Условия начальные системы в обобщенных координатах

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах и 2 при заданных начальных условиях. Необходимые данные приведены в табл. 59 там же указаны рекомендуемые обобщенные координаты (х и ф —обобщенные координаты для абсолютного движения, а —для относительного движения). [c.303]

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах qi = x, = (рис. 216) при начальных условиях [c.309]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Устойчивость движения. Если движение системы, определяемое решением дифференциальных уравнений при некоторых определенных начальных условиях, принять за основное или невозмущенное, например в обобщенных координатах [c.402]

Пусть системе сообщили соответствующие начальные обобщенные координаты и скоросги и она движется. При движении консервативной системы, удовлетворяющей связям, указанным в условии теоремы, справедлив закон сохранения механической энергии [c.424]

Постоянные интегрирования следует определить по начальным условиям движения системы. Установим начальные значения обобщенных скоростей и обобщенных координат. Так как в начальный момент t = 0 система находилась в покое, то начальные. значения обобщенных скоростей [c.361]

Величина периода определяется только свойствами колеблющейся системы, т. е. коэффициентом инерции а и жесткостью с. Независимость периода колебаний от амплитуды называется изохронностью колебаний. Собственные линейные колебания, если нет возмущающих сил, могут возникнуть только при начальных условиях, неравных нулю, т. е. когда в начальный момент система имеет не равные нулю начальную обобщенную координату <7о или начальную обобщенную скорость ро. [c.397]

Условимся обобщенные координаты q , q. ,...,qn отсчитывать от положения равновесия системы, т. е. принимать их равными нулю в положении равновесия. Начальное возмущение системы состоит в об- [c.408]

Если из начальных условий видно, что в начальный момент времени система остается на некоторых односторонних связях, то, выбирая систему обобщенных координат, можно аналитически описать ограничения, налагаемые на движения точек системы этими связями посредством уравнений вида соотношений (II. 9Ь). Число обобщенных координат в этом случае определяется равенством [c.136]

Частота (и период) свободных колебаний системы не зависит ни от начальных условий движения (изохронность малых колебаний), ни от природы обобщенной координаты они представляют собой основные константы системы, определяемые структурой выражений кинетической и потенциальной энергий, т. е. инерционными свойствами материальной системы и характером консервативного силового поля, в котором происходит [c.482]

Совокупность равенств (113) характеризует первое главное колебание системы. Это означает, что если система с п степенями свободы совершает первое главное колебание, то все обобщенные координаты ее колеблются с одной и той же частотой ki, причем в одинаковых фазах ai и с амплитудами j kX)l n k ), зависящими только от структуры системы, т. е. от инерционных и квазиупругих коэффициентов и номера (час-тоты) главного колебания, но не от начальных условий, определяющих постоянные С и ai (изохронность малых колебаний). [c.594]

Величины и Цз. представляющие собой отношение обобщенных координат или амплитуд колебаний в каждом из главных колебаний, характеризуют формы главных колебаний и их называют коэффициентами распределения. Из выражений (19.4) следует, что формы главных колебаний системы не зависят от начальных условий и, так же как и частоты колебаний, определяются только параметрами системы. [c.84]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Изучение свободных колебаний привода связано с отысканием частных решений его математической модели, удовлетворяющих заданным начальным условиям. Линеаризованные, недиссипативные модели приводов относятся к классу консервативных систем, у которых все силы потенциальные, а связи — стационарные. Дифференциальные уравнения, описывающие движение консервативной системы в независимых обобщенных координатах qj, можно составить на основе уравнений Лагранжа [c.154]

При рассмотрении физической системы определение числа степеней свободы и соответствующих им обобщенных координат представляет иногда довольно сложную задачу, так как, строго говоря, мы всегда имеем дело с системой, обладающей бесконечным числом степеней свободы. Для одной и той же системы может быть предложено несколько расчетных схем в зависимости от начальных условий, требуемой точности, характера действующих сил и задач исследования. [c.12]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Твердое тело, находящееся в потенциальном поле сил, давно служит в качестве динамической модели или расчетной схемы при изучении динамики самых разнообразных объектов техники (спутников, гироскопических систем, систем виброзащиты, управления и т. д.). На начальном этапе многие задачи о колебаниях тел рассматривались на базе хорошо разработанного аппарата теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако представления линейной теории о колебаниях твердых тел не всегда могут соответствовать действительности, поскольку колебания твердых тел в пространстве описываются системой дифференциальных уравнений, которые содержат различные нелинейные связи между обобщенными координатами системы, отражающие действие сил различной природы, например инерционных, потенциальных, диссипативных и т. д. Наличие таких нелинейных связей при выполнении определенных условий создает предпосылки для радикального перераспределения энергии колебаний между обобщенными координатами механической системы. В этом случае динамическое поведение твердых тел может резко отличаться от того, которое ожидается согласно известным линейным представлениям, т. е. колебания тел могут иметь совершенно разные качественные и количественные закономерности в зависимости от того, имеется ли существенное перераспределение энергии или нет. Оказывается, что для указанного перераспределения необходимо наличие в системе определенных нелинейных резонансных условий [3, 4, 14]. [c.264]

В реальных условиях реализовать движение механической системы с абсолютно точными значениями начальных условий невозможно, так как всегда имеет место разброс начальных данных. Поэтому реальное движение отличается от расчетного, и возникает необходимость в оценке возможных отклонений движения от расчетного. Задача определения вероятностных характеристик движения — обобщенных координат и их первых производных — при свободных колебаниях, вызванных случайными отклонениями начальных данных, является наиболее простой. Для ее решения достаточно знать линейные преобразования случайных функций, изложенные в 2.4. [c.157]

Переходной процесс (гипотеза Е. С. Сорокина). Исследованию переходного процесса в системе с и-степенями свободы посвящена работа [4]. Для определения комплексного коэффициента передачи системы в переходном режиме необходимо решить уравнение (2.35) при нулевых начальных условиях. Если сопоставить уравнения (2.1) и (2.35), то для определения комплексного коэффициента передачи обобщенной координаты Ф](ш, t) можно воспользоваться решением (2.21). [c.74]

НОЙ ЯМЫ ) 4) при уменьшении величины энергии Е пределы изменения обобщенной координаты сближаются между собой если же в положении 5 мы положим Р = О, то Е = 1/, т. е. наша прямая будет касаться графика в его наинизшей точке, и никакое движение системы невозможно 5) наоборот — если бы начальное значение кинетической энергии было настолько велико, что прямая V = Е прошла бы, как показано на рис. 188, то тогда И только тогда обобщенная координата смогла бы ДОЙТИ до значения ди т. е. система смогла бы перейти в положение 5. Но при условиях теоремы п. 3° этот случай 5) невозможен, ибо по условию скорости всех точек равны нулю, а следовательно, и 7 =0. [c.425]

В процессе доказательства теоремы мы ввели эти возмущения начальных условий — но не для каждой координаты и скорости в отдельности, как в (15.15), а, так сказать, суммарно для всей системы в целом. Действительно, в положении 5 мы имели V = О, а в положении 5, в которое мы мысленно вывели систему, мы имеем О = Р < причем мы специально доказали в I части, что при условии V < Уо возмущения начальных координат удовлетворяет условиям (15.17), т. е. малы точно так же в положении 5 мы имели Р = О, а в положении 5 мы мысленно сообщили системе кинетическую энергию Р < < Уо—V так как правая часть мала, то отсюда следует малость начальных обобщенных скоростей, т. е. малость их возмущений. [c.433]

Для расчета непрерывных составляющих оптимальных управляющих воздействий можно воспользоваться следующей схемой, исключающей процедуру численного дифференцирования обобщенных скоростей. Отметим, что векторы скорости центров инерции элементов МТМ вычислены в терминах обобщенных координат и скоростей. Это позволяет в тех же терминах вычислить лобовые сопротивления, а вместе с ними и мощность (4.6). Подстановка полученного значения для мощности в уравнение Эйлера-Лагранжа (4.14) дает систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Решение этой системы с начальными условиями [c.181]

В работах [37а—с] развивается метод Био введения обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры, объемного расширения и роторной части вектора перемещений. Начальные условия заданы для температуры, перемещений и скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы произвольным образом путем введения дополнительных параметров они удовлетворяются приближенно. [c.241]

Напомним, что в методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные координаты и время Производные по времени от обобщенных координат (т. е. обобщенные скорости д )тоже явно входят как в лагранжиан I, так и в уравнения Лагранжа (29.2), однако, несмотря на это, переменные считаются зависимыми. Это обстоятельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Такой способ описания движения не лишен некоторых недостатков. Действительно, задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только з начальных условий, и, следовательно, для того чтобы полностью определить движение системы, требуется задать еще з [c.187]

К интегрированию этой системы уравнений приводится задача динамики в постановке Лагранжа. Само собой понятно, что в результате интегрирования уравнений (1) мы получаем обобщенные координаты 1, 2> Як как функции от времени с 2к произвольными постоянными. Эти постоянные интегрирования должны быть определены по начальным условиям задачи. Начальными условиями в данном случае являются начальные значения обобщенных координат (определяющие начальное положение системы) и начальные значения обобщенных скоростей (определяющие начальные скорости всех точек системы). Как видно, число начальных данных равно числу подлежащих определению произвольных постоянных. [c.344]

Произвольные постоянные а , З , входящие в общее решение (8), определяются по начальным данным, т. е. по начальным значениям обобщенных координат q , q ,. .., qi , и обобщенных скоростей q, q ,. .., q j . Определяя таким образом и [5 , мы получаем в общем случае сложное колебательное движение, в которое входят все главные колебания системы. Само собой понятно, что всегда можно распорядиться начальными данными так, чтобы получить любое главное колебание в чистом виде. Так, например, чтобы вызвать первое главное колебание системы, нужно выбрать такие начальные условия, чтобы было ai О, = = = = Очевидно, что в этом случае уравнения (8) обратятся в уравнения, соответствующие первому главному колебанию. [c.456]

Динамикой называется раздел, теории автоматического регулирования, в котором изучаются состояния элементов и систем при изменении во времени обобщенных координат с учетом факторов, вызывающих эти изменения. Соотношения, определяющие взаимосвязь между переменными обобщенными координатами и приложенными к элементу (системе) воздействиями, являются уравнениями динамики. Число независимых уравнений динамики должно быть равно числу переменных величин, т. е. обобщенных координат, определяющих в каждый момент времени состояние элемента или системы автоматического регулирования. Такая система уравнений будет замкнутой и при заданных начальных и граничных условиях образует математическую модель элемента или всей системы автоматического регулирования. [c.28]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Системы уравнений (9.9) и (9.12) описывают движение механической системы с голономными идеальными связями. Порядок этих систем 2и, так как каждое уравнение содержит вторые производные обобщенных координат по времени. Начальные условия движения (q(0), q(0)) определяют закон движения системы q(r) на локальной карте, а отображение (9.2) позволяет найти закон движения каждой точки гДг) в трехмерном евклидовом пространстве. [c.101]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Обобщение результатов эксперимента и моделирование. Математическое описание процесса теплообмена в общем случае складывается из системы дифференциальных уравнений (10.3)... (10.5) и условий однозначности (геометрических, физических, начальных, граничных). При аналитическом решении задачи искомая величина (коэффициент теплоотдачи — а, температура Т и т. п.) выражается в функции аргументов — независимых переменных (время т, координаты — л, у, г) и параметров системы (ц, v, X, р,. ..) Аналитиче- [c.132]

Систему S дифференциальных уравнений (125.6) называют урт-нсниями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q , q , q . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах [c.343]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

Таким образом, как правило (т. е. при произвольных начальных условиях), изменение каждой из обобщенных координат следует пол1итармоничоскому закону, причем число гармонических составляющих равно числу стеие-ней свободы системы. Отметим, что если собственные частоты неооизмеримы (как это нередко бывает в реальных задачах), то процесс, описываемый выражением [c.84]

Покажем, что при выполнении условий этой теоремы действительно oжнo найти такие начальные обобщенные координаты н скорости, при которых дальнейшее движение системы будет происходить в заданной близости к положению равновесия. Доказательство теоремы [c.386]

По Ляпунову, равновесие системы назьюаетоя устойчивым, если для всякого как угодно малого положительного числа е можно выбрать два других малых положительных чиола t]i и т)2> оли при начальных возмущениях они удовлетворяют условиям q41 СПх, qf I < Лг. в дальнейшем движении механической системы выполняютвя условия Qi (01 < < Е для каждой обобщенной координаты. [c.409]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...