Ионы Шредингера

Для того чтобы вычислить энергию связи металла в приближении почти свободных электронов, необходимо, решив уравнение Шредингера с учетом электрон-ионных и электрон-электрон-ных взаимодействий, найти энергетический спектр электронов, а затем просуммировать энергии электронов по всем занятым энергетическим состояниям. В этом случае энергия, приходящаяся на один электрон, будет иметь вид [c.115]

Ион молекулы водорода. В приближении Борна - Оппенгеймера для иона молекулы водорода можно получить точное решение уравнения Шредингера. Пользуясь обозначениями, показанными на рис. 92, в, можно записать уравнение Шредингера в виде [c.305]

В действительности тонкая структура линий водорода и сходных с ним ионов может быть объяснена лишь при одновременном учете поправок на принцип относительности и на магнитные (спиновые) свойства электрона. Приведенная выше форма уравнения Шредингера не удовлетворяет требованиям принципа относительности. Благодаря этому она ведет к простому выражению для энергии стационарных состояний атома водорода и сходных с ним ионов [c.123]

В квантовой механике указанная модель атома щелочного металла и сходных с ним ИОНОВ сохраняется для состояний с не слишком малыми I. В соответствии с этим энергии стационарных состояний могут быть найдены с помощью уравнения Шредингера (4) 18, в котором лишь потенциальная энергия и будет иметь другое значение, чем для атома водорода. Считая, что поле поляризованного атомного остова можно представить как поле точечного заряда с наложенным на него полем диполя, приближенно получим, что [c.132]

Но уравнения (7) и (7а) совпадают с уравнением Шредингера для водорода или сходных с ним ионов ( 20). Это приводит нас к выводу в нулевом приближении собственная функция ф для системы двух электронов, движущихся в поле ядра, равна произведению собственных функций уравнений. Шредингера, написанных для каждого из электронов в отдельности, а их энергия равна сумме энергий каждого из электронов, движущихся в поле ядра в отдельности. Таким образом, в нулевом приближении задача [c.148]

Резюмируя, имеем состояния атомов и ионов с двумя валентными электронами распадаются на два типа состояний с отличными друг от друга значениями энергии. Одно из них (5 = 0) соответствует симметричному решению уравнения Шредингера в нулевом приближении второе (5=1) — антисимметричному решению. Энергетические уровни этого последнего состояния расщеплены на Три (кроме S-состояний) из-за спинового взаимодействия. Смещение, вызван- [c.158]

Для расчета энергетических спектров электронов обычно используется одноэлектронное приближение, т. е. предполагается, что каждый электрон движется в силовом поле ионов и всех электронов (кроме рассматриваемого), а индивидуальные парные взаимодействия не учитываются даже между ближайшими соседями. Эти взаимодействия включены в среднее поле. В таком случае решением уравнения Шредингера в кристалле с периодическим потенциалом кристаллической решетки являются функции Блоха, а собственные значения энергии электронов образуют энергетические полосы (рис. 1.4). Число уровней в каждой полосе определяется числом атомов в решетке, вследствие чего образуются практически непрерывные энергетические зоны. Согласно принципу Паули на каждом уровне зоны находится только два электрона (с противоположным значением спина), при этом при температуре 7=0 К электроны в зонах занимают состояния с минимальной энергией. [c.13]

Уравнение Шредингера для движения электронов в простейшей молекуле, например в молекулярном ионе Н , в атомных единицах имеет вид [c.21]

Собственные значения и волновые функции уравнения Шредингера для иона Hj (см. задачу 3.18) нельзя получить в конечном виде. Тем не менее возможно установить количественную связь между энергиями электронов, соответствующими иону Н , и энергиями, соответствующими или единому атому , в котором два протона сливаются, или разделенным атомам , у которых один из протонов удален в бесконечность. Для этих двух случаев хорошо известны спектры, подобные спектру водорода, поэтому таким образом можно кое-что узнать и об электронной структуре молекулы. [c.21]

Для полного описания разрешенных электронных состояний в кристалле потребовалось бы решить уравнение Шредингера для очень большого числа частиц — ионов и свободных электронов. Другими словами, нужно найти квантовомеханическое реше-йие задачи многих тел. Эта проблема необычайно трудна и до настоящего времени не решена. Чтобы сделать ее разрешимой, принимаются некоторые допущения. Прежде всего, поскольку нас интересуют главным образом свободные электроны, мы можем принять, что ионы покоятся в своих положениях равновесия и что решетка идеальна, т. е. не содержит дефектов. Во-вторых, кристалл предполагается бесконечно большим, так что можно не учитывать никаких поверхностных эффектов. [c.65]

Для того чтобы теоретически определить возможные стационарные энергетические состояния системы частиц (атома, молекулы или их ионов), а затем по ним рассчитать спектры или термодинамические функции, необходимо составить оператор Гамильтона Я и решить уравнение Шредингера (3.5). При этом должны одновременно получаться не только собственные значения полной энергии системы Е = Е, Е2, Ез. .. Ek, но и соответствующие им собственные волновые функции il) = l3i, vp2, определяющие возможные стационарные варианты распределения частиц (электронов и ядер) в пространстве, т. е. электронную и ядерную плотность в атомах и молекулах. Однако точно в аналитическом виде уравнение Шредингера (3.5) решается только для одноэлектронной системы атома водорода и некоторых простейших модельных систем, например, гармонического осциллятора, жесткого ротатора и немногих других. Поэтому обычно квантовомеханические уравнения для реальных систем реша- [c.18]

Как уже отмечалось, решение уравнения Шредингера для такой системы частиц дает собственные волновые функции и собственные значения энергии атома , однако точно в аналитической форме это мол<но сделать только для атома водорода и одноэлектронных ионов Не +, Е12+, Ве + и т. д. Уравнение Шредингера в этом наиболее простом случае имеет вид [c.20]

В случае многоэлектронных атомов и ионов резко возрастает сложность решения уравнения Шредингера, которое принимает вид [c.22]

Наличие в молекуле двух или более положительно заряженных ядер существенно усложняет рассмотрение поведения системы заряженных частиц. Если в атоме с помощью квантовой механики рассматривается распределение вероятности нахождения электронов в поле только одного ядра, то в случае молекулы необходимо рассматривать как распределение вероятности нахождения электронов в поле двух или большего числа ядер, так и вероятность нахождения ядер в пространстве относительно заданной системы координат. Для молекулы уравнение Шредингера (3.5) настолько усложняется, что его точное аналитическое решение воз.можно только для простейшей двухатомной молекулы — иона Нг при фиксированных ядрах. Для того чтобы определить все возможные стационарные состояния молекулы с большим числом электронов, приходится искать те или иные приближенные методы решения. [c.25]

Предположим, что отдельный ионный центр рассеивает электрон из состояния к в состояние р. Будем рассматривать только такой случай, когда рассеяние упругое, т.е. электроны могут переходить из одного состояния в другое только с одной и той же энергией. Расчеты выполняем довольно просто при помощи нестационарной теории возмущения Дирака. Таким образом, напишем зависящее от времени уравнение Шредингера [c.57]

Двукратная ионизация атома гелия теоретически рассматривалась также в работе [9.47] для того же диапазона интенсивности поля. В от личие от предыдущей работы, не использовалось приближение одного активного электрона. Однако была взята одномерная модель атома гелия, и это позволило численно решить временное уравнение Шредингера для двух электронов в поле ядра гелия и внешнего поля лазерного излучения. Результаты численного расчета также воспроизводят плечо в выходе двукратно заряженных ионов гелия (также при линейной поляризации). [c.242]

Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с ионом, находящимся в узле п, описывается функцией W r — n), и мы знаем решение уравнения Шредингера [c.136]

Рассмотрим вначале электронно-дырочную пару (экситон), локализованную вблизи положительного заряженного-примесного центра. В связанных состояниях большого радиуса, которые мы будем исследовать, положительный ион можно считать точечным Предположим далее для простоты, что энергетические зоны электронов и дырок параболические с экстремальными точками при к==0. Тогда в приближении эффективной массы электрон и дырка вблизи положительного иона бесконечной массы и единичного заряда е в кристалле с диэлектрической проницаемостью е будут описываться уравнением Шредингера (без учета спинов) [c.323]

Уравнения (2.1) —(2.6) являются основой для квантовомеханической трактовки большинства свойств твердых тел. Следуюш,им шагом является переход от функции к оператору Гамильтона. В координатном представлении оператор Гамильтона зависит от координат всех электронов и ионов. Соответственно волновая функция, на которую действует оператор Я, будет тоже функцией всех этих координат. При такой форме оператора Гамильтона спин не может быть последовательно учтен (см. следующий параграф). Однако для большинства проблем, которые мы будем рассматривать, достаточно нерелятивистского уравнения Шредингера без членов спин-орбитального взаимодействия. [c.19]

Оно обосновывается следующим образом. Электроны и ионы обладают сильно различающимися массами. Ионы будут медленно реагировать на изменение электронной конфигурации, тогда как электроны будут адиабатически перестраиваться при изменении положения ионов. Таким образом, на движение электронов влияет только мгновенная конфигурация ионов. Тогда в качестве первого приближения уравнение Шредингера для электронов может быть [c.20]

Обоснование выражения (2.10) также сомнительно. Уравнение Шредингера (2.9) в качестве решения имеет не одну собственную функцию ij), а полную систему собственных функций Выражение (2.10) надо было бы записать в виде разложения по этим собственным функциям. Если ограничиться одной волновой функцией, то теряются все переходы в системе электронов, вызванные движением ионов, т. е. как раз взаимодействие между обеими системами. Приведенные замечания лишь показывают, что уже такое первое приближение ставит вопросы, которые требуют более точ- [c.21]

Уравнение (3.6) есть одночастичное уравнение Шредингера — уравнение Хартри. Оно описывает электрон (/) с координатой г в поле с потенциалом V (г) ионов решетки и в кулоновском поле с потенциалом среднего распределения всех остальных электронов к Ф У). Параметры Лагранжа Е приобретают значения одноэлектронных энергий. Мы еш,е вернемся к этому вопросу. Обсуждение самого уравнения мы также откладываем. [c.23]

В 17 и 19 мы подошли к зонной модели, рассматривая брэгговское отражение. Непрерывный спектр Е (Л) свободных электронов в периодическом поле ионов решетки расщепляется на зоны. В 19 наше рассмотрение было ограничено случаем слабых потенциалов. Только в этом случае можно считать V г) в уравнении Шредингера малым возмущением. В этом приближении зонная структура вытекает из решения секулярного определителя в первом приближении теории возмущений [c.124]

В рассмотренных до сих пор элементарных возбуждениях мы в большинстве случаев не учитывали спин электронов и ионов решетки. Кроме краткого обсуждения влияния спин-орбитального расщепления на зонную структуру твердого тела в 28, спин учитывался нами только в принципе Паули. Принцип Паули ответствен за обменное взаимодействие ( 3), которое было в общем виде принято нами во внимание в одноэлектронном уравнении Шредингера. Однако спином ионов решетки мы еще не занимались. Если ионы решетки обладают спином, то и в этой спиновой системе из-за обменного взаимодействия возможны коллективные возбуждения, которые называются спиновыми волнами. Относящиеся к ним кванты называются магнонами. [c.157]

Среди проблем, сводящихся к уравнению типа (11.25), упомянем еще движение электрона в поле ионной решетки в кристалле. Волны электронной плотности описываются уравнением Шредингера с периодическим потенциалом [c.232]

Волновые функции электронов сердцевины также удовлетворяют этому уравнению с тем же потенциалом V (г). Как и раньше, мы будем различать состояния сердцевины по их индексам / и /, обозначающим квантовые числа и позиции ионов. Тогда уравнение Шредингера для волновых функций электронов сердцевины запишется в виде [c.112]

Рассмотрим для определенности изолированный атом серебра. Мы будем изучать электронные состояния с -симметрией, основываясь на методе самосогласованного поля. Таким образом, мы можем записать уравнение Шредингера для радиальной функции (2.51) при I = 2. Можно получить собственные состояния, интегрируя уравнение Шредингера при различных энергиях, исходя из начала координат и отыскивая такие решения и энергии, чтобы получающиеся волновые функции обращались в нуль на бесконечности, т. е. были бы нормируемыми. В атоме серебра двумя такими интересующими нас состояниями служат 3d- и 4( -состояния. Это изображено на фиг. 62, а вместе с суммой потенциала и центробежного слагаемого. Мы схематически изобразили также результат интегрирования уравнения Шредингера при энергии, лежащей между энергиями этих двух состояний. Получающаяся волновая функция на больших расстояниях нарастает экспоненциально. Мы изобразили, наконец, результат решения уравнения Шредингера при энергии, большей Eid (фактически большей энергии ионизации атома). Отвечающие положительным энергиям волновые функции на больших расстояниях осциллируют и имеют асимптотическую форму (2.50). Они отвечают состояниям рассеяния электронов, падающих на атом или ион серебра. [c.212]

Рассматривая колебания решетки, мы с самого начала ввели феноменологически совокупность констант взаимодействия между атомами. Соответствующие силы можно в принципе определить из уравнения Шредингера для электрон-ионной системы. Были предприняты попытки таких расчетов для кристаллов из атомов инертных газов, ионных кристаллов, простых металлов и полупроводников. Однако только для металлов такого рода расчет является в определенном смысле полным, поскольку в данном случае подход на основании теории псевдопотеициалов наиболее естествен. Сначала мы обсудим простые металлы и сформулируем в общем виде задачу о расчете свойств, зависящих от изменения полной энергии при изменении конфигурации ионов. Колебания решетки являются, конечно, одним из таких свойств. [c.479]

В гл. 9 и 10 мы исследовали приближенные решения одноэлектронного уравнения Шредингера, получаемые в предельных случаях почти свободных электронов и сильной связи. На практике приближение сильной связи (по крайней мере в том простом виде, как оно было сформулировано в гл. 10) пригодно только для описания зон, порождаемых уровнями ионного остова, а приближение почти свободных электронов не может быть прямо применено ни к одному реальному твердому телу ). Поэтому цель настоящей главы — изложить более общие методы, которые действительно применяются при расчете конкретных зонных структур. [c.195]

Фактически в приближении независимых электронов не полностью пренебрегают электрон-электронными взаимодействиями. Скорее предполагают, что большинство наиболее важных эффектов можно учесть путем разумного выбора периодического потенциала V (г), входящего в одноэлектронное уравнение Шредингера. Таким образом, V (г) содержит не только периодический потенциал ионов, но также и периодические эффекты, обусловленные взаимодействием данного электрона [волновая функция которого входит в (11.1)] со всеми другими электронами. Последнее взаимодействие зависит от взаимного расположения других электронов, т. е. зависит от их индивидуальных волновых функций, которые также определяются уравнениями Шредингера [c.195]

Зонная теория [13, 14]. Трудно ожидать, что представление о свободных электронах будет одинаково хорошим приближением для всех металлов. Соотношение (8.6), определяющее уровни энергии, справедливо лишь для частицы в поле с постоянным потенциалом, тогда как на самом деле потенциальная энергия электрона в металле не постоянна, а зависит как от строения иоиной решетки, так и от состояний других электронов. Определение ее точного вида приводх1т к задаче самосогласованного поля, подобной рассмотренной Хартри. Решение Зоммерфельда, исходившего из предположения о постоянстве потенциала, является, по сути дела, первым приближением к решению такой задачи. Второе приближение можно построить, предполагая, что потенциал, обусловленный самими электронами, постоянеп, и учитывая в уравнении Шредингера лишь иоле положительных ионов решетки. Для приближенного решения соответствующего уравнения Шредингера были предложены различные методы, позволяющие провести хотя бы качественное обсуждение поведения электронов в реальных металлах. [c.324]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Возможность ФП типа диэлектрик — металл была теоретически предсказана jMottom при анализе применимости зонной теории электронных спектров твердых тел, в которой обычно используется одноэлектронное приближение, т. е. предполагается, что каждый электрон движется в силовом поле ионов п всех электронов (кроме рассматриваемого), а парные взаимодействия не учитываются даже для ближайших соседних электронов (эти взаимодействия включены в среднее поле, см. 1.1), В одноэлектронном приближении решением уравнения Шредингера в кристалле являются функции Блоха, а собственные значения энергии образуют энергетические полосы. Число уровней в каждой полосе определяется числом атомов в решетке, вследствие чего образуются квазинепре-рывные энергетические зоны, заполнение которых определяется принципом Паули (см, 1.1, рис, 1.3). Вещества, у которых в основном состояни нет частично заполненных зон, относятся к диэлектрикам и полупроводникам полу.метал-лы и металлы, напротив, характеризуются наличием частично заполненных зон (см, рис. 1.5). [c.114]

Для щелочных металлов с ОЦК структурой каждая ячейка содержит один положительный ион и один валентный электрон. Ячейки электрически нейтральны, и энергия их электростатического взаимодействия друг с другом мала по. сравнению с энергией взаимодействия электрона с ионом в ячейке. Поэтому в формуле (1.67) вторым и третьим членами можно пренебречь. Для нахождения первого члена решают уравнение Шре-дингера для электрона, двигающегося в центральном поле иона с потенциалом V r). Это поле сферически симметрично почти во всем объеме кубооктаэдра, который заменяем равновеликой ему по объему сферой радиуса Гз. Соответствующее решение уравнения Шредингера аналогично решению (1.10) с той толь- [c.44]

Эдвардс [2] (см. также работу Кьюзака [102]) основывает свои выводы, которые далеко не являются строгими, на частичном суммировании возмущенного ряда. Преимущество его теории в том, что при вычислении электронных энергетических состояний можно получить сведения о структурном факторе 5 (К) и потенциале рассеяния с единым центром для иона с электронной оболочкой. Таким образом, можно создать теорию электронных состояний с помощью тех же основных величин, которые были использованы в нашем расчете для жидких металлов (см. предыдущие главы). Попытаемся непосредственно изучить волновые функции отдельных электронов. Выведем уравнение Шредингера для электрона, движущегося в поле ионов, с координатами их положения Яг, причем ионы возбуждаются локализованными потенциалами 1 г( )- Запишем [c.96]

Важным подтверждением применимости результатов работы [1.14] для атомов явилось обнаружение процесса туннельной ионизации атомов инфракрасным лазерным излучением (ш ос 0,01 ) при F< FaH7< lB работе [1.15]. Наконец, относительно недавно результаты нескольких теоретических и экспериментальных работ с достаточно высокой точностью показали, что соотношение для параметра адиабатичностн (1.5) соответствует границе между много фотонной и туннельной ионизацией атомов. Теоретически это было выяснено путем численного решения уравнения Шредингера для атома водорода (см., например, [ 1Л 6]), а экспериментально путем наблюдения критического значения интенсивности излучения (при фиксированной его частоте), соответствующего исчезновению резонансных максимумов в выходе ионов, обусловленных возникновением промежуточных резонансов (см., например, [1.17]). Действительно, в процессе туннельной ионизации резонансы не возникают, так как электрон в процессе туннелирования через потенциальный барьер не оказывается в той области энергий, где расположены его связанные возбужденные состояния. Рис. 1.4 иллюстрирует результаты эксперимента [1.17" [c.18]

Резюме о многоэлектронной многофотонной ионизации. Из материала, приведенного выше, видно, что вопрос о реализации мно гоэлектронного многофотонного процесса образования многозарядных атомарных ионов остается на данный момент открытым. В области тео ретических и экспериментальных исследований этой проблемы имеется большое поле деятельности. В области теории весьма перспективным представляются расчеты в рамках нестационарной теории возмущений, аналогичные расчетам, проведенным в работе [8.35], но для малофо тонных процессов образования двухзарядных ионов щелочноземельных атомов. При этом привлекает модель Ванье [8.34], так как и различные эксперименты, о которых речь уже шла выше, и теоретический анализ 8.39] показывают, что существенную роль должны играть высоковозбужденные состояния. Это обстоятельство обуславливает возможность одновременного отрыва нескольких электронов, как следует из расчетов, выполненных в рамках модели Ванье [8.40]. Надо также отметить, что в рамках модели Ванье возможно решение уравнения Шредингера в квазиклассическом приближении [8.4Г. [c.223]

Как известно, это выражение представляет собой гамильтониан системы невзаимодействующих гармонических осцилляторов [19]. Гамильтониан (3.10) можно рассматривать в представлении Шредингера, так же как мы рассматривали гамильтониаи электрон-ионной системы, т. е. заменяя импульс (Й/г) однако нам это не потребуется. Поскольку гамильтониан излучения имеет вид (3.10), невозмущенная волновая функция поля излучения равна произведению волновых функций гармонических осцилляторов [c.22]

Уравнение (2.2) не является адекватным в качестве исходного. Мы не интересуемся движением отдельного электрона в поле иона и его окружения. Напротив, следует рассмотреть все электроны атома, по крайней мере — электроны в недостроенных оболочках. С этой целью прежде всего выписываем точно все описывающие взаимодействия члены гамильтониана. Ибо, даже если внутрикри-сталлическое поле рассматривается лишь в качестве малого возмущения, для облегчения выбора адекватного подхода к реншнию уравнения Шредингера необходимо прежде всего оцепить порядок величины вкладов отдельных членов гамильтониана. [c.78]

Как и в случае свободных электронов, при рассмотрении проводимости, обусловленной блоховскими электронами ), возникают два вопроса а) Какова природа столкновений б) Как движутся блоховские электроны в промежутках между столкновениями Полуклассическая модель касается лишь второго вопроса, но теория Блоха критическим образом затрагивает и первый из них. Друде предполагал, что электроны сталкиваются с неподвижными тяжелыми ионами. Это нрэдположвпие несовместимо с очень большими длинами свободного пробега, возможными в металлах, и не позволяет объяснить наблюдаемую их зависимость от темперятуры (см. стр. 23). Теория Блоха исключает такое допущение и из теоретических соображений. Блоховские уровни — это стационарные решения уравнеиия Шредингера в присутствии полного периодического потенциала ионов. Когда электрон на уровне имеет отличную от нуля среднюю скорость (а это всегда так, если величина 5ё (к)/ 9к случайно не равна нулю), эта скорость сохраняется неограниченно долго ). Мы не можем рассматривать столкновения с неподвижными ионами как механизм, обусловливающий уменьшение скорости, поскольку взаимодействие электрона с фиксированной периодической решеткой ионов полностью учтено в исходном уравнении Шредингера, решением которого является блоховская волновая функция. Поэтому проводимость идеально периодического кристалла равна бесконечности. [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...