х ( ), и со стороны среды на объект действуют непредсказуемые и неизмеряемые возмущения В этом случае система управления в своем составе должна иметь измеряющее [c.34]

Обратимся к позиционной импульсной коррекции, которая рассчитывалась по формулам (1.19), (1.20). Ее цель — сброс фазового изображения ОТМ на особую поверхность (1.21). Пусть такая коррекция осуществляется в моменты О < 1 < 2 < < лг < Ьр Тогда при сокращении времени между последовательными коррекциями фазовая точка все чаще попадает на многообразие (1.21) и тем самым в процесс управляемого движения ОТМ вносится эффект типа скольжения вдоль особой поверхности. Свойство многообразия (1.21) быть поверхностью скольжения оьсазывается при этом инвариантным по отношению к возмущениям. Возникает вопрос, будет ли с увеличением частоты импульсной коррекции фазовая траектория ОТМ в определенном смысле стремиться к так называемому идеальному скольжению [38]. Это скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим многообразие (1.21) [c.161]

Уравнения (29) описывают движение в адиабатическом приближении [8]. Траектории системы (29) называются адиабатическими траекториями. В адиабатическом приближении Iu,v = onst. Это приближение становится неприменимым в окрестностях резонансных поверхностей в фазовом пространстве, где выполняется условие резонанса = О ки, ку — целые числа, и 0). В точной (неусредненной) системе переменные / хорошо сохраняются в большой области фазового пространства (вдали от резонансных поверхностей, соответствующих резонансам низкого порядка). Вблизи резонансной поверхности какого-либо резонанса система (27) может быть приведена к стандартному виду системы типа нелинейного маятника, аналогичной (8). [c.182]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...